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1、,第二章 平面力系的简化和平衡,静力学,第二章 平面力系的简化和平衡,21 平面汇交力系的合成与平衡 22 平面力偶系的合成与平衡 23 平面任意力系的合成与平衡 24 物系的平衡,静定与超静定问题 25 平面静定桁架,3,静力学,空间力系: 包括空间汇交力系，空间平行力系，空间力偶系和 空间一般力系(空间任意力系)平面力系: 包括平面汇交力系，平面平行力系，平面力偶系和 平面一般力系(平面任意力系),4,静力学,平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点 的力系。,平面平行力系：各力的作用线都在同一平面内且互相平行 的力系。,平面力偶系：所有的力偶都作用在同一个平面内,平面任意力系
2、：各力的作用线都在同一平面内，包括上面三种情况,本章的研究内容：以上几种力系的合成和平衡研究方法：几何法和解析法,静力学,2-1 平面汇交力系合成与平衡,一、合成的几何法,1.两个共点力的合成,由力的平行四边形法则求合力,用力的三角形求合力,6,静力学,将力系中诸力矢首尾相接，得到一个几何图形，称为该力系 的力多边形。这是一个有缺口的，不闭合的多边形。由第一力矢的起点到最后一力矢的终点所作的力矢，即为该力系的合力。,7,静力学,结论：,即：,即：汇交力系的合力等于力系中各分力的矢量和，合力的作 用线通过力系的汇交点。,二、汇交力系平衡的几何条件,汇交力系平衡的充要条件是：,在几何法求力系的合力
3、中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：,力多边形自行封闭,或,力系中各力的矢量和等于零,力系的合力等于零,8,故可知： =70时， F2最小。 且可求得： F1=940N, F2=342N 。,例1 图中固定环上作用着二个力F1和F2，若希望得到垂直向下的合力F=1kN，又要求力F2尽 量小，试确定角和F1、F2的大小。,解：力三角形如图。有,F2/sin20=F/sin(180-20-),F1/sin=F/sin(180-20-),9,静力学,1、力在平面坐标轴上的投影,X=Fx=Fcosa ：Y=Fy=Fsina=F cosb,三 合成的解析法,10
4、,静力学,x,y,F,a,y,x,F,O,y,x,F,O,XF,YF,XF,XF,YF,YF,讨论：力的投影与分力,力F在垂直坐标轴x、y上的投影分量与沿x、y轴分解的分力大小相等。,力F在相互不垂直的轴x、y上的投影分量与沿x、y轴分解的分力大小是不相等的。,11,力在任一轴上的投影大小都不大于力的大小。 而分力的大小却不一定都小于合力。,力在任一轴上的投影可求，力沿一轴上的分力不定。,12,静力学,2、合力投影定理,由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：,合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。,即：,13,静力学,合力的大小：方向：作用点：,为该力
5、系的汇交点,14,静力学,由合力投影定理有：,证,od=ob+oc,又,3、平面汇交力系合成与平衡的解析法,从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。,即：,为平衡的充要条件，也叫平衡方程,15,例2.2 求图示作用在O点之共点力系的合力。,Rx=X=-400+250cos45-2004/5=-383.2 N Ry=Y=250sin45-500+2003/5=-203.2N,解：取坐标如图。合力在坐标轴上的投影为：,合力为： =433.7N;=tg-1(203.2/383.2)=27.9 在第三象限，如图所示。,16,例2.3 已知：如图 F、Q、l, 求： 和,静力学,
6、解：用力对点的矩法应用合力矩定理,17,静力学,解：研究AB杆画出受力图列平衡方程解平衡方程,例2.4 已知 P=2kN 求SCD , RA,由EB=BC=0.4m，,解得：,；,18,静力学,例2.5 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力ND=？,解：研究球受力如图，选投影轴列方程为,由得,由得,19,静力学,1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。,解题技巧及说明：,3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。,2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。,20,静力学,5、解析法解题时，力的方向可
7、以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。,4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。,21,b)在保持力偶矩不变的情况下，可以任意改变力和力臂的大小。 由此即可方便地进行力偶的合成。,平面力偶等效定理,同一平面内的二个力偶，只要其力偶矩相等，则二力偶等效。,2-2 平面力偶系的合成与平衡,22,静力学,平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系,设有两个力偶,d,d,23,静力学,平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。,结论:,平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。,24,比较：
8、,使物体沿力的作用线移动。,使物体在其作用平面 内转动。,力,力偶,25,静力学,例2.6 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?,解: 各力偶的合力偶距为,根据平面力偶系平衡方程有:,由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。,26,解 （1）受力分析,（2）列平衡方程：,对整体：,求得：,对CD杆：,27,静力学,23 平面任意力系的合成与平衡,平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫。,例,力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知力系（平面汇交力系和平面力
9、偶系）,28,研究思路：,受力分析,29,静力学,可以把作用在刚体上点A的力 平行移到任一 点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶的矩等于原来的力 对新作用点B的矩。,1.力的平移定理,30,静力学,说明：,31,静力学,2. 平面一般力系向一点的简化,32,静力学,（移动效应）,33,静力学,大小：主矩MO 方向： 方向规定 + 简化中心： (与简化中心有关)（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）,（转动效应）,固定端（插入端）约束,在工程中常见的,雨 搭,车 刀,34,固定端（插入端）约束,说明,认为Fi这群力在同一平面内; 将Fi向A点简化得一力和一力偶;RA方向不定可用正交分力YA,
10、 XA表示; YA, XA, MA为固定端约束反力; YA, XA限制物体平动,MA为限制转动。,20,35,情况 向O点简化的结果 力系简化的最终结果 分类 主矢FR 主矩MO （与简化中心无关）,讨论1 平面一般力系简化的最终结果,3 FR0 MO=0 合力FR=FR，作用线过O点。,2 FR=0 MO0 一个合力偶，M=MO。,1 FR=0 MO=0 平衡状态（力系对物体的移动和转动作用效果均为零）。,4 FR0 MO0 一个合力，其大小为 FR=FR，作用线到O点的距离为h=MO/FRFR在O点哪一边，由LO符号决定,平面力系简化的最终结果，只有三种可能：一个力；一个力偶；或为平衡力系
11、。,36,例8：求图示力系的合力。,FRx=Fx=F1+4F2/5-3F3/5=6+8-9=5 kN FRy=Fy=-3F2/5-4F3/5+F4=-6-12+8=-10 kN,合力FR=FR=11.1kN； 作用线距O点的距离h为：h=M0 /FR=1.09 (m) ； 位置由Mo 的正负确定，如图。,Mo=2F1-3(4F2/5)+4(3F3 /5)-4F4+M=12 kN.m,解：力系向O点简化，有：,37,设载荷集度为q(x)，在距O点x 处取微段dx, 微段上的力为q(x)dx。,讨论2 同向分布平行力系合成,FR大小等于分布载荷图形的面积,FR的作用线通过分布载荷图形的形心。,38
12、,故同向分布平行力系可合成为一个合力，合力的大小等于分布载荷图形的面积，作用线通过图形的形心，指向与原力系相同。,例9 求梁上分布载荷的合力,解：载荷图形分为三部分，有,设合力FR距O点为x，由合力矩定理有：-FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN.m 得到 x=6.4/3.1=2.06m 故合力为3.1kN，作用在距O点2.06m处，向下。,FR1=1.6kN; 作用线距O点1m。 FR2=0.6kN; 作用线距O点3.5m。 FR3=0.9kN; 作用线距O点3m。 合力 FR=FR1+FR2+FR3=3.1kN。,39,例10 求图中分布力系
13、的合力,解： FR1=2q1=1 KN; FR2=3q2/2=6 KN;,合力的大小： FR=FR2-FR1=5 KN 方向同FR2 ，如图。,合力作用位置(合力矩定理):FRx=3FR2-1FR1 ; x=(18-1)/5=3.4m,40,静力学,由于 =0 为力平衡MO=0 为力偶也平衡,所以平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢 和主矩 MO 都等于零，即：,4. 平衡条件与平衡方程,41,静力学,上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。,42,静力学,2-4 物体系统的平衡,43,1)静定问题,完全约束住的n个物体组成的物体系统在平面一般力系作用下，每一物体都处于平衡，共可写出3n
14、个平衡方程。若反力未知量是3n个，则是静定的。,由平衡方程即可确定的静力平衡问题 - 未知量数=独立平衡方程数,44,本题作用于小车的是平行于Y轴的平行力系， 系统 三个物体8个平衡方程； 约束 固定端3；中间铰2；活动铰、车轮接触处各1共8个反力， 是静定问题。,如例3 系统三个物体9个方程，反力只有8个。 小车可能发生水平运动。,未被完全约束住的物体及系统 约束力未知量数少于独立的平衡方程数，有运动的可能。,45,2）静不定问题或超静定问题,完全约束的物体或系统，若约束力数独立平衡方程数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称静不定问题。,3n=3; m=4 一次静不定,3n=3; m=6 三
15、次静不定,3n=3; m=4 一次静不定,46,讨论：试判断下列问题的静定性。,约束力数 m=8物体数 n=3 m3n未完全约束,m=6n=2 m=3n 静定结构,m=3n=1+2+2+4=9 m=3n 静定结构,47,静力学,例,外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。,物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫。,二、物体系统的平衡问题,48,静力学,例,静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。,静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）,49,静力学,物系平衡的特点：物系静止物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体）,
