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1、,等差数列,主讲人:郭东,、 观察与思考 :下面的几个数列:,、问题: 从第2项起它们的后一项与前一项的差有什麽特点?,分析:从第二项起,后一项与前一项的差是:,、归纳:这些数列共同特点:,导入,是常数1,是常数-3,是常数 1/10,从第2项起它们的后一项与前 一项的差都是同一个常数。,这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示。,一、等差数列的定义:,例 1: 观察下列数列是否是等差数列:,等差数列,一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那麽这个数列就叫做等差数列。,解析:(1)、该数列的第2项与第一项的差是1,其余的后一 项与前一项的差都是2。不符合等差数
2、的定义 要求从第2项起后项与前项的差是同一个常数。所以, 它不是等差数列。,(2)、不是。理由同(1),(3)、是。 它符合等差数列的定义。公差是0.通常 称作常数列.,(4)、不是。因为他从第2项起后项与前项的差是 : 1,2 , 3 ,4 ,5 ,是常数,但不是同一常数。所以不是。,1、等差数列要求从第2项起,后一项与前一项作差。 不能颠倒。2、作差的结果要求是同一个常数。可以是整数,也可以是和负数。,评注:,二、等差数列的通项公式:,如果等差数列 an 的首项是 a1 , 公差是d ,那麽由定义得:,a2-a1=d (1)a3-a2=d (2)a4-a3=d (3)a5-a4=d (4)
3、an-a n-1=d (n-1),等号左边为:an-a1 ,等号右边为:(n-1)d,所以: an-a1=(n-1)d ,即an=a1+(n-1)d,当n =1时,上式两边都等于 a1 。 nN*,公式成立。, 等差数列的通项公式是:,an = a1+(n-1)d,n -1 个,三、通项公式的应用:,例 2:(1)、已知等差数列的首项 a1是3,公差 d 是2,求它的通项公式。,(2)、求等差数列 10 ,8 , 6 ,4 ,的第20项。,(3)、 -401是不是等差数列 5 , -9 ,-13 , 的项 ?如果是,是第几项?,等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 中 ,an ,
4、a1 , n ,d 这四个变量 , 知道其中三个量就可以求余下的一个 量 。,评注:,分析:知道a1 , d ,求an 。代入通项公式。, a1=3 , d=2 an=a1+(n-1)d =3+(n-1) 2=2n-1,解:,(1)、已知等差数列的首项 a1是3,公差 d 是2,求它 的通项公式。,(2)、求等差数列 8 , 5 ,4 ,的第20项。,分析: 根据a1=8,d= 5-8= -3,先求出通项公式an ,再求出a20,解: 由题可得 a1=8, d=5-8= -3 , n=20所以这个数列的通项公式为:an=8+(n-1) (-3) =11-3n 当n=20时,有a20 = 8+(
5、20-1)(-3)= -49,解: a1= -5, d= -9-(-5)= -4 an= -5+(n-1) (-4)= -4n-1 -401= -4n-1 n=100 -401是该数列的第100项。,分析:根据a1= -5,d= -4,先求出通项公式an ,再把 401代入,然后看是否存在正整数n 。,(3)、 -401是不是等差数列 5 , -9 ,-13 , 的项 ?如果是,是第几项?,解: 由题意可得a1+4d=10 (1)a1+11d=31 (2), d = 2 a1 =2, an = 2+(n-1) 2 = 2n,此题解法是利用数学的函数与方程思想,函数与方程思想是数学几个重要思想方
6、法之一,也是高考必考的思想方法,应熟悉并掌握。,例3: 在等差数列an中 , 已知a5=10 ,a12=31 ,求首项a1 ,公差 d 。,分析: 此题已知a5=10 ,n=5 ;a12=31 , n=12分别代入通项, 公式an = a1+(n-1)d 中 ,可得两个方程,都含a1与d两个未知 数组成方程组,可解出a1与d 。,*,评注:,推广后的通项公式:,(n-m)d,(m n),由通项公式及其变形式我们知道:(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项;(2)已知等差数列任意两项,可以确定等差数列中的任一项,1、 等差数列的概念。必须从第2项起后项减去前项,并且差是 同 一常数。,2、
7、等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d 知道其中三 个(或两个)字母变量,可用列方程(或方程组)的方法,求余下的一个(或两个)变量。,四、小结:,这节课主要讲了以下两个问题:,1、(1)、求等差数列 3 ,7 , 11 ,的第4项和第10项。(2)、100是不是等差数列 2 ,9 ,16 ,的项?如果是, 是第几项?如果不是,说明理由。(3)、 -20是不是等差数列 0 ,-3.5 ,-7 ,的项?如果是, 是第几项?如果不是,说明理由。,2、在等差数列an中,(1)已知 a4=10 , a7=19 ,求 a1与 d 。(2)、已知 a3=9 , a9=3 ,求 a12 。,五、练习
8、:,解: (1)、 a1=3 , d=7-3= 4 an=3+4(n-1)= 4n-1 a4=44-1=15 , a10=410 1=39,(2)、 a1=2 ,d=9-2=7 an=2+7(n-1)= 7n-5 100=7n-5 n =15 100是该数列的第15项。,(3)、 a1=0 ,d= -3.5 -0= -3.5 an=0-3.5(n-1)= -3.5n+3.5 -20= -3.5n+3.5无正整数解 -20不是该数列的项。,解: (1)已知 a4 =10, a7 =19 由通项公式的推广形式知d=(19-10) (7-4)=3a4 = a1 +3d 解得 a1 =10-33=1,(2)由题意得 d= (a9 a3 ) (9-3)= -1a3 = a1 +2d 解得:d= -1 , a1=11 。 an=11-1(n-1)=12-n a12= 12-12 =0,练习与作业:,(1)、练习:P113 1 、2 (2)、作业:P114 1 、 2,谢谢大家,课已讲完,不对之处请提宝贵意见,