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1、机 械 振 动 理 论于德介,绪 论,振动是日常生活和工程中普遍存在的现象，有机械振动、电磁振荡、光的波动等不同的形式。这里研究机械振动，如钟摆的摆动、汽车的颠簸、混凝土振动捣实以至地震等。特点：物体围绕其平衡位置而往复运动。掌握机械振动的基本规律，可以更好地利用有益的振动而减少振动的危害。,广义振动：,任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。,一、振动工程的重要性,1. 大型回转机械动态失稳造成事故 2. 桥梁由于共振、风激振动倒塌 3. 产品包装 4. 汽车舒适性，航天工程 5. 机床加工质量 6. 夯士、振动检测,国家重点工程:长江三峡水利枢纽工程,135米蓄水前中孔闸门振动
2、试验现场(2003年4月应用锤击模态法),武汉大桥局桥科院、北方交通大学进行的“秦-沈线中华之星高速列车通过桥梁振动及结构应变试验” 。 中华之星高速列车设计时速260Km/h，实际测试时速 321.5 Km / h 。大桥为 28 孔双线后张法 预应力混凝土简支箱梁桥 ， 梁顶宽12.4m，梁高2.2m，梁跨长24.6m。,案例：齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。,案例：螺旋浆设计 可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。,二、动态问题特点,1. 复杂性：载荷作用的后效性，响应对载荷的记忆性2.
3、 危险性：共振、自激振动（在无外力的激励情况下突然振动，振幅上升，如机床、轧钢机、飞机）、颤振3. 超常性：振动现象难以直观解释，如共振、调谐消振器,三、工程振动问题类型,1. 振动分析(已知输入,系统求输出)2. 系统识别(已知输入和输出求系统）3. 载荷识别(已知系统,输出求输入),四、振动现象分类,1. 按系统分：线性、非线性2. 按响应分：定则、随机3. 按输入分：自由、强迫、自激（由系统反馈引起）、参数激励、（随机或周期改变系统特性）4. 按自由度分、离散、连续离散：常微连续：偏微本课程：线性、时不变系统。,第一章单自由度系统自由振动,1. 自由振动微分方程工程中许多振动可简化为一个
4、质量和一个弹簧的弹簧质量系统，系统在重力作用下沿铅垂方向振动的，具有一个自由度，简化为图示模型。下面来分析其运动规律，先列出其运动微分方程。,一. 单自由度系统的自由振动,在重力P=mg 的作用下 弹簧变形为s，称为静变形，该位置为平衡位置。重力和弹簧力。,平衡时满足：,设弹簧原长为l0，刚性系数为k。,取重物的平衡位置点O为坐标原点，取x轴的正向铅直向下。受力如图 。,由质点运动微分方程可列：,弹簧力F：,表明，物体偏离平衡位置于坐标x处，受到与偏离距离成正比而与偏离方向相反的合力，称此力为恢复力。 在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动。 重力加在振动系统上只改变其平衡位置，只要将坐标
5、原点取在平衡位置，可得到如上形式的运动微分方程。,两端除以质量m，并设,移项后得:,无阻尼自由振动微分方程的标准形式 是一个二阶齐次线性常系数微分方程。,方程解表示为：,两个根为：,设：,代入微分方程，消去ert 得特征方程：,C1和C2是积分常数，由运动的起始条件确定。,则解为：,设：,其运动图线为：,表明：无阻尼自由振动是简谐振动。,x（t）= x（t+T） T为常数，称为周期，单位符号为s。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动。考虑无阻尼自由振动微分方程,角度周期为2，则有:,则自由振动的周期为：,解为：,2.无阻尼自由振动的特点（1）固有频率无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，
6、任何瞬时t，其运动规律x（t）总可以写为:,其中,称为振动的频率 表示每秒钟的振动次数，其单位符号为1/s或Hz（赫兹）。 因为n=2f 所以n表示2秒内的振动次数，称为圆频率 单位符号为rad/s（弧度/秒）。 由,可得：,自由振动的圆频率n只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关，而与运动的初始条件无关； 它是振动系统的固有的特性，所以称n为固有圆频率。 固有频率是振动理论中的重要概念，它反映了振动系统的动力学特性，计算系统的固有频率是研究系统振动问题的重要课题之一。 由,上式表明：上述振动系统，知道重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率。 如：我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车
7、厢上下振动的频率。 满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大，则其振动频率比空载车厢低。,（2）振幅与初位相谐振振动表达式,A表示相对于振动中心点O的最大位移，称为振幅。 （nt+）称为相位（或相位角），相位决定了质点在某瞬时t的位置，它具有角度的量纲，而称为初相位，它决定了质点运动的起始位置。自由振动中的振幅A和初相位是两个待定常数，它们由运动的初始条件确定。设在起始t=0时，物块的坐标x=x0，速度v=v0。为求A和，,将初始条件代入以上两式，得到,得到振幅A和初相位的表达式为：,自由振动的振幅和初相位都与初始条件有关。,两端对时间t求一阶导数，得物块速度,3. 简谐振动(谐振动)特点,物体振动时
8、，如果离开平衡位置的位移x(或角位移)随时间t 变化可表示为余弦函数或正弦函数,(1). 弹簧振子的振动,弹簧振子：弹簧物体系统,平衡位置：振动物体所受合外力为零的位置,物体在平衡位置的两侧，在弹性恢复力和惯性两个因素互相制约下，不断重复相同的运动过程。,由胡克定律及牛顿第二定律可得物体的瞬时加速度:,谐振动运动方程,谐振动微分方程,其通解为：,（1）（2）两式均为物体作谐振动的特征表述。,(2)、弹簧振子的振动方程,微分方程形式,一个运动物体，它的加速度a与它离开平衡位置的距离恒成正比而反向那么此物体一定作简谐振动。,物体离开平衡位置后，总是受到一个方向指向平衡位置，大小与物体离开平衡位置的
9、距离成正比的力的作用，则此物体一定在作简谐振动。,-线性回复力,上述谐振动的特征表述均等价。,简谐振动特点：,简谐振动定义（判据）： 描述运动的物理量遵从微分方程,或运动方程为,运动学特征,为维持运动物体所受合外力,动力学特征,例：判断下列运动是否为简谐振动,乒乓球在地面上的上下跳动,小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动,O,切向运动,谐振动,竖直方向悬挂的谐振子,光滑斜面上的谐振子,k,速度,加速度,也是简谐振动,(3). 描述简谐振动的特征量-周期、振幅、相位,a、周期T-物体完成一次全振动所需时间。,对弹簧振子：,角频率,b. 振幅 A,c. 相位 t+ 决定振动物体的运动状态,谐振
10、动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。,相位t+ =0,x=A v=0 a=-2A,相位t+ =/2,x=0 v=-A a=0,(t + )是 t 时刻的相位, 是t =0时刻的相位 初相,如图m=210-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cmt=0时 x0=-9.8cm, v0=0 取开始振动时为计时零点，写出振动方程； （2）若取x0=0，v0为计时零点，写出振动方程,并计算振动频率。,解：, 确定平衡位置 mg=k l 取为原点k=mg/ l 令向下有位移 x, 则 f=mg-k(l +x)=-kx 作谐振动 设振动方程为,例题,由初条件得,由x0=Acos=-0.0980 cos0,x
11、0=Acos=0 , cos=0 =/2 ,3/2,v0=-Asin0 , sin 0, 则 x2比x1较早达到正最大, 称x2比x1超前 (或x1比x2落后)。,领先、落后以 的相位角来判断,即x1比x2超前,超前时间t=/= T/2,b.比较同一振动不同时刻的位相关系,= ( t2 + )- ( t1 + ) = (t2 - t1 ),振动状态（1）超前振动状态（2）/3,两振动状态间的时间间隔t= (/2)T=T/6,谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系,由图可见：,(1).解析法,(2).曲线法, = /2,由：,例题,已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程
12、。,解：方法1,用解析法求解,设振动方程为,故振动方程为,方法2：,用旋转矢量法辅助求解。,v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位,由图知,5.谐振动的能量 以弹簧振子为例,谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep,某一时刻，谐振子速度为v，位移为x,谐振动的动能和势能是时间的周期性函数,简谐振动系统的能量特点:,(1) 动能,(2) 势能,分析：,(3) 机械能,简谐振动系统机械能守恒,由起始能量求振幅,6.同一直线上谐振动的合成 振动迭加原理,合振动的位移等于各个分振动位移的矢量和。,(1)、同一直线上两个同频率谐振动的合成：,合振动是简谐振动, 其频率仍为,两种特殊情况,如 A1
13、=A2 , 则 A=0,两分振动相互加强,两分振动相互减弱,分析,合振动不是简谐振动,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,(2)、 同一直线上两个不同频率谐振动的合成,分振动,合振动,当 2 1时,拍合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强，时而减弱的现象,拍频-单位时间内加强(或减弱)的次数,例. 质量为m=0.5kg的物块，沿光滑斜面无初速度滑下，如图所示。当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹簧不再分离。弹簧刚度k=0.8 kN/m，倾角=30，求此系统振动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。,解：1)取质量弹簧系统 物块于弹簧的自然位置A处碰上弹簧。若物块平衡时，由于斜面的影响，弹簧应有变形量:,2）以物块平衡位置O为原点，取x轴如图。,3）物块在任意位置x处受得力mg、斜面约束力FN和弹性力F作用,表明斜面角与物块运动微分方程无关。,固有频率与斜面倾角无关。,4）物块沿x轴的运动微分方程为,固有频率,此系统的通解为,5）当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点，此时物块的坐标即为初位移：,物块碰上弹簧时,初始速度为：,得振幅及初相位：,则此物块的运动方程为：,解：1）此无重弹性梁相当于一弹簧，其静挠度相当于弹簧的静伸长，则梁的刚性系数为,2）重物在梁上振动时，所受的力有重力mg和弹性力F，若取其平衡位置为坐标原点，x轴方向铅直向下。,
