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1、弹性力学,第三章 应变,3-1 变形与应变概念3-2 变形连续条件3-3 应变增量和应变速率张量 3-4 应力应变分析的相似性与差异性,弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。,3-1 变形与应变概念,由于外部因素作用（荷载或温度改变等）引起物体内部各质点位置的改变称位移。物体内任意一点的位移，用它在x、y、z三个
2、坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向的为正。,u(x、y、z) = rx Rx v(x、y、z) = ry Ry w(x、y、z) = rz Rz,3-1 变形与应变概念,3-1 变形与应变概念,由于外部因素物体内部各点空间位置发生变化 位移形式 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。, 载荷或温度变化,位移 ,3-1 变形与应变概念,刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变（即其体内任意两点之间距保持不变）。刚体位移包括平行移动和转动位移,3-1 变形与应变概念,变形
3、位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。即物体的形状发生改变。变形位移包括形状改变和体积改变。,3-1 变形与应变概念,位移,刚性位移：反映物体整体位置的变动,变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化,研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究变形位移。, 位移函数应是位置坐标的单值连续函数。, 位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。,3-1 变形与应变概念,一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。物体的变形程度用应变来度量，
4、物体在某一时刻的形态与早先的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都会有应变。,变形的度量应变,外力作用下，物体各点发生位移，但是某点位移的大小并不能确定该处应力的大小，它与物体的整体约束有关。应变反映局部各点相对位置的变化，与应力直接相关，变形体力学中弹性力学对这种关系作了最为简化的假设，在各向同性线弹性的条件下，弹性常数只有两个。,1、正应变 2、切应变,变形的度量应变,正（线）应变,物体内一点 P（x,y,z）在 方向上的线应变：变形前在P点处沿 方向所取的微线段：变形后r的增量,变形的度量应变,正（线）应变线素的相对伸长
5、或缩短,正应变以伸长时为正，缩短时为负， 与正应力的正负号规定相对应。,变形的度量应变,剪（切）应变,物体内一点 P(x，y，z)的两垂直方向 和 方向之间的角度变化量，称之为 和 方向的切应变。为变形后 、 两垂直方向间角度的变化量则 ：变形后 x、y 两垂直方向间夹角的变化量。,变形的度量应变,，,，,剪（切）应变两正交线素夹角的减少,剪应变以直角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应。,变形的度量应变,线应变,、涉及受力物体内某一点； 、涉及该点的某一方向； 、是一个无量纲的物理量； 、表征某点某方向伸长变形的线应变取正，反之取负；,角应变,、涉及受力物体内某一点； 、涉及过
6、该点的某两相垂直方向； 、是一个有单位，无量纲的物理量。 、表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角应变取正，反之取负。,变形的度量应变,应变分量与位移分量的关系,A点在X方向的位移分量为u， B点在X方向的位移：,ABCD ABCD，求线素 AB、AD的正应变 ：,线素AB的正应变为：,同理，AD的正应变为：,X向线素AB的转角 ，Y向线素AD的转角,求剪应变 ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变,线素AB的转角为：,A点在Y方向的位移分量为v，B点在Y方向的位移分量：,应变分量与位移分量的关系,同理，Y向线素AD的转角：,由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小得多的 略去，得,因此，剪应
7、变为：,应变分量与位移分量的关系,以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况,同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：,应变分量与位移分量的关系,该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的关系，称为几何方程，也称为柯西(Cauchy)关系。,几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。,应变分量与位移分量的关系,应变分量 ex 、 ey 、 ez 、 e xy 、 e yz 、 e zx 满足张量的性质，构成一个二阶应变张量。,应变张量,以 xi 记 x，y，z ; 以 ui
8、 记 u，v，w,如果应变矢量 qN 正在平面法线N 方向上，则在这一方向上剪应变为零，则该法线方向即为主方向（或应变主轴）。其含义为：在这些方向上，运动前是彼此垂直的，其运动后仍保持垂直，相应的应变称为主应变 。,主应变和应变张量不变量,考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n）,斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj,剪应变为零的方向就是应变主轴方向；主轴方向的应变就是主应变,主方向方程有非零解的条件是其系数行列式必为零。,主应变特征方程,该方程一定存在三个根，设为1， 2， 3称为该点主应变:,展开得关于 的一元三次方程：,主应变和应变张量不变量,在
9、一定的应变状态下，物体内任一点的主应变不会随坐标系的改变而改变，因而，特征方程中的系数 J1，J2，J3 必为常数，称为应变不变量。,再次展开关于 的一元三次方程：,主应变和应变张量不变量,体积应变,第一应变不变量,第二应变不变量,第三应变不变量,主应变和应变张量不变量,应变张量分解和应变偏量不变量,定义平均应变：,应变球张量,应变偏张量,该应变状态只有体积等向膨胀或收缩，而没有形状畸变,该应变状态只有形状畸变而没有体积改变。,应变张量分解：,应变张量分解和应变偏量不变量,用主应变表示应变偏量：,注意，纯剪应变状态的条件与纯剪应力状态的条件相同，即纯剪应变的必要充分条件是kk =0 ，因此，e
10、ij 为纯剪状态，并且ij和eij 有相同主轴。,应变张量分解和应变偏量不变量,应变偏张量,应变偏量不变量如下：,应变张量分解和应变偏量不变量,由于J2=0 ，应变偏张量可进一步分解并解释为,都表示纯剪切变形，因此eij只与单元的剪切变形有关,应变张量分解和应变偏量不变量,应变张量的性质： （1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有线 应变（主应变）而无切应变。主应变张量为,主应变可由应变状态特征方程,求得。,应变张量分解和应变偏量不变量,（2）存在三个应变张量不变量I1、I2、I3，且,对于塑性变形，由体积不变条件，有,（3）在与主应变方向成45方向上存在主切应变，其大小为,若123
11、，则最大切应变为,应变张量分解和应变偏量不变量,（4）应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量,平均线应变,应变偏张量，表示变形单元体形状变化 （塑性变形时，由于体积不变，应变偏张量就是应变张量）,应变球张量，表示变形单元体体积变化。,应变张量分解和应变偏量不变量,画圆，称为应变莫尔圆。所有可能的应变状态都落在阴影线范围内。 由图可知，最大切应变为,应变莫尔圆,已知主应变的值，且123，可以在-平面上，圆心和半径分别为,（5）可以用应变莫尔圆表示一点的应变状态。,应变张量分解和应变偏量不变量,第三章 应变,3-1 变形与应变概念3-2 变形连续条件3-3 应变增量和应变速率张量 3-4 应力应
12、变分析的相似性与差异性,3-2 变形连续条件,变形前是连续的，变形后仍然是连续的。不允许出现裂纹或发生重叠现象。 为保证变形前后物体的连续性，应变之间必然存在某种关系，描述这种关系的数学表达式就是应变协调方程。,应变协调方程,在应力分析中，已经指出必须建立平衡方程以保证物体总是处于平衡状态。然而，在应变分析中，必须由某些条件强加于应变分量以保证变形体连续。,已知位移可以求出应变。但给定应变，那么有三个未知位移函数，有六个几何方程。如果不对应变加以限制就不能得到一个解。为了能得到一个单值的连续位移函数，必须对应变分量加以限制，这种约束被称为应变协调条件,六个应变分量之间要满足一定的关系，才能保证
13、变形体的连续性。应变分量之间的关系称为应变连续方程或应变协调方程。分析： 1）将几何方程中的x、y 分别对y、x求两次偏导数，可得,两式相加，得,应变协调方程,该式表明，在坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则切应变分量也就确定。,即,同理可得另外两式，综合在一起可得(应变连续方程或应变协调方程),应变协调方程,2）对三个切应变等式分别对z、x、y求偏导，得,将上面的前两式相加后减去第三式，得,应变协调方程,与另外两式组合得(应变连续方程或应变协调方程),再对上式两边对 x 求偏导数，得,上式表明，在物体三维空间内的三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就确定。,应变协调方程,表明一点的应变分
14、量所应满足的关系，称为应变连续方程，也称应变协调方程或圣维南(Saint-Venant)方程。,应变连续方程的物理意义表示：只有当应变分量之间满足一定的关系时，物体变形后才是连续的。否则，变形后会出现“撕裂”或“重叠”，变形体的连续性遭到破坏。 注：如果已知一点的位移分量，则由几何方程求得的应变分量自然满足连续方程。但如果先用其它方法求得应变分量，则只有满足上述应变连续方程，才能由几何方程求得正确的位移分量。,应变协调方程,例 设一物体在变形过程中某一极短时间内的位移为,试求：点（1, 1, 1）与点B（0.5, 1, 0）的应变值解 由几何方程式得应变分量为,代入点B的坐标值（0.5, 1,
15、 0），得其应变值,代入点A的坐标值 (1, 1, 1) ，得其应变值,应变协调方程,应变协调方程的张量表示：, 其数学意义：要求位移函数在其定义域内为单值连续函数，保证3个位移为未知量的6个几何方程不相矛盾。, 其力学意义：保证构成物体的介质在变形前后是连续的，物体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束，即同一点不会产生两个或两个以上的位移。,由位移函数应变自动满足连续方程（6个）,由应变位移积分必须满足全微分条件，变形才是协调的,证明应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。 变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数。 目标如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。 利用位移和转动分量的全微分，则,轮换x , y, z，可得du，dv和dwy，dwz,应变协调方程,如通过积分，计算出,是单值连续的，则问题可证。,保证单值连续的条件是积分与积分路径无关,根据格林公式,回代,回代到第四式,wx单值连续的必要与充分条件是,同理讨论wy，wz的单值连续条件，可得其它4式变形协调方程。 由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条件。, 变形连续性条件反映了真实情况下物体内各点应变之间的协调关系。, 对于单连通域物体，应变分量满足应变协调方程是保证物体变形连续的充要条件。,
