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1、1,第三章 扭 转,2,31 扭转的概念及实例,一、扭转变形,受力特点：杆件在两端垂直于轴线的平面内作用一对大小相等而方向相反的力偶,变形特点：横截面绕轴线产生相对转动,工程上，把承受扭转变形的杆件称为“轴”。,3,剪切角圆杆表面的纵向线变成了螺旋线，螺旋线的切线与原纵向线的夹角,二、基本概念,相对扭转角截面B 相对于截面A转动的角度。,(与截面相对位置无关）,(与截面相对位置有关）,4,三、工程实例,5,32 扭矩的计算和扭矩图,二、计算方法截面法,由静力平衡方程Mx = 0，得,一、扭矩扭转构件横截面上的内力偶矩，用T表示，单位是Nm或kNm。,T = Me,三、扭矩的正负号规定(右手螺旋
2、法则)：,若以右手的四指表示扭矩的转向，则大拇指指向与截面外法线方向一致时，扭矩为正，反之为负。,6,功率、转速与力偶矩的转换关系,在工程实际中，给出轴所传递的功率P(KW)和轴的转速n (r/min) 。需要将其换算为力偶矩。,轴转动一分钟力偶所作的功为,电动机每分钟所作的功为,式中n 为转速（r/min），P 为功率（kW），Me为外力偶矩（Nm）。,7,例31 如图a所示的传动轴，主动轮输入的功率为P1 = 500kW，三个从动轮输出的功率分别为P2 = P3 = 150kW，P4 =200kW，轴的转速为300r/min，试作出轴的扭矩图。,解：1、按公式计算外力偶矩,2、用截面法即可
3、计算出各段的扭矩,8,9,3、画轴的扭矩图,10,接下来该讨论圆轴扭转时横截面上的应力问题！,存在什么应力,应力如何分布,应力如何计算,？,11,33 薄壁圆管扭转时横截面上的应力,（1）所有的横截面变形后仍保持为平面，相邻圆周线的距离不变，所有纵向线转动了一个角度。横截面上无正应力，只有剪应力。 （2）圆周线大小、形状不变。剪应力沿圆周切线方向。 （3）所有纵向线转动了一个相同的角度。剪应力沿圆周方向均匀分布。 （4）薄壁圆筒厚度很小。剪应力沿壁厚方向均匀分布。,一、变形特征与推论,12,二、剪应力的计算,这就是薄壁圆环受扭转时横截面上剪应力计算公式。,nn截面上的内力对截面形心矩的总和等于
4、截面的扭矩。由此得出,13,三、剪应力互等定理,剪应力互等定理:在相互垂直的两个面上，剪应力必然成对出现，且大小相等，方向或指向、或背离两面的交线。, =,由平衡方程，Mz = 0 ， dydzdx-dzdxdy=0,得,14,四、剪切虎克定理,G材料的切变模量，单位：帕（Pa）。,在弹性变形范围内，G、E和 三者之间的关系是：,在弹性极限内，切应力与切应变成正比，即：,15,34 圆截面杆扭转时横截面上的应力,1、变形特征根据观察，每个横截面都绕杆轴转过一个角度，大小、形状、所在平面并没有改变。,一、变形分析,2、平截面假定所有的横截面变形后仍保持为平面，且横截面上的半径仍保持直线状态。,1
5、6,3、推论,(1) 横截面上只有切应力而没有正应力，切应力的方向垂直于半径。,(2) 切应力的方向垂直于半径。,(3) 切应力沿圆周方向均匀分布。,切应力沿半径方向如何分布？,17,二、圆杆扭转时横截面上的应力,1几何方面,由表及里，设想圆筒的扭转由无数层薄壁圆筒扭转的组合,18,由几何关系及小变形假设可知,单位长度的扭转角,同一横截面上的 是常量。上式表明切应变 与极坐标 成正比，在同一横截面上同一半径的圆周上各点处的切应变均相同。,19,2物理方面,在同一半径的圆周上各点的切应力的值相等。切应力沿着半径呈线性分布，方向垂直于半径。,根据剪切胡克定律，在线弹性范围内，切应力与切应变之间的物
6、理关系式：,20,3静力学方面,在横截面上距圆心为处的微面积dA上的内力为dA，它对圆心的矩为,横截面扭矩T ：,代入,与横截面的几何特征有关，单位为m4或mm4。,21,等直圆杆在扭转时横截面上任一点处的切应力,T横截面上的扭矩; 所求应力点到圆心的距离; IP 圆截面极惯性矩。,回忆：,22,WP为扭转截面系数，与横截面的几何特征有关，单位为m3。,在横截面周边各点处，切应力达到最大值。,对于实心圆截面,取 有,极惯性矩,23,式中IP和WP可按下式计算：,空心圆截面上的切应力仍然呈线形分布，最大切应力发生在截面的外边缘上。,横截面上任一点处的切应力,横截面切应力最大值,24,关于圆轴扭转
7、时横截面上应力问题的答案,1、切应力，方向为环向，与扭矩一致！,2、以轴心为原点的线性分布！,25,35 圆轴扭转时的变形,圆轴的扭转变形通常用杆件的两个横截面间的相对扭转角 来度量。,当T与GIp是常数时，相距l的两横截面的相对扭转角为,GIp-杆件的扭转刚度,即,又,得,积分得相对扭转角计算公式,由,26,36 扭转的强度和刚度计算,为了不使受扭构件发生过大的变形影响构件的正常使用，还必须满足刚度条件：,一、强度计算,等直圆轴扭转的强度条件为,圆轴扭转的强度计算仍然是解决强度校核、选择截面和确定许用荷载三方面的问题。,二、刚度条件,式中 是单位长度的扭转角，单位为rad/m， 为单位长度的
8、许用扭转角，单位也是rad/m。,27,解：（1）计算传动轴的扭矩,Nm,（2）强度校核,MPa,（3）刚度校核,由此可见，此轴分别满足强度条件和刚度条件的要求。,/m,例2 一电机的传动圆轴直径d=40mm，轴传递的功率P=30kW，转速n=1400 r/min。材料的许用切应力=40MPa，切变模量G=80GPa，单位长度的许用扭转角 =1/m。试校核此轴的强度和刚度。,28,解：（1）画轴的扭矩图，如图b所示。,由扭矩图可知，最大扭矩发生在AB和BC段，其绝对值为4.5kNm。,例3 图a所示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知：Me1= 1.5kNm，Me2=3kNm，Me3
9、=9kNm，Me4=4.5kNm；材料的切变模量G=80GPa，许用切应力=80MPa，单位长度许可扭转角 =0.005rad/m。 （1）设计轴的直径D； （2）若轴的直径D0=105mm，试计算全轴的相对扭转角。,29,（2）设计轴的直径,可以得到轴的直径为,根据刚度条件：,可以得到轴的直径为,根据上述强度计算和刚度计算的结果可知，该轴的直径应选用D=103mm。,根据强度条件：,30,（3）全轴的相对扭转角的计算,全轴的相对扭转角为：,若选用轴的直径D0 =105mm，其极惯性矩为,31,例4 图示阶梯轴，已知=80MPa, 右端输入功率为20kW， 轴的转速为60r/min，等效施加力偶M。材料的剪切模量G = 80GPa ，AC段直径为d, CD段直径为0.8d。试：(1) 根据轴AD的强度确定d的最小值；(2)求此时D截面相对于B截面相对扭转角DB 。,解: (1) 该阶梯轴的扭矩图如下图所示。,AC段最大剪应力为：,CD段最大剪应力为：,32,显然，,故危险截面在AC段。为保证轴的安全，必有：,因此，,33,（2）计算相对扭转角DB,因此，,注：面向D截面观察时，转角 为顺时针方向。,
