《有理系数多项式》由会员分享,可在线阅读,更多相关《有理系数多项式(27页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、4 最大公因式,5 因式分解,6 重因式,10 多元多项式,11 对称多项式,3 整除的概念,2 一元多项式,1 数域,7 多项式函数,9 有理系数多项式,8 复、实系数多项式 的因式分解,第一章 多项式,一、本原多项式,二、整系数多项式的因式分解,1.9 有理系数多项式,问题的引入,1. 由因式分解定理,作为一个特殊情形:,对 则 可唯一分解,成不可约的有理系数多项式的积.,但是,如何作出它的分解式却很复杂,没有一个,一般的方法.,2. 我们知道,在 上只有一次多项式才是不可约,多项式;,在 上,不可约多项式只有一次多项式与某些,二次多项式;,但在 上有任意次数的不可约多项式如,如何判断 上
2、多项式的不可约性呢?,3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题,这是因为任一有理数可表成两个整数的商,事实上,设,若 的各项系数有公因子,就可以提出来,得,也即,其中 是整系数多项式,且各项系数没有异于,的公因子,一、本原多项式,设,定义,若 没有,则称 为本原多项式,有关性质,其中 为本原多项式,(除了相差一个正负号外,这种表示法是唯一的),2Gauss引理,定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式,设,是两个本原多项式,若 不是本原的,则存在素数,证:,又 是本原多项式,所以 不能整除 的,每一个系数,反证法,令 为 中第一个不能被 整除的数,即,同理, 本原,令 为 中第一个不能
3、被,整除的数,即,又,矛盾,在这里,故 是本原的,定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两,个次数较低的有理系数多项式,则它一定可分解,成两个次数较低的整系数多项式的乘积,二、整系数多项式的因式分解,设整系数多项式 有分解式,其中 且,证:,令,这里, 皆为本原多项式,,于是,由定理10, 本原,,即,从而有,得证,设 是整系数多项式,且 是本原,推论,的,若 则,必为整系数多项式,令,本原,,即,为整系数多项式,证:,于是有,,定理12 设,是一个整系数多项式,而 是它的一个有理根,,其中 是互素的,则必有,是 的有理根,,从而,又 互素,,比较两端系数,得,证:, 在有理数域上,,由上推
4、论,有,本原,所以,,定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件,,而非充分条件,例1 求方程 的有理根.,可能有理根为,用综合除法可知,只有1为根,注意,解:,例2 证明: 在 上不可约,若 可约,,但 的有理根只可能是,所以 不可约,证:,则 至少有一个一次因式,,也即有一个有理根,而,矛盾,定理13 艾森斯坦因Eisenstein判别法,设,是一个整系数多项式,若有一个素数 使得,则 在有理数域上是不可约的,若 在 上可约,由定理11,,可分解为两次数较低的整系数多项式积,证:,又,不妨设 但,或,不能同时整除,另一方面,,假设 中第一个不能被 整除的数为,比较两端 的系数,得,上式
5、中 皆能被 整除,,矛盾,故 不可约,例3 证明: 在 上不可约,证:(令 即可),(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式),例4 判断,( 为素数)在 上是否可约,令,则 为整系数多项式,但,解:,在 上不可约,,从而 在 上不可约,即, Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件,而,非必要条件,注意,也就是说,如果一个整系数多项式,不满足Eisenstein判别法条件,则它可能是可约的,,也可能是不可约的, 有些整系数多项式 不能直接用Eisenstein判别法来判断是其是否可约,此时可考虑用适当的代换 使 满足Eisenstein判别法条件,从而来判定原多项式 不可约,有理系数多项式 在有理系数上不可约,命题,在有理数域上不可约,多项式,例5 证明: 在 上不可约,取,证:,作变换,则,在上不可约,,所以 在上不可约,由Eisenstein判别法知,,对于许多 上的多项式来说,作适当线性代换后,再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的,多项式 无论作怎样的代换 都不能,使 满足爱森斯坦因判别法的条件,,即找不到相应的素数,说明:,办法,但未必总是凑效的也就是说,存在 上的,如,,练习,P 为素数, 证明:,在上不可约,