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1、第二章 复变函数的积分,2.1 复变函数的积分,1 积分的概念,2 积分存在条件及性质,3 积分的计算,2.1.1 积分的概念,定义2.1 设 C是复平面上以z0为起点, Z为终点,在C上依次取分点,把曲线C分割为n个小段.,(如图),一点,做和数,其中，,令,如果分点的个数无限增多，并且极限,存在, 则称该极限值为函数 在曲线C上的积分,如果C是闭曲线，经常记作,为实值函数，那么这个积分就是定积分.,2.1.2 积分存在的条件及积分性质,定理2.1 设C是分段光滑(或可求长)的有向,存在，并且,从形式上可以看成,定理2.2 设光滑曲线,复变函数的积分具有如下一些性质.,(4) 设C1的终点是
2、C2的起点, C=C1+C2, 则,(k是复常数);,估值不等式,事实上,(5) 设曲线C的长度为L, 函数f (z)在C上满足,则,例2.1 设 C是复平面上以z0为起点, z为终,点的分段光滑(或可求长)曲线，则,解 根据积分的定义,2.1.3 积分的计算,解,积分路径的参数方程为,其中C是圆周:,的正向.,重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.,解,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,(1) 从原点到 1+i 的直线段；,(2) 抛物线 y=x2 上从原点到 1+i 的弧段；,(3) 从原点沿x轴到1, 再从1到 1+i 的折线.,(2) 积分路径的参数方程为,(3) 积分路径由两段
3、直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,都是从相同的起点到相同的终点, 沿着三条不,相同的路径进行, 但是 积分值不同,积分值相同. 是否可以讨论积分与积分,路径的关系?,注意2 一般不能将函数f (z)在以z1为起点, 以z2,为终点的曲线C上的积分记成 因为,积分值可能与积分路径有关, 所以记,2.2 Cauchy积分定理,1 Cauchy积分定理,2 复合闭路定理,3 典型例题,2.2.1 Cauchy积分定理,定理2.3 (Cauchy积分定理) 设f (z)是单连,说明: 该定理的主要部分是 Cauchy 于1825 年建立的, 它是复变函数理论的基础.,
4、通区域 D上的解析函数，则对D内的任何可求,长Jordan曲线C, 都有,注意2 若曲线C是 区域 D 的边界, 而,注意1 定理中的C 可以不是简单曲线.,函数 f (z)在D内解析, 在闭区域 上连,续, 则,注意3 定理中D是单连通区域的假设不可缺少.,解 因为函数,例2.4 计算积分,在 上解析, 所以根据Cauchy积分定理, 有,解,根据Cauchy积分定理得,例2.5 计算积分,这里用到了,2.2.2 复合闭路定理,都在C 的内部, 它们互不包含也互不相交, 并且以,在该闭区域上解析, 那么,其中C和Ck(1kn)取正向.,若 f (z),为边界的闭区域含于D内.,2.2.3 典
5、型例题,解 显然函数,在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.,在复平面有两个奇点0和1,并且G 包含了这两个奇点.,在G内作两个互不包含也互不相交的正向,圆周C1和C2,使得C1只包含奇点0,C2 只包含,奇点1.,根据 ,解 显然C1和C2围成一,个圆环域. 函数,在此圆环域及其边界上解析, 并且圆环域的边界,构成复合闭路, 所以根据 ,解 因为z0在闭曲线G 的内部,任意分段光滑的Jordan曲线, n为整数.,故可取充分小的正数r , 使得圆周,含在G的内部.,可得,故,这一结果很重要.,与 进行比较.,2.3 Cauchy积分公式,1 问题的提出,2 Cauchy积分公式,3 高阶导数公式
6、,4 典型例题,2.3.1 问题的提出,定理知,当r 充分小时, 这个积分值与r 的取值无关,设f (z)在单连通区域D上解析, z0是D内的,一个定点, 则 在z0 不解析.,Jordan曲线, 当r 0充分小时, 根据复合闭路,如果C是含z0在其内部区域的分段光滑的,所以这个积分值只与 f (z) 在 z0 附近的值有关.,因为f (z) 在 z0 连续, 故 上函数 f (z),的值将随着r 的减小而接近,因此, 随着r 的减小, 应该有,接近于,然而,2.3.2 Cauchy积分公式,Cauchy积分公式,定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数,z0 是D内的一个点, C是
7、任意一条含 z0 在内部区域,的分段光滑(或可求长) Jordan曲线, 则,关于Cauchy积分公式的说明:,可见, 函数在C内部任一点的值可用它在边界上,（这是解析函数的一个重要特征）,(1) 从Cauchy积分公式,的值通过积分来表示.,这表明了Cauchy积分公式不但提供了计算,(这是研究解析函数的有力工具),(2) 如果曲线C上的点用z 表示, C内部的,点用z 表示, 则Cauchy积分公式表示为,某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出,了解析函数的一个积分表达式.,正向圆周,解 在C内部作正向圆周,根据 ,在C2 围成的闭区域上解析, 所以由,Cauchy积分公式,2.3.
8、3 高阶导数公式,如果各阶导数存在, 并且导数运算可在积分号下,进行, 则,由 , 解析函数的积分表达式为,(1) 解析函数是否存在各阶导数?,(2) 导数运算可否在积分号下进行?,我们有下面的Cauchy导数公式.,高阶导数公式,定理2.6 设函数f (z)在单连通区域 D上的解析,C是D内分段光滑(或可求长)的Jordan曲线, z0 在,C的内部区域, 则f (z)在z0处存在各阶导数, 并且,其中C取正向.,一个解析函数的导数仍然是解析函数.,高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.,例2.10 求积分,解 因为函数 在复平面解析,在 内, n=3, 根据
9、,例2.11 求积分,解 因为函数 在复平面解析,在 内, n=1, 根据,2.3.4 典型例题,例2.12 计算积分,解 由 ,例2.13 计算积分 其中,解 (1) 根据 ,(2) 根据 ,(3) 根据 以及前面的结果,例2.14 计算下列积分, 其中C是正向圆周,解 (1) 因为函数 在C内z=1处不解析,但 在C内处处解析, 所以根据,(2) 函数 在C内的 处不解析.,在C内分别以i 和 -i 为中心作正向圆周 C1 和 C2,则函数 在由,围成的区域内解析, 所以由,于是,同理,解,(1) n 0时, 函数 在 上解析.,(2) n=1时, 由 得,由 得,可得,(3) n1时,
10、根据,2.4 解析函数的原函数,1 原函数的概念,2 Newton-Leibniz公式,2.4.1 原函数的概念,原函数之间的关系:,定义2.2 设f (z)是定义在区域D上的复变函数,若存在D上的解析函数F(z)使得 在D,内成立，则称F(z)是f (z)在区域D上的原函数.,如果f (z)在区域D上存在原函数F(z), 则f (z)是,解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数.,定理2.7 设F(z)和G(z)都是f (z)在区域D上的原,函数, 则 (常数).,那么它就有无穷多个原函数, 一般表达式为,根据以上讨论可知:,证明 设F(z)和G(z)都是f (z)在区域 D上的,根据 可
11、知, 为常数.,原函数, 于是,如果F(z) 是f (z)在区域 D上的一个原函数，,(其中C是任意复常数).,定理2.8 设f (z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点, C是D内以z0为起点, z为终点的,分段光滑(或可求长)曲线, 则积分,只依赖于z0与z, 而与路径 C 无关.,定理2.9 设f (z)是单连通区域D上的解析函数,z0和z是D内的点, 则,是 f (z)在D上的原函数.,2.4.2 Newton-Leibniz公式,定理2.10 设f (z)是单连通区域D上的解析函数,F(z)是 f (z)在D上的原函数, z0和z1是D内的两点, 则,证明 因为 也是f (z)在D上的原函数,根据,其中 C为常数, 易见,说明: 有了上述定理, 复变函数的积分就可以用,与微积分学中类似的方法去计算.,如果没有D是单连通区域的假设，那么,一般是一个多值函数.,
