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1、第3章 连续时间信号和系统的频域表示与分析,3.1 周期信号的傅里叶级数分析 3.2 周期信号的对称性 3.3 非周期信号的频谱傅里叶变换 3.4 傅里叶变换性质及定理 3.5 LTI系统的频域分析,3.6 无失真传输系统 3.7 理想低通滤波器与物理可实现系统 3.8 时域采样与恢复（插值） 3.9 相关 3.10 能量谱和功率谱,3.1 周期信号的傅里叶级数分析,在讨论周期信号的傅里叶级数前， 先介绍正交函数与正交函数集的概念。 若两个函数g1(t)、 g2(t)在区间(t1, t2)内满足,(3.1-1),则说这两个函数在区间(t1, t2)正交， 或它们是区间(t1， t2)上的正交函
2、数。 若函数集gi(t)在区间(t1， t2)内且函数g1(t)， ， gn(t)满足,(3.1-2),则这个函数集就是正交函数集， 当ki=1时为归一化正交函数集。,满足一定条件的信号可以被分解为正交函数的线性组合。 即任意信号f(t)在区间(t1, t2)内可由组成信号空间的n个正交函数的线性组合近似表示为 f(t)c1g1(t)+c2g2(t)+cngn(t) (3.1-3) 若正交函数集是完备的， 则 f(t)=c1g1(t)+c2g2(t)+cngn(t)+ (3.1-4),完备是指对于一个在区间(t1， t2)内的正交函数集中的所有函数， 不可能另外再得到一个非零的函数在同一区间内
3、和它们正交。 即不存在这样一个函数x(t)， 使之能满足,如果x(t)在这个区间能与它们正交， 则x(t)本身必属于这个正交函数集。 若不包括x(t)，那么这个正交函数集也就不完备。,包含正、 余弦函数的三角函数集是最重要的完备正交函数集。 它具有以下优点： (1) 三角函数是基本函数； (2) 用三角函数表示信号， 建立了时间与频率两个基本物理量之间的联系； (3) 单频三角函数是简谐信号， 简谐信号容易产生、 传输、 处理； (4) 三角函数信号通过线性时不变系统后， 仍为同频三角函数信号， 仅幅度和相位有变化， 计算更方便。,由于三角函数的上述优点， 周期信号通常被表示（分解）为无穷多个
4、正弦信号之和。 利用欧拉公式还可以将三角函数表示为复指数函数， 因此周期函数还可以展开成无穷多个复指数函数之和， 其优点与三角函数级数相同。 用这两种基本函数表示的级数， 分别称为三角形式傅里叶级数和指数形式傅里叶级数。 它们是傅里叶级数中两种不同的表达形式， 也简称傅氏级数， 其英文缩写为FS。 本节利用傅氏级数表示信号的方法， 研究周期信号的频域特性， 建立信号频谱的概念。,3.1.1 三角形式傅里叶级数 周期信号是周而复始、 无始无终的信号。 其表示式为 f(t)=f(t+T) (3.1-5) 式中， f(t)的基波周期T是满足式(3.1-5)的最小的非零正值， 其倒数f0=1/T是信号
5、的基波频率。,若周期函数f(t)满足狄里赫利条件: (1) 在一周内连续或有有限个第一类间断点； (2) 一周内函数的极值点是有限的； (3) 一周内函数是绝对可积的， 即,则f(t)可以展开为三角形式的傅里叶级数,(3.1-6),式中,(3.1-7a),式中， 0=2/T是基波角频率， 有时也简称基波频率。 一般取t0=-T/2。,(3.1-7b),(3.1-7c),利用三角函数的边角关系， 还可以将一般三角形式化为标准的三角形式,(3.1-8),两种三角形式系数的关系为,(3.1-9),例3.1-1 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。,解 将f(t)整理为标准形式,振幅谱与相位谱如
6、图3.1-1所示。,图 3.1-1 例3.1-1的频谱图 (a) 振幅图； (b) 相位图,3.1.2 指数形式的傅里叶级数 利用欧拉公式,(3.1-10),我们可以将三角形式的傅里叶级数表示为复指数形式的傅里叶级数,令c0=F0代入上式， 并将两个和式合并得到,这样f(t)指数形式为,(3.1-11a),其中系数,(3.1-11b),F(n0)是复常数， 通常简写为Fn。 Fn还可以表示成模和幅角的形式,(3.1-12),三角函数标准形式中cn是第n次谐波分量的振幅， 但在指数形式中， Fn要与相对应的第-n项F-n合并， 构成第n次谐波分量的振幅和相位。,指数形式与三角形式系数之间的关系为
7、,(3.1-13),例3.1-1的指数形式频谱图如图3.1-2所示。,图 3.1-2 例3.1-1的频谱图 (a) 振幅图； (b) 相位图,3.1.3 周期矩形脉冲频谱 周期矩形脉冲是典型的周期信号， 其频谱函数具有周期信号频谱的基本特点。 通过分析周期矩形脉冲的频谱， 可以了解周期信号频谱的一般规律。 例3.1-2 周期矩形脉冲f(t)的波形如图3.1-3所示, 求周期矩形脉冲频谱。,图 3.1-3 周期矩形脉冲f(t),解,其中， 0=2/T。,将f(t)展开成指数形式傅里叶级数， 由式(3.1-11b),(3.1-14),使 的是Fn的零点， 由此解出Fn的零点为,式中,(3.1-15
8、),(3.1-16),(3.1-17),其三角形式的傅里叶级数， 由式(3.1-9)可得,(3.1-19),(3.1-18),特别设T=5， E=1， ， 代入式(3.1-18),其零点为,即50、 100， ， 且有 c0=0.4, c1=0.37, c2=0.3, c3=0.2, c4=0.1, c5=0, c6=0.06, c7=0.086, c8=0.075, c9=0.04, c10=0, .,T=5的三角形式与指数的振幅、 相位谱如图 3.1-4所示。,图 3.1-4 周期矩形信号的频谱,图 3.1-4 周期矩形信号的频谱,图 3.1-5 周期矩形信号的复振幅频谱,3.1.4 周期
9、T及脉冲宽度对频谱的影响 对图3.1-5作如下讨论： (1) 频谱图是离散的， 频率间隔0= 2/T 。 特别的， 随着周期T的增加， 离散谱线间隔0减小； 若T， 00， |Fn|0， 离散谱将变为连续谱。,(2) 直流、 基波及各次谐波分量的大小正比于脉冲幅度E及脉冲宽度， 反比于周期T。 各谐波幅度随 Sa n0/2 的包络变化， = 2n/ 为零点（n=1， 2， ）。 若0， 第一个零点= 2/ 。,(3) 频谱图中有无穷多根谱线， 但主要能量集中在第一个零点= 2/ 之间。 实际应用时， 通常把 0 2/ 的频率范围定义为矩形信号的频带宽度， 记为B， 于是,(3.1-20),Bw
10、的单位是弧度/秒， Bf的单位是赫兹（Hz）。,3.1.5 周期信号的频谱特点 以上虽然是对周期矩形信号的频谱分析， 但其基本特性对所有周期信号适用， 由此给出周期信号频谱的一般特性。 (1) 离散性 谱线沿频率轴离散分布。 谱线仅在0、 0、 20、 基波的倍频（离散的）频率点上出现。 (2) 谐波性 各谱线等距分布， 相邻谱线的距离等于基波频率。 周期信号没有基波频率整数倍以外的频率分量。,(3) 收敛性 随着n， |Fn|或cn趋于零。 傅氏级数是傅氏变换的特殊表示形式。 从本质上讲， 傅氏变换就是一个棱镜,它把一个信号函数分解为众多的频率分量。 这些频率分量又可以重构原来的信号函数。
11、这种变换是可逆的且保持能量不变。 傅氏棱镜与自然棱镜的原理是一样的。 不过自然棱镜是将自然光分解为多种颜色的光。 两种棱镜的比较如图3.1-6所示。,图 3.1-6 两种不同的棱镜,通常把函数（时间波形）的变换叫做波形的频谱。 波形与波形的频谱是同样实际的。 例如我们可以通过频谱分析仪观察或度量电信号波形的频谱。 声波有频谱， 图像有频谱， 频谱与时域波形一样实际。,*3.2 周期信号的对称性,3.2.1 信号对称性与傅里叶级数系数关系 波形的对称性有两类： 一类是波形对原点或纵轴对称, 即我们所熟悉的偶函数、 奇函数。 由这类对称条件可以判断级数中是否含有正、 余弦(an、 bn)项的情况；
12、 另一类是波形在半周期有对称条件， 这类条件决定了级数中含有偶次或奇次谐波的情况。 下面具体讨论对称条件对傅里叶级数系数的影响。,1. 偶函数 其波形特点是对称纵轴， 即满足f(t)=f(-t)， 如图3.2-1所示。,图 3.2-1 偶函数举例,因为f(t)cosn0t是偶函数， f(t)sinn0t是奇函数， 所以式(3.1-7)可改为,(3.2-1),与标准三角形式及指数形式的系数关系为,(3.2-2),因此， 偶函数分解后只有余弦分量(直流a00)， 没有正弦分量(bn=0)。,(3.2-3),利用式(3.2-1)可求出如图3.2-1所示周期三角信号的傅氏系数a0、 an， 其傅氏级数
13、为,2. 奇函数 波形特点： 对称于原点。 f(t)=-f(-t)， 如图3.2-2所示。,图 3.2-2 奇函数举例,因为f(t)cosn0t是奇函数， f(t)sinn0t是偶函数， 所以式(3.1-7)可改为,(3.2-4),与标准三角形式及指数形式的系数关系为,(3.2-5),因此， 奇函数分解后只有正弦分量(直流a0=0)， 没有余弦分量(an=0)。,(3.2-6),利用式(3.2-4)可求出如图3.2-2所示周期锯齿波信号的傅氏系数bn， 其傅氏级数为,3. 奇谐函数 波形特点是任意半个周期的波形可由它前面半个周期的波形沿横轴反折得到, 即 ， 如图3.2-3所示。,图 3.2-
14、3 奇谐函数举例,由式(3.1-7)得,(3.2-7),将 代入第一个积分中， 有,代入式(3.2-7)计算an的公式中,n为偶,n为奇,(3.2-8a),同理可得,n为偶,n为奇,(3.2-8b),奇谐函数只含有正、 余弦波的奇次项， 不含偶次项。,图 3.2-4 奇谐对称性对傅氏系数影响的图解示意,4. 偶谐函数 波形的实际周期是T1= T/2 ， 即 。 最典型的偶谐函数是如图3.2-5所示的全波整流波形。 因为仍以T为周期展开， 所以其基波频率分量应是,因为积分区间是从- T/2 T/2 ， 而- T/2 0与0 T/2 波形相同， 所以式(3.1-7)为,n为偶,n为奇,(3.2-9
15、a),n为偶,n为奇,(3.2-9b),偶谐函数以周期T展开后只含有基波0=2/T的偶次正、 余弦分量， 不含奇次项。,图 3.2-5 偶谐函数举例,5. f(t)有两种对称条件时的系数 当波形同时具备两个对称条件时， 下面不加证明给出其傅氏系数计算公式。 （1） 奇函数奇谐函数 因为奇函数an=0， 只有正弦项， 而奇谐函数的b2n=0， 所以,n为奇数,(3.2-10),（2） 奇函数偶谐函数 因为奇函数an=0， 只有正弦项， 而偶谐函数的b2n+1=0， 所以,n为偶数,(3.2-11),（3） 偶函数奇谐函数 因为偶函数bn=0， 只有余弦项， 而奇谐函数的a2n=0， 所以,为奇数
16、 (3.2-12),图 3.2-6 两个对称性对傅氏系数影响的图解示意,图 3.2-6 两个对称性对傅氏系数影响的图解示意,由式(3.2-11)可以求出a0、 an， 其傅氏级数为,（4） 偶函数偶谐函数 因为偶函数bn=0， 只有余弦项， 而偶谐函数的a2n+1=0， 所以,n为偶数 (3.2-13),如图3.2-5所示的全波整流波形是偶函数偶谐函数， 由式(3.2-13)可以求出a0、 an。 其傅氏级数为,3.2.2 坐标轴的影响 有时所给波形虽不满足对称条件， 但将横轴上、 下移动， 可使得“隐藏”的对称条件显现。 例如图3.2-7(a)所示波形， 直接观察不具备任何对称性。 但如果将横轴向上移至f(t)的平均值A/2处， 如图3.2-7(b)所示， 则f(t)显然是奇函数、 奇谐函数， 同时具备两个对称条件。,
