5.3相似矩阵

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1、相 似 矩 阵,统计与应用数学系 雷俊丽,2,2018/9/11,设,求,解,而,故,P45,3,2018/9/11,例13(续)：,4,2018/9/11,则称矩阵 B 是A的相似矩阵，并称矩阵A与B相似.,一、相似矩阵的概念,定义1 设 A , B 为 n 阶方阵, P 为 n 阶可逆,矩阵, 且,P-1AP = B ,对 A 进行运算P-1AP 称为对 A 进行相似变换，,可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.,5,2018/9/11,而矩阵 B 相似于矩阵 C , 则矩阵 A 相似于矩阵 C.,(1) 反身性 即一个矩阵与它自身相似;,(2) 对称性 即若矩阵 A 相似于

2、矩阵 B ,则矩阵 B 也相似于矩阵 A;,(3) 传递性 即若矩阵 A 相似于矩阵 B ,二、相似矩阵的性质,相似描述了矩阵之间的一种关系, 这种关系,具有下面的性质:,6,2018/9/11,A 与 B 有相同的特征多项式. 进而有相同的特征值, 相同的行列式，相同的迹，以及相同的秩.,设A，B 是同阶方阵:,定理1 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则：,推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵, = diag(1 , 2 , , n),相似，则 1 , 2 , , n 即是 A 的 n 个特征值.,7,2018/9/11,解: 因为A与B相似，所以它们有相同的迹以及行列式，即：,8,2018

3、/9/11,即 A-1 与 B-1 相似. 证毕,由定理1, 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 则,detA = detB ,所以, 当 detA 0 时, 必有 detB 0, 即 A 可逆时,B 也可逆.,设 P 为可逆矩阵, 且 B = P-1AP, 则,B-1 = (P-1AP)-1 = P-1A-1P ,证明,定理2 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 且矩阵 A,可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.,9,2018/9/11,g(A) 与 g(B) 相似.,定理3 若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是,正整数, g(x) = a0xm + a1xm-

4、1 + + am , 则,kA 与 kB 相似,Am 与 Bm 相似,AT 与 BT相似,10,2018/9/11,思考1：与单位矩阵E相似的矩阵有多少？,与E相似的矩阵只有E本身.,思考2：有相同特征值的矩阵一定相似吗？,不 一 定 ！,思考3：与矩阵A相似的矩阵唯一吗？,思考4：矩阵A一定可以与对角矩阵相似吗？,不 唯 一 ！,不 一 定 ！,11,2018/9/11,例如：,12,2018/9/11,例如 设,13,2018/9/11,对于 n 阶方阵 A , 若存在可逆矩阵 P , 使,P-1AP = ( 为对角矩阵),则称 A 可对角化.,定义2,14,2018/9/11,定理 4

5、n 阶方阵 A 相似于对角矩阵 的充,要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.,三、矩阵的对角化,推论 若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值,则A 必能相似于对角矩阵.,15,2018/9/11,AP = P , 即,必要性,设有可逆矩阵 P , 使得,P-1AP = ,其中 =diag ( 1 , 2 , , n ).,令 P = ( p1 , p2 , , pn ),证明,将矩阵 P 按列分块,则由 P-1AP = , 得,16,2018/9/11,1 , 2 , , n 的特征向量.,因而,Api = i pi , i = 1, 2, , n ,因为 P 为可逆矩阵, 所以 p

6、1 , p2 , , pn为线性无,关的非零向量, 它们分别是矩阵 A 对应于特征值,充分性,由必要性的证明可见, 如果矩阵 A,有 n 个线性无关的特征向量, 设它们为 p1 , p2 , , pn , 对应的特征值分别为 1 , 2 , , n ,17,2018/9/11,即 P-1AP = . 证毕,则有,Api = i pi , i = 1, 2, , n,以这些向量为列构造矩阵 P = ( p1 , p2 , , pn ),则 P 可逆, 且,AP = P , 其中 =diag (1 , 2 , , n ) ,18,2018/9/11,19,2018/9/11,20,2018/9/1

7、1,当 A 的特征方程没有重根时，A一定能对角化；,当 A 的特征方程有重根时，A不一定能对角化.,当 A 的每一个特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于它的重数时，A可以对角化.,几何重数,代数重数,21,2018/9/11,四、矩阵对角化的步骤,22,2018/9/11,23,2018/9/11,n1 + n2 + + ns = n.,四、矩阵对角化的步骤,设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的,步骤如下：,Step1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A,有 s 个不同的特征值 1 , 2 , , s ，它们的重,数分别为 n1, n2 , , ns , 有,24,2018/9

8、/11,Step2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - iE)x = 0,的基础解系, 设为,( i = 1, 2, , s ) . 以这些向量为列构造矩阵,则 P-1AP = .,25,2018/9/11,26,2018/9/11,例2 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,27,2018/9/11,解之得基础解系,得方程组,28,2018/9/11,求得基础解系,29,2018/9/11,解之得基础解系,故 不能化为对角矩阵.,30,2018/9/11,解,31,2018/9/11,解之得基础解系,32,2018/9/11,所以 可对角化.,33,2018/9/11,注意,即矩阵 的

9、列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,34,2018/9/11,例4 已知矩阵,相似,（1）求 与,（3）求,（2）求一个可逆矩阵 使,或由A与B的迹相等，得：-2+x+1=-1+2+y，即x-2=y 将x=0代入，得：y=-2,35,2018/9/11,36,2018/9/11,37,2018/9/11,例4 设,问 x 为何值时，矩阵 A 能对角化？,解,得,38,2018/9/11,对应单根 1 = -1 ，可求得线性无关的特征,向量恰有一个，,是对应重根 2 = 3 = 1 ，有两个线性无关的特,征向量，,的解，亦即系数矩阵 A E 的秩,R(A E) = 1 .,由,初等行变换

10、,得 a = -1 时， R(A E) = 1 ，矩阵 A 能对角化.,故矩阵 A 可对角化的充要条件,即方程 (A E ) x = 0 有 2 个线性无关,39,2018/9/11,A 可对角化,A 有 n 个线性无关的特征向量,A 的 ni 重特征值有 ni 个线性无关的特征向量,方程 (A - iE)x = 0 的基础解系由 ni 个向量构成,R (A - iE) = n - ni,40,2018/9/11,例5 已知矩阵 可对角化，求,41,2018/9/11,所以 时， 可对角化。,42,2018/9/11,解: 因为 有三个互异的特征值,所以 可对角化.设 则所以,43,2018/

11、9/11,五、 利用矩阵对角化计算矩阵多项式,的多项式,特别,为对角矩阵,则,44,2018/9/11,五、 利用矩阵对角化计算矩阵多项式,这里,45,2018/9/11,五、 利用矩阵对角化计算矩阵多项式,定理 4,证,一般的结论证明较困难,情形.,由,有,证毕.,46,2018/9/11,六.利用矩阵对角化求解线性微分方程组,解,令,则方程组可化为,记为,47,2018/9/11,解,若令,为可逆阵,代入上式得,即,可得,则方程组的解会很容易,求出.,六.利用矩阵对角化求解线性微分方程组,48,2018/9/11,解,分别为,令,则,的特征值为,对应特征向量,六.利用矩阵对角化求解线性微分

12、方程组,49,2018/9/11,解,即若令,则得,即,解微分方程易得,即,为任意常数,六.利用矩阵对角化求解线性微分方程组,50,2018/9/11,解,即,为任意常数,从而,故所求方程组的解为,六.利用矩阵对角化求解线性微分方程组,51,2018/9/11,七、 利用矩阵对角化求解线性方程组,在某城市有15万具有本科以上学历的人,其中有,1.5万人是教师,据调查,平均每年有10%的人从教师,职业转为其他职业,又有1%的人从其他职业转为教,师职业,试预测10年以后这15万人中有多少人在从事,教师职业.,解,则,用矩阵,表示教师职业,和其他职业间的转移,表示每年有90%的,人原来是教师;,表示

13、每年有10%的人从教,师职业转为其他职业.,52,2018/9/11,解,显然,即一年后,从事教师职业和其他职业的人数分别为,1.485万及13.515万.,又,所以,代入,得其对应特征向量为,53,2018/9/11,解,代入,得其对应特征向量为,代入,得其对应特征向量为,有,令,而,54,2018/9/11,解,所以10年后,有1.54万人当教师,有13.46万人从事其,他行业.,而,55,2018/9/11,七、约当形矩阵的概念,定义,形如,的矩阵称为约当块.,若一个分块矩阵的所有子块都是约当块,即,或约当标准形.,56,2018/9/11,注:,对角矩阵可视为每个约当块都为一阶的约当形

14、矩阵.,定理,2018/9/11,57,下列矩阵哪些是约当形矩阵，哪些不是？,58,2018/9/11,则可求出它的特征值为,征向量有2个:,又可用解线性方程组的办法求出 的线性无关的特,设矩阵,2,1,1.,值1的特征向量.,为2,是关于特征,59,2018/9/11,征向量有2个:,又可用解线性方程组的办法求出 的线性无关的特,值1的特征向量.,为2,是关于特征,60,2018/9/11,征向量有2个:,又可用解线性方程组的办法求出 的线性无关的特,值1的特征向量.,为2,是关于特征,61,2018/9/11,小结,相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：,62,2018/9/11,相似变换与相似变换矩阵,这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算,相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 ，而可逆矩阵 称为进行这一变换的 相似变换矩阵,