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1、第三章 理想流体动力学基本方程, 3-1 描述流体运动的两种方法 3-2 迹线、流线和流管 3-3 连续性方程 质量守恒方程 3-4 欧拉运动方程与积分形式的动量方程 3-5 理想流体定常运动的伯努利方程 3-6 压强沿流线法向的变化 3-7 总流的伯努利方程 3-8 伯努利方程应用举例 3-9 叶轮机械内相对运动的伯努利方程 3-10 动量方程和动量矩方程应用举例,3-1 描述流体运动的两种方法,二、流体质点的加速度 三、流动的分类,一、欧拉法 与 拉格朗日法,空间点 流体质点,空间点指流场中的固定位置，流体质点不断流过这些空间点。,空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。,第三章
2、 理想流体动力学基本方程,拉格朗日法 质点跟踪法,位移为基本变量,欧拉法定点观察法,速度为基本变量,压力、密度的表达?,用不同的方法描述同一个流场！,3.1 描述流体运动的两种方法,二、流体质点的加速度,用欧拉法表示,3.1 描述流体运动的两种方法,数学表达为复合函数对 t 求导。, 对流加速度（迁移加速度）, 加速度, 局部加速度 (时变加速度),加速度有三个分量：,例如 u=(x, y, z, t),流体质点的速度,3.1 描述流体运动的两种方法,流体质点物理量的随体导数（或物质导数）,_ 全导数,_ 局部导数,_ 对流导数,如：流体质点密度的时间变化率为,_ 全导数,_ 局部导数,_ 对
3、流导数,3.1 描述流体运动的两种方法,对流加速度：,由于截面面积变化，流体质点的速度沿流程变化。,举 例,局部加速度：,随着流量变化，不同时间经过同一点的流体质点速度不同。,流量随时间变化的变截面管流动,3.1 描述流体运动的两种方法,c,b,a,.,.,.,(1) 定常流动和非定常流动,空间点上的流动参数是否随时间变化？,(2) 一元流动、二元流动和三元流动区别流动参数对自变量的依赖程度,三、流动的分类( 欧拉法),c,b,a,.,.,.,3.1 描述流体运动的两种方法,（2）一元流动、二元流动和三元流动,喷管内粘性流体流动的速度分布,实际流动 u=u(x, y, z, t) 三元流动,考
4、虑平均流速 V=V(x, t) 一元流动,考虑轴对称， u=u(r, x, t) 二元流动,流动参数的变化与几个空间坐标有关？,3.1 描述流体运动的两种方法,绕无限翼展的二元流动,3.1 描述流体运动的两种方法,绕有限翼展的三元流动,3.1 描述流体运动的两种方法,1. 迹线,流场中流体质点的运动轨迹,在流动的水面上洒一小片细木屑，木屑随水流漂流的途径就可看成是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。,一、迹线、流线与脉线,例,3-2 迹线、流线和流管,第三章 理想流体动力学基本方程,2. 流线,某一瞬时在流场中标出的曲线，曲线上流体质点的速度方向与曲线的切线方向一致。,4,2 3 5 1,3.2
5、迹线、流线和流管,粘性流体绕圆柱体 的平面流动,由静止开始绕过圆柱的流动。流速是很快地增加然后保持恒定。,3.2 迹线、流线和流管,流线特点,1. 同一时刻，不同流体质点所组成的曲线，流线表示该时刻流场中质点的速度方向；,2. 流线密集程度表示速度的大小；,4. 流线不能相交和分叉，除非相交于驻点或奇点。,3. 定常流动时，流线和迹线重合；,3.2 迹线、流线和流管,奇点: 点源的例子,奇点,流线特点,3.2 迹线、流线和流管,流线特点,驻点: 钝体绕流的例子,驻点,驻点,(理想流体平面流动),3.2 迹线、流线和流管,3. 脉线,某一瞬时在流场中标出的曲线，曲线上所有流体质点来自同一空间位置
6、。,3.2 迹线、流线和流管,c,b,a,定常流动和非定常流动的流线、迹线与脉线,.,.,.,两矢量方向相同,4. 流线的微分方程,流线微元矢,流体质点速度矢,3.2 迹线、流线和流管,两个矢量的矢量积等于零,t 是参变量,流线的微分方程,3.2 迹线、流线和流管,例. 已知不可压缩流动的速度场 u=x+t，v=y+t，w=0 求 t =时刻，过点（ 1, 1, 0）流线。,积分得两曲面方程，其交线即流线,解. 非定常二元流动的流线方程（ t 不参加积分 ）,例 题,t =过点(1, 1, 0)的流线,(1, 1 ),5. 流管和流束,在流场中通过一条封闭曲线（不是流线） 上各点作流线，所组成
7、的管状曲面称之为流管。,流体限制在流管内流动,微元流束和总流的定义？,3.2 迹线、流线和流管,6. 有效截面,处处与流线垂直的截面称为有效截面,局部平行流的有效截面是平面,二、流量,体积流量,有效截面上,3.2 迹线、流线和流管,一元、不可压缩、理想流动的三个基本方程,质量守恒定律 能量守恒定律 动量守恒定律,连续性方程 伯努利方程 动量方程,第三章 理想流体动力学基本方程,控制面 控制体的边界面,控制体 选定坐标系中的固定空间区域,一、系统与控制体,控制面,控制体,连接管道的 突然扩大段,第三章 理想流体动力学基本方程,3-3 连续性方程 质量守恒方程,A、 V、 有效截面的面积、平均流速
8、、平均密度,定常总流,不可压缩总流,VA= C,VA= C,二、定常流动中总流的连续性方程,3.3 连续性方程 质量守恒方程,例. 输水圆管截面直径d1=0.05m，d2=0.1m，进口 V1=0.2 m/s，求出口V2及流量Q。,V1A1=V2A2,V2 = V1(d1/ d2)2 =0.05m/s,Q=V1A1=V1d21/4 =3.910-4m3/s,解.,由不可压缩流动连续性条件,A1 V1 A2 V2,例 题,得,dx,dy,dz,A,B,三、微分形式的连续性方程式,dt时间内，经过y方向两微元面净流入的质量,微元控制体,dt时间内，经过控制面净流入控制体的质量,dt时间内，控制体内
9、密度变化引起的质量增加,连续性条件：控制体内质量增长率=净流入质量流量,3.3 连续性方程 质量守恒方程,可压缩流体非定常流动的连续性方程,可压缩流体定常流动的连续性方程,不可压缩流体流动的连续性方程,3.3 连续性方程 质量守恒方程,由 y =0, v=0得 f (x)=0,用极坐标表示,解,由不可压缩条件,积分求出 y方向速度分量,，在 x 轴各点v =0。求 y方向速度分量及通过任一围绕原点的圆的流量Q。m为常数。,例. 已知平面不可压缩流动,例 题,过任一绕原点圆的流量 Q=m,点源流,一、欧拉运动方程,3-4 欧拉运动方程与积分形式的动量方程,运动的理想流体，加速度可以不等于零,理想
10、流体,静止流体,（流体微团无相对运动 ）,（ =0）,比较静止流体和运动的理想流体,表面应力只有压强,表面应力只有压强,，切应力为零,，切应力为零,二、积分形式的动量方程,第三章 理想流体动力学基本方程,欧拉平衡方程,dx,dy,dz,f,a,A,B,流体微团的受力分析,y方向的表面力,在形心 M （x、y、z）定义p、f、u、a,欧拉运动方程,理想流体 运动微分方程,3.4 欧拉运动方程与积分形式的动量方程,（欧拉运动方程）,理想流体 运动微分方程,3.4 欧拉运动方程与积分形式的动量方程,在形心 M （x、y、z）定义p、f、u、a,非惯性坐标系,(如固定在旋转叶片上的相对坐标系), 相对
11、坐标系的平移加速度、 旋转角速度、旋转角加速度,式中, 流体在相对坐标系中的位移、 速度和加速度,惯性力,3.4 欧拉运动方程与积分形式的动量方程,动量定理,F,二、积分形式的动量方程,系统的动量定理,mV 质点或系统的总动量F 质点或系统受到的外力,控制体动量方程（无粘性力）,A,mV,定常流动,经过控制面的动量流量,积分形式的动量方程,3.4 欧拉运动方程与积分形式的动量方程,理想流体、定常流动,积分形式的动量方程 控制体体积A 控制体表面积,经过控制面的动量流量,3.4 欧拉运动方程与积分形式的动量方程,曲率半径,微团速度,3-5 理想流体定常运动的伯努利方程,定常流动，迹线与流线重合,
12、1. 在自然坐标下分解加速度,2. 沿流线积分运动方程,第三章 理想流体动力学基本方程,一、理想流体沿流线的伯努利方程,2. 沿流线积分运动方程,欧拉运动方程,不可压缩，定常流动，重力场,方程可写为,沿流线积分得伯努利方程,3-5. 理想流体定常运动的伯努利方程,沿流线单位重量流体的机械能守恒,应用条件,理想、,沿流线适用,重力流体、,不可压缩、,定常、,物理意义,（无旋流动，伯努利方程在全流场适用）,二、伯努利方程的意义,3-5. 理想流体定常运动的伯努利方程,由伯努利方程,由连续性条件,几何意义,p=？,沿流线单位重量流体的总能头守恒,3-5. 理想流体定常运动的伯努利方程,3-6 压强沿
13、流线法向的变化,流线法向的运动方程,质量力为重力,缓变流（曲率很小） 沿流线法向的压强分布,第三章 理想流体动力学基本方程,常数2,微元流束的连续性条件,微元流束的伯努利方程,由微元流束的伯努利方程导出总流的伯努利方程（能量关系式）,3-7 总流的伯努利方程,代平均值,常数1,代平均值,在两个缓变流截面上积分,A1,A2,在总流的两个缓变流截面上积分得,理想流体总流的伯努利方程, 动能修正系数,第三章 理想流体动力学基本方程,应用条件,(四) 选定基准面和压强度量标准,(三) 在缓变流截面的同一点取压强、位置值,(二) 两截面处为缓变流,(一) 理想、不可压缩、重力流、定常流动,3.7 总流的
14、伯努利方程,二、文丘里流量计 三、 虹吸管出流,一、 皮托管测量流速,PB 静压,V,PA 总压,3-8 伯努利方程应用举例,理想、不可压缩、重力流体、定常流动、沿流线（或沿总流的两个缓变流截面）,第三章 理想流体动力学基本方程,B A,皮托管测速原理,（1）用伯努利方程求速度与压强的关系,pA 总压,pB 静压,3.8 伯努利方程应用举例,B, z=0, 速度修正系数,（2）测量静压强差,A,等压面上两点的静压强,代入测速公式,3.8 伯努利方程应用举例,二、 文丘里流量计,已知管径和密度， 由两截面压差求流量, =1,联立求解总流的两个方程,(1)连续性条件,(2) 总流伯努利方程,3.8 伯努利方程应用举例,缓变流截面和测压管内有,即,(3) 测压管给出压强水头和位置水头差,用速度公式,3.8 伯努利方程应用举例,H=4cm L=24cm,三、虹吸管出流,等直径虹吸管出流， 忽略粘性影响。 求：（1）出口断面流速；（2）管内最大真空度。, =1,（1）在缓变流截面 1、2列伯努利方程,解.,已知,得,p、z 用统一的基准度量,3.8 伯努利方程应用举例,（2）在缓变流截面1、A列伯努利方程,得,由,安装虹吸管的限制：管内最高点压强 高于液体汽化压,
