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1、编号： 毕业论文毕业论文 课 题：院 （系）：专 业：学生姓名：学 号：指导教师单位：姓 名：职 称：题目类型：题目类型： 年 06 月 20 日常微分方程初值问题数常微分方程初值问题数值解法的计算机实现值解法的计算机实现数学与计算科学学院信息与计算科学数学与计算科学学院副教授理论研究 实验研究 工程设计 工程技术研究 软件开发摘 要本文研究了常微分方程初值问题的数值解法及其计算机实现问题。给出了其理论描述和误差分析以及数值例子。我们讨论了常微分方程初值问题的一些常见数值方法，包括欧拉方法，休恩方法，泰勒方法，龙格库塔方法和预估校正方法，分析了各种方法的步长和截断误差的关系，给出了它们的精确度
2、和稳定性分析，并对这些数值方法的优劣点进行了归纳、分析和比较。通过编写 MATLAB 和 MATHEMATICA 程序给出了相关数值例子的实验结果，进而分析实验结果进一步掌握步长和截断误差的关系，以及步长一定时，截断误差和步数的关系。特别是在分析预估校正方法的过程中，我们还得到的前y4 个已知值（包括）和预估校正法的精确度的关系。 0y最后，我们对这些数值方法做了进一步的分析比较，指出了不同情况下如何选择合适的数值算法来求解常微分方程初值问题。关键词：常微分方程；初值问题；数值解法；步长；截断误差；精确度.AbstractIn this paper,we consider the numeri
3、cal methor for initial value problem of ordinary differential equetions and how to complement to the computer,give the description of its theory and the analysis of error and numerical examples.We discusse the numerical methor for initial value problem of ordinary differen-tial equetions,including E
4、uler method,Heun method,Taylor method,Runge-Hutta method, and Predictor-corrector method.We analyze the relationship between the step and the truncation error of various methods.we also show the precision of all methods and difference between them.Then we give some examples of the numerical methor f
5、or initial value problem of ordinary differential equetions.By editing corresponding MATLAB or MATHEMATICA programs,we give a way to more easily understand the process of solving ordinary differential equations.We also further grasp the relationship between the step and the truncation error and the
6、relationship between truncation error and the number of step when the steps leght is a constant through analyzing the output of the programmings.Especially in the analyzing Predictor-corrector method,we obtain that the first four known values (including )of 0yyare related to the precision.Finally,we
7、 give the advantages and disadvantages of each method.Key words:ordinary differential equations;numerical methor for initial value problem of ordinary differential equetions;MATLAB；MATHEMATICA;steps leght;the truncation error;the precision目 录 引言 1 1 绪论 .21.1 微分方程导论 21.2 初值问题 . .31.3 几何解析 31.4 步长与误差
8、. .42 常见的数值解法及其优劣点 42.1 欧拉方法 . 42.1.1 欧拉方法的步长与误差 .52.1.2 欧拉方法在 MATLAB 中的执行步骤52.2 休恩方法62.2.1 休恩方法的步长与误差 62.1.2 休恩方法在 MATLAB 中的执行步骤72.3 泰勒级数法72.3.1 泰勒定理 72.3.2 四阶泰勒方法在 MATLAB 中的执行步骤 92.4 龙格库塔法 .92.4.1 龙格库塔法的介绍 .92.4.2 龙格库塔法在 MATLAB 中的执行步骤 .112.5 预估校正法112.5.1 Milne-Simpon 方法 122.5.2 误差估计与校正 .122.5.3 正确
9、的步长 132.6 数值方法的收敛性分析 132.7 数值方法的稳定性分析 14 3 数值解法的实用举例 15 3.1 欧拉法三种方法的比较 153.2 各种方法的 MATHEMATIC 数值求解 173.3 Milne-Simpon 方法的一些思考 19 4 结论 19 谢辞 21 参考文献 22附录 1 .23附录 2 .26引言常微分方程诞生于运用数学分析方法解决物理与力学问题的过程中，人们通常认为常微分方程的开端工作是由意大利科学家伽利略(Galileo,15641642) 完成的。17 世纪欧洲的建筑师们在建筑教堂和房屋时,需要考虑垂直梁与水平梁在外力作用下的变形，以及当外力撤销时梁
10、的恢复程度，也就是梁的弹性问题。当时的建筑师用经验来处理这些问题。伽利略从数学角度对梁的性态进行了研究，将成果记录在关于两门新科学的对话一书中, 这些研究成果成为常微分方程的开端。从 17 世纪末开始，对天体问题、摆的运动及弹性理论等问题的数学刻画引出一系列常微分方程。微分方程是在解决实际问题的过程中产生的，微分方程的研究又促进实际问题的解决，同时也促进其他学科的发展。微分方程在物理、工程、力学、天文学、生物学、医学、经济学等诸多领域都有重要作用。如电子计算机与无线电装置的计算问题可归为微分方程求解；弹道计算与飞机飞行中的稳定性研究可归为微分方程的求解；化学反应中稳定性的研究也可归为微分方程求
11、解等等。在天文学上，一般星体都是通过观察得到的，而海王星的发现却是个罕见的例外。牛顿研究天体运动的微分方程,从理论上得到行星运动的规律，而这些规律原来只是由开普勒通过观测归纳出的。而在 1846 年,法国巴黎天文台的勒威耶(Leverrier,18111877)在对这个微分方程进行数值分析计算的基础上，预言太阳系中还有第八颗行星的存在，并计算出了第八颗行星的位置，这之后人们按照他的计算结果通过观察才找到海王星。这一事实既推动了天文学的发展,也促进了微分方程的发展。目前，常微分方程的实际背景广、应用性强的特点已受到广泛关注。许多国外教材和国内新版教材已在书中明确强调这一点,并在教材中编入实际应用
12、的例子，希望通过大量的实际问题突出数学的应用，引导学生以常微分方程的形式建立数学模型解决各种实际问题。然而要给出一般方程解的解析表达式是十分困难的，而且往往从解析解得到的数值解也不容易。比如，求解一阶常微分方程初值问题只要少数十分简单的微分方程才能求得其精确解，即使求出解，也往往由于复杂或在解的表达式中有等初等函数值的计算，得到的仍不是精确值，多数情形只能用数值方法求其近似解。欧拉法和龙格库塔法等是求解常微分方程初值问题比较常用的方法，但在实际的应用中，这些求解方法有很多困难，因此借助计算机解决这个问题就显得比较方便。目前最常用的数学软件有 MATLAB 和 Mathematica，借助这些软
13、件来求解常微分初值问题,给出相应的计算机程序，方便在实际中应用，更好的服务于经济发展，也利于提高自己的计算机实际应用能力。如文献1和文献2中，给出了个别方法的计算机实现过程，但他们都没有给出相应的程序，切也没有给出数据分析，不利于掌握数值解法的精神。1 常微分方程初值问题及其常用数值解法的相关理论1.1 微分方程导论方程(1.1)/1tdy dte 是一个微分方程，因为它包含“未知函数” 的导数，由于只有独立变量 出( )yy tdy dtt现在式（1.1）的右端项中，因此的不定积分是方程的一个解。可由积分公式求解1te：( )y t( )tyy tteC （1.2）其中为积分常数。式（1.2）中的所有函数都是方程（1.1）的解，因为他们都能满足C构成的曲线族，如下图。1tye 积分方法可用于求解式（1.2）中函数的显式公式。在这样的解中有 1 个自由度，即积分变量。通常改变的值可以向下或向上“移动解曲线” ， 可以找到过任意需CC要的曲线 。然而世界的奥妙极少表现为显式的公式，通常只能考查一个
