有限元基础与应用软件

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1、有限元基础与应用软件,授课教师：李俭 联系方式：,主要内容,有限元的基本概念 有限元的理论基础 一种简单的有限元方法 等参数单元、数值积分、线性方程组的解法 商用软件ANSYS的应用及程序开发,有限元的基本概念,什么是有限元？ 有限元是做什么的？,工程上和理论上，很多过程可以用微分方程来描述。复杂的物理过程，可以采用十分简洁的数学方程来表达，微分方程是实际中应用很广泛的数学方法和数学工具。,二阶常微分方程,实际中，二阶常微分方程可以描述弹簧振子振动、 RLC电路的电流振荡等,稳态导热微分方程,稳态导热方程是一个三维拉普拉斯方程，除了 稳态导热，拉普拉斯方程还可以描述静电场电 位、不可压缩无旋流

2、的速度势。,弹性力学基本微分方程组,通过这个方程，可以求出任意弹性体受力时，内部的 应力应变,微分方程解析解 求解困难,实际中，大量求解微分 方程的需要,To 解 or not to解，its a question,由于解析解很难求出，转而求微分方程的近似解和数值解，以二维拉普拉斯方程为例,假设这一微分方程的解析解为：,由于解析解很难求出，我们可以自己选择的一个 常见的、熟悉的函数，例如一个有待定系数的多 项式作为解析解的近似函数，,采用一定的方法，求出近似函数中的待定系数， 即可得到微分方程的近似解,求近似解一般采用“加权余量”法，虽然可以求出 微分方程的近似解，但存在的问题是近似函数形式不

3、容 易确定，同时由于近似解是在整个求解域内对真实解近 似，这样是比较困难的，有时甚至做不到的。因此，求 解近似解也是受到比较大的限制的。,由于求近似解有很大的局限性，如果给定求解域内 任意一点的坐标，能够求出解函数在这个点上的数 值，也能达到求解微分方程的目的，而且这种做法 也更符合实际中求解问题的需要，因为，在实际中 我们更关心某些重要位置上，待求函数的数值或待 函数梯度的数值。,一种很自然的想法，就是由数学分析的知识，利用差分近似微分，将微分方程转化为一组线性方程组，再结合微分方程组的定解条件，求解这组微分方程。基于这种思想的方法，称之为有限差分法。,有限差分法的解就是待求函数或其导数在求

4、解域内一 系列点上的函数值，可以实现求解微分方程的目的。,从本质上说，有限差分法是对原微分方程的一种 线性处理技术，直观、简单。,以差分 代替微分，误差难以估计和把握 差分法中使用的网格，往往与所选坐标方向平行， 难以处理复杂边界 差分法得到解，是网格点处的值，若要得到其它 非网格点的值，需要更新网格重新计算,我们的想法：,1.能求出待求函数或其导数在求解域内离散点的数值,2.能方便灵活的处理复杂几何边界，或者说，适用各种复杂的求解域,3.能根据离散点的解，不重新更新网格就可以求出任意点的解或近似解,4.能保证所得的是原问题的近似解，能在一定程度上 控制误差，甚至可以在一些点或区域得到精确解的

5、数 值,对于第一个问题，只要给定杆的端点坐标，可以直接 采用平衡条件求解，,对于第二个问题，属于静不定问题，不能直接从平衡 原理求解，但是可以利用其它的力学原理求解，对于 一根杆,对于三根杆， ， ，分别建立以上关系，再组合 起来,结合,假设杆的位移近似解为：,将杆端点位移值代入上述方程组，解出方程组中的 系数：,杆的x方向位移近似解为：,我们来把这个近似解的表达式整理一下，按照ui和uj 合并同类项,这样，我们就把杆的位移表示成了端点位移以及坐标 的函数，换句话说，只要给定端点的位置，以及求出 端点位移值，就可以求出杆内任意点的位移。,我们来回顾一下这个问题的求解过程,首先，这个问题无法直接

6、由平衡关系求解，此时我们 先对每根杆，利用材料力学原理，建立杆端点位移和 杆端力之间关系，可以称之为杆的求解方程； 然后，根据力平衡和位移协调条件，将各杆的求解方 程组装成整体的求解方程，这个求解方程，反映了结 构收到的外力与各个杆端点位移之间关系，求解这个 线性方程组，可以得到各杆端点位移 最后，可以写出杆内位移的近似解，可以求出杆内任 意点的位移,这个三杆系统静力求解问题，虽然简单，但是求解方法 却很有代表性和启发性,这个问题本身是一个离散杆问题，所得到解是离散点的 值,各求解点本身就是结构上的点，因此不必对边界做进一 步处理，由于有斜杆，如果采用类似差分法的方法，将 很难处理网格,可以根

7、据杆端点的坐标和位移，写出杆内位移的近似解 可以证明，对于本例来说，前面的近似解就是精确解,一根杆，几何上可以用一个线段来表示，当然，这个表 示杆的线段，可以再被划分为若干线段，对于模拟杆的 线段，内部的位移，可以用线段的端点和端点的位移来 表示，也就是我们之前提到的那个近似解,同样前面介绍的端点位移与外力的关系,这样，就建立了一个模拟杆的力学模型，可以称为 杆单元,在这个问题中，共使用了三个杆单元，杆单元的 端点称为结点。单元与单元之间通过结点连接。在单 元近似解中结点位移的系数，由于只与端点的坐标有 关，又称为形状插值函数，简称形函数。在单元结点 位移与外力的关系式中，K称为单元刚度矩阵；

8、这个 关系式称为单元求解方程。由单元刚度矩阵组合而成 整体刚度矩阵，相应的，可以建立整体求解方程。,这样，我们可以重新描述一下整个问题的求解过程了： 首先，我们将原问题的三根杆用杆单元进行划分， 单元与单元之间，单元与边界间由结点连接；然后，建立单元形状插值函数及单元近似解函数；根据力学原理建立单元刚度矩阵和单元求解方程；由单元刚度矩阵和单元求解方程，组合建立整体 刚度矩阵和整体求解方程；引入边界条件，求解整体求解方程,我们已经走到了有限元的门口,现在，我们来看第三个问题，估计讲到这里， 大家都忘了第三个问题是什么了,这个问题的求解域是一个平面三角形区域，如果使用 差分，可能会遇到一下的情况,

9、边界处理比较复杂，换一种方法求解。,描述这个问题的微分方程组可能过于复杂了，让 我们从一个简单的角度来分析。,这个问题是一个 力学平衡问题，因 此在求解域内的任 意点，受到的合力 为0，这就是分析 这个问题的出发点,我们从求解区域内，假设取出一块三角形小区域 三个顶点分别为i、j、k，三个顶点的坐标分别为(xi,yi) (xj,yj),(xk,yk),像第二个问题一样，我们仍然可以用三个顶点 的位移以及坐标，建立这个三角形区域内任意点位 移的近似表达。,Ni、Nj、Nk、和第二个例子一样也是形状插值函数 后面我们将会看到，这三个函数之和三角形区域 的形状有关。这里采用在小区域内近似待求变量 的

10、方法，可以降低误差,为了形式简洁，我们三个顶点的位移和受力写成列 矢量，同样也可以建立这两个矢量间的关系,这样，我们也就得到了一个模拟二维三角形区域力 与位移关系的模型，称之为平面三角形单元,现在，像第二个问题一样，我们可以用这个三角形 单元对求解区域进行划分，例如,划分的方式可以有无数种，这要根据求解问题的性 质，求解域的几何形状灵活选择,我们以第一种最简单的划分方案为例，继续介绍，这 个划分方案中，包含两个单元，4个结点，先对单元和 结点进行编号，并加上单元刚度矩阵和单元求解方程 已经建立,1,2,3,4,原来，1,3,4所在边收到的约束，现在转移到1,3,4结点上， 结构受的外力，作用在

11、2结点上,两个单元的求解方程分别为,两个单元的求解方程为：,现在要将他们组合起来，组合的原理依旧是静力平衡 与位移协调，也就是说，每个结点受力的合力为0，两 个单元共有结点的位移必须相等,现在我们来组装，按结点的顺序组装，对于结点1来说， 受到的力来自单元和约束，二者平衡，并且结合单元 求解方程，可得,现在来看结点2，结点2收到两个单元的作用力和外力 三者应该平衡,现在，把它们加起来,用同样的方法，可以把结点3和结点4的平衡方程写出来,现在我们把4个结点组合以后的力与位移的关系统一 写出来，为了方便，采用矢量和矩阵的形式,结点力的矢量,结点位移的矢量,这个矢量之间的关系：,矩阵K就是刚才推导的

12、结点力与位移方程中系数组成的,为了求解方程,还需要引入条件,我们回顾一下这个问题的解答：,首先，将求解域划分为三角形单元，单元和单元之间 通过结点连接 建立单元近似解，单元求解方程 将单元求解方程组合成整体求解方程 引入边界条件，解出求解方程,回顾一下我们的想法：,1.能求出待求函数或其导数在求解域内离散点的数值,2.能方便灵活的处理复杂几何边界，或者说，适用各种复杂的求解域,3.能根据离散点的解，不重新更新网格就可以求出任意点的解或近似解,4.能保证所得的是原问题的近似解，能在一定程度上 控制误差，甚至可以在一些点或区域得到精确解的数 值,现在要求解的是所有结点处位移的数值，是数值求解 在斜

13、边界，使三角形单元的一边与斜边重合，这样就 解决了边界问题。 由于单元近似解的建立，只要已知了结点处的位移值， 不用更新网格就可以计算任意点的位移 单元求解方程和单元刚度矩阵的推导过程（后面介绍） ，保证了误差可控，甚至在部分点上，可以得到精确 解,上面我们看到的两个问题，虽然问题不同，但求解方 法是相似的，都包含了划分单元、建立单元求解方程 建立整体求解方程、引入边界条件等主要的几个步骤， 而这些步骤也就是有限元方法的主要步骤，有限元方 法就是通过这几个步骤，将原问题的微分方程转化为 线性方程组求解。,也许有人会觉得，上面推导时好像没涉及微分方程， 后面我们将看到，在建立单元求解方程时，将运

14、用与 原问题微分方程等效的数学方法。,现在，我们可以总结一下什么是有限元了,有限元是求解微分方程的一种数值算法,第一步：将求解域划分为若干个单元，单元与单元通过 结点连接（这一步也称为结构离散化） 第二步：在单元内部，建立带求解函数的近似函数（形 函数和结点解表达） 第三步：利用与原问题微分方程和边界条件等效的数学 方法（变分原理和加权余量法）建立求解方程（线性方 程组或常微分方程组） 第四步：求解方程组,有限元的优点：,可以用于复杂的求解域,像刚才所介绍的，对斜边的求解域，三角形单元可 以很方便的模拟。求解域边界是曲线，可以用多段 直线段来模拟，甚至可以构造曲边单元。对于三维 求解域，可以构

15、造三维单元，单元的边界可以是平 面，也可以是曲面。,可用于多种物理问题,最初，有限元方法是被用来求解弹性力学问题的，但 随着有限元理论和方法的发展，现在，有限元已不仅 仅应用于弹性力学问题的求解，通过构造各种单元， 有限元可以用来求解，弹性力学、塑性力学、振动 屈曲等问题，除了固体力学问题以外，传热学、流体 力学、电磁学等问题也可以用有限元求解。有限元不 仅可以求解稳态问题，还可以求解动力学问题。,建立在严格的理论基础之上,这一点是有限元与有限差分最大的差别和优势（个人 认为），数值计算方法需要回答一个问题：求出的解 到底是不是原问题的近似解？经过数学证明，有限元 所采用的基本数学原理（变分原

16、理和加权余量法）是 与原问题微分方程及边界条件的等效形式，因此，只 要原问题的数学模型正确，就可以保证有限元求解的 正确性。,适合计算机实现,前面的三角形薄板受拉伸的例子里，最后的求解方程， 系数是一个8 8矩阵，如果手动计算势必比较麻烦， 而且随着单元数目和结点数目增多，方程的规模将大大 增加，幸好，有限元求解方程往往是一个线性方程组或 常微分方程组（线性方程组的情况居多），求解这样的 方程组的方法及程序可以标准化，计算机实现也很容易。,本节要点,什么是有限元？有限元求解问题的一般步骤 有限元的基本要素：单元，结点，单元求解方程，整体求解方程 有限元的优点？ 思考题：如何理解“有限元”中“有限”两个字的含义？,作业：,在上面介绍的三角形薄板受拉伸的例子中，如果采用 下面这种单元划分形式，整体求解方程中K的形式？,内容拓展,有限元的发展历史以及发展趋势，近些年，有哪些新的有限元概念涌现出来 ppt内容由于篇幅限制，有些内容不够完整，希望大家能查阅有限元的书籍认真学习,