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1、1,第四章 弯曲应力,2,4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图,. 关于弯曲的概念,受力特点：杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。变形特点：直杆的轴线在变形后变为曲线。,梁以弯曲为主要变形的杆件称为梁。,第四章 弯曲应力,3,弯曲变形,第四章 弯曲应力,4,第四章 弯曲应力,5,纵向对称面,对称弯曲外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。,非对称弯曲梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。,第四章 弯曲应力,6,本章
2、讨论对称弯曲时梁的内力和应力。,对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。,第四章 弯曲应力,7,. 梁的计算简图,对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。,这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯曲时不能用轴线代表梁。,第四章 弯曲应力,8,(1) 支座的基本形式,1. 固定端实例如图a，计算简图如图b, c。,第四章 弯曲应力,9,2. 固定铰支座实例如图中左边的支座，计算简图如图b，e。,3. 可动铰支座实例如图a中右边的支座，计算简图如图c，f。,第四章 弯曲应力,10,悬
3、臂梁,(2) 梁的基本形式,简支梁,外伸梁,第四章 弯曲应力,11,在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。,(3) 静定梁和超静定梁,图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。,第四章 弯曲应力,12,例题4-1 试求图a所示有中间铰C的梁A、B处的约束力。,第四章 弯曲应力,(a),解：1. 此梁左端A为固定端，有3个未知约束力FAx，FAy和MA；右端B处为可动铰支座，有1个未知约束力FBy。此梁总共有4个未知支约束力。,13,对于平面力系，虽然可列出3个独立平衡方程，但此梁具有中间铰C，故根据铰不能传递力矩的
4、特点，作用在中间铰一侧(梁的AC或梁CB段)梁上的外力(荷载和约束力)对于中间铰C的力矩应等于零，还可列出1个独立的平衡方程。这样就可利用4个平衡方程求解4个未知支约束力。由此也可知，此梁是静定梁。,第四章 弯曲应力,14,第四章 弯曲应力,于是可求得约束力如下：,15,第四章 弯曲应力,16,2. 此梁的约束力亦可将梁在中间铰C处拆开，先利用CB段梁作为分离体求约束力FBy和AC段梁在中间铰C处作用在CB段梁上的FCx和FCy，然后利用AC段梁作为分离体求约束力FAx，FAy和MA。,第四章 弯曲应力,17,3. 显然可见，作用在此梁CB段上的荷载是要通过中间铰传递到梁的AC段上的，但作用在
5、AC段上的荷载是不会传递给CB段的。故习惯上把梁的AC段称为基本梁(或称主梁)，把梁的CB段称为副梁。,第四章 弯曲应力,18,思考：1. 如果上述例题中所示的梁上，没有原来的荷载，但另外加一个作用在中间铰C上的集中荷载F =100 kN，试求该梁的约束力。,第四章 弯曲应力,19,2. 在中间铰C的左侧加一个力矩为Me的力偶和在中间铰C的右侧加一力矩同样大小的力偶，它们产生的约束力是否一样？,第四章 弯曲应力,20,4-2 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,. 梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment),图a所示跨度为l的简支梁其约束力为,梁的左段内任一
6、横截面mm上的内力，由mm左边分离体(图b)的平衡条件可知：,第四章 弯曲应力,21,它们的指向和转向如图b中所示。显然这些内力是 mm右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。,故根据作用与反作用原理，mm左边的梁段对于右边梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由mm右边分离体的平衡条件加以检验：,第四章 弯曲应力,22,从而有,第四章 弯曲应力,23,梁的横截面上位于横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。,第四章 弯曲应力
7、,24,为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。,第四章 弯曲应力,25,综上所述可知：(1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。,(2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。1. 不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。,第四章 弯曲应力,26,2. 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值
8、的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。,第四章 弯曲应力,27,. 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。,第四章 弯曲应力,28,例题4-4 图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,第四章 弯曲应力,(a),29,距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根据截面右侧梁段上的荷载有,解：1. 列剪力方程和弯矩方程,当求悬臂梁横截面
9、上的内力(剪力和弯矩)时，若取包含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。,第四章 弯曲应力,30,2. 作剪力图和弯矩图,根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如图b和图c。按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方，弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁弯曲时其受拉的边缘一侧)。,第四章 弯曲应力,(b),(c),31,由图可见，此梁横截面上的最大剪力其值为FS,max=ql，最大弯矩(按绝对值)其值为 (负值)，它们都发生在固定端右侧横截面上。,第四章 弯曲应力,(b),(c),(a),32,例题4-5 图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯
10、矩图。,解：1. 求约束力,第四章 弯曲应力,(a),33,2. 列剪力方程和弯矩方程,第四章 弯曲应力,34,由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为 (正值，负值)，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为 发生在跨中横截面上。,3. 作剪力图和弯矩图,第四章 弯曲应力,35,简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况，初学者对于此种情况下的剪力图、弯矩图和FS,max，Mmax的计算公式应牢记在心！,第四章 弯曲应力,36,例题4-6 图a所示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,第四章 弯曲应力,解：1. 求约束力,37,2. 列剪力方程和弯矩方程,此
11、梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。,第四章 弯曲应力,F,AC段梁,38,CB段梁,第四章 弯曲应力,F,39,3. 作剪力图和弯矩图,如图b及图c。由图可见，在b a的情况下，AC段梁在0xa的情况下，C截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩绝对值最大， 为 （负值)。弯矩图在集中力偶作用处有突变，也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。,第四章 弯曲应力,46,思考1：一简支梁受移动荷载F作用，如图所示。试问：(a) 此梁横截面上的最大弯矩是否一定在移动荷载作
12、用处？为什么？(b) 荷载F移动到什么位置时此梁横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置时的最大弯矩都要大？该最大弯矩又是多少？亦即要求求出对于弯矩的最不利荷载位置和绝对值最大弯矩值。,第四章 弯曲应力,47,思考2：对于图示带中间铰C的梁，试问：(a) 如果分别在中间铰左侧和右侧作用有向下的同样的集中力F，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？(b) 如果分别在中间铰左侧和右侧作用有同样大小且同为顺时针的力偶矩Me的力偶，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？,第四章 弯曲应力,C,48,思考3：根据对称性与反对称性判断下列说法是否正确。,(a) 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力
13、图为 反对称； (b) 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称。,第四章 弯曲应力,49,例 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。,解：1. 求支座约束力,可利用平衡方程 对所求约束力进行校核。,第四章 弯曲应力,50,2. 建立剪力方程和弯矩方程,AC段：,CB段：,第四章 弯曲应力,51,3求控制截面内力，绘FS , M图,FS图： AC段内 剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值即可,CB段内 剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值连一水平线即为该段剪力图。,第四章 弯曲应力,52,M图： AC段内 弯矩方程
14、是x的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，需求出两个端截面的弯矩。,需判断顶点位置，该处弯矩取得极值。,第四章 弯曲应力,53,我们可以发现，对于该梁来说有,CB段内 弯矩方程是x的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，并连成直线即可。,第四章 弯曲应力,54,（a） 当梁上有向下的均布荷载时，剪力图为一条直线，其斜率 为负；,而且，这微分关系也体现在该梁的剪力图和弯矩图中：,第四章 弯曲应力,55,第四章 弯曲应力,（b）从剪力图可见，随x的增大剪力FS由正值逐渐变为负值，故弯矩图切线的斜率 也应随x的增大而由正值逐渐变为负值；且在 的截面处 ，即弯矩图切线的斜率为零而弯矩有极值；,56,（c）由 可知，弯矩图的曲率 为负，亦即在弯矩图的纵坐标如图中那样取向下为正时，弯矩图为下凸的二次曲线。,第四章 弯曲应力,57,
