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1、4 最大公因式,5 因式分解,6 重因式,10 多元多项式,11 对称多项式,3 整除的概念,2 一元多项式,1 数域,7 多项式函数,9 有理系数多项式,8 复、实系数多项式 的因式分解,第一章 多项式,一、本原多项式,二、整系数多项式的因式分解,1.9 有理系数多项式,问题的引入,1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形：,对 则 可唯一分解,成不可约的有理系数多项式的积.,但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个,一般的方法.,2. 我们知道，在 上只有一次多项式才是不可约,多项式；,在 上，不可约多项式只有一次多项式与某些,二次多项式；,但在 上有任意次数的不可约多项式如,如何判断 上
2、多项式的不可约性呢?,3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题,这是因为任一有理数可表成两个整数的商,事实上，设,若 的各项系数有公因子，就可以提出来，得,也即,其中 是整系数多项式，且各项系数没有异于,的公因子,一、本原多项式,设,定义,若 没有,则称 为本原多项式,有关性质,其中 为本原多项式,（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）,2Gauss引理,定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式,设,是两个本原多项式,若 不是本原的，则存在素数,证：,又 是本原多项式，所以 不能整除 的,每一个系数,反证法,令 为 中第一个不能被 整除的数，即,同理， 本原，令 为 中第一个不能
3、被,整除的数，即,又,矛盾,在这里,故 是本原的,定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两,个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解,成两个次数较低的整系数多项式的乘积,二、整系数多项式的因式分解,设整系数多项式 有分解式,其中 且,证：,令,这里， 皆为本原多项式，,于是,由定理10， 本原，,即,从而有,得证,设 是整系数多项式，且 是本原,推论,的，若 则,必为整系数多项式,令,本原，,即,为整系数多项式,证：,于是有，,定理12 设,是一个整系数多项式，而 是它的一个有理根，,其中 是互素的，则必有,是 的有理根，,从而,又 互素，,比较两端系数，得,证：, 在有理数域上，,由上推
4、论，有,本原,所以，,定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件，,而非充分条件,例1 求方程 的有理根.,可能有理根为,用综合除法可知，只有1为根,注意,解：,例2 证明: 在 上不可约,若 可约，,但 的有理根只可能是,所以 不可约,证：,则 至少有一个一次因式，,也即有一个有理根,而,矛盾,定理13 艾森斯坦因Eisenstein判别法,设,是一个整系数多项式，若有一个素数 使得,则 在有理数域上是不可约的,若 在 上可约，由定理11，,可分解为两次数较低的整系数多项式积,证：,又,不妨设 但,或,不能同时整除,另一方面，,假设 中第一个不能被 整除的数为,比较两端 的系数，得,上式
5、中 皆能被 整除，,矛盾,故 不可约,例3 证明： 在 上不可约,证：（令 即可）,(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式),例4 判断,（ 为素数）在 上是否可约,令,则 为整系数多项式,但,解：,在 上不可约，,从而 在 上不可约,即, Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而,非必要条件,注意,也就是说，如果一个整系数多项式,不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的，,也可能是不可约的, 有些整系数多项式 不能直接用Eisenstein判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的代换 使 满足Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式 不可约,有理系数多项式 在有理系数上不可约,命题,在有理数域上不可约,多项式,例5 证明： 在 上不可约,取,证：,作变换,则,在上不可约，,所以 在上不可约,由Eisenstein判别法知，,对于许多 上的多项式来说，作适当线性代换后,再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的,多项式 无论作怎样的代换 都不能,使 满足爱森斯坦因判别法的条件，,即找不到相应的素数,说明：,办法，但未必总是凑效的也就是说，存在 上的,如，,练习,P 为素数， 证明:,在上不可约,
