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1、,第9讲,函数模型及其应用,(必修1) 第三章 函数的应用,了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题.,1.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)=1.06(0.50m+1)给出，其中m0,m是大于或等于m的最小整数(如4=4,2.7=3,3.8=4).若从甲地到乙地的一次通话时间为5.5分钟的电话费为( ),C,A.3.71元 B.3.97元 C.4.24元 D.4.77元,由题设知,f(5.5)=1.06(0.505.5+1) =1,06(0.56+1)=4.24.故选C.,2.在某种新型材料的研制中,实验
2、人员获得了如下一组数据：,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( ),B,A.y=2x-2 B.y= (x2-1) C.y=log2x D.y=( )x,将各组数据代入验证，选B.,3.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式的电话费相差（ ）,A,A.10元 B.20元 C.30元 D. 元,两种话费相差为y， 根据几何关系可得y=y,=12,y=10， 所以y=10.,4.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运
3、，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x (xN*)的关系为y=-x2+12x-25，则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为（ ）,C,A.2 B.4 C.5 D.6,平均利润 = 12-10=2,当且仅当x= ,即x=5时,等号成立,故选C.,函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识.一般而言，有以下8种函数模型：,一次函数模型:
4、f(x)= +b(k、b为常数,k0); 反比例函数模型：f(x)= +b(k、b为常数,k0); 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的; 指数型函数模型：f(x)=kax+b(k、a、b为常数，k0,a0且a1);,对数型函数模型：f(x)=mlogax+n(m、n、a为常数,m0,a0且a1); 幂函数型模型：f(x)=axn+b(a、b、n为常数,a0,n0); “勾”函数模型：f(x)=x+ (k为常数,k0)，这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个“勾号”,故我们把它称之为“勾”
5、函数模型, 分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.,题型一 函数模型的选择,例1,扇形的周长为c(c0)，当圆心角为多少弧度时，扇形面积最大？,当r= 时， Smax= , 此时|= = = =2. 所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最大，为 .,(方法一)因为c=l+2r,所以l=c-2r0, 所以0r . 面积S= lr= (c-2r)r=( -r)r(0r ),当且仅当= ，即=2时，等号成立. 所以当圆心角大小为2 rad时，扇形面积最大，为 .,(方法二)因为c=l+2r=r+2r,所以r= . 所以S= r2=( )2= ,= .,(1)虽
6、然问“为多少时”，但若以为自变量，运算较大且需用到均值不等式等技巧，而方法一以半径为自变量，是一个简单的二次函数模型.同样，若以弧长l为自变量，也是一个二次函数模型.所以在构造函数过程中，要合理选择自变量.,(2)一般的，当线绕点旋转时，常以旋转角为变量.(3)合理选择是画图象还是分离参数解决不等式组成立问题.当图易于作出时，常用图象解决；当易分离参数且所得函数的最值易于求解时，可用分离参数法.,题型二 已知函数模型求参数值,例2,如图,木桶1的水按一定规律流入木桶2中，已知开始时木桶1中有a升水，木桶2是空的，t分钟后木桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-mt（其中m是常数，e是自然对
7、数的底数）.假设在经过5分钟时，木桶1和木桶2的水恰好相等,求：,(1)因为木桶2中的水是从木桶1中流出 的，而木桶1开始的水是a,又满足y1=ae-mt，所以y2=a-ae-mt. (2)因为t=5时,y1=y2,所以ae-5m=a-ae-5m，解得2e-5m=1 m= ln2.所以y1=ae .当y1= 时,有 =ae t=15(分钟).所以经过15分钟木桶1的水是 .,（1）木桶2中的水y2与时间t的函数关系； （2）经过多少分钟，木桶1中的水是 升?,已知函数模型求参数值，关键是根据题设条件建立方程求解.,题型三 给出函数模型的应用题,例3,经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20
8、天内的销售量(件)与价格（元）均为时间t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80-2t(件）,价格近似满足f(t)=20- |t-10|（元）.(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0t20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.,(1)y=g(t)f(t)=(80-2t)(20- |t-10|) =(40-t)(40-|t-10|)= (30+t)(40-t)(0t10)(40-t)(50-t)(10t20). (2)当0t10时,y的取值范围是1200,1225. 在t=5时,y取得最大值为1225； 当10t20时,y的取值范围是600,1200, 在t=2
9、0时，y取得最小值为600. 答:第5天,日销售额y取得最大值为1225元,第20天,y取得最小值600元.,阅读题目、理解题意是解决应用题的前提.本题的关键是对f(x)的假定的理解.选择数学模型和方法解决实际应用问题是核心步骤，因此解应用题时要根据题目中的数量关系，选择适当的数学模型和方法加以解决.,1.理解题意，找出数量关系是解应用题的前提，因此解题时应认真阅读题目，深刻理解题意.2.建立数学模型，确定解决方法是解应用题的关键，因此解题时要认真梳理题目中的数量关系，选择适当的方法加以解决.,3.函数的应用问题通常是以下几种类型：可行性问题、最优解问题(即最大值或最小值问题，如费用最小，效益最大等问题)、决策问题.解题时要灵活运用函数的性质和数学方法.4.应用题中的函数由于它具有实际意义，因此函数中的变量除要求使函数本身有意义外，还要符合其实际意义.,课后再做好复习巩固. 谢谢！,再见！,
