离散傅里叶变换

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1、第2章 离散傅里叶变换,2.1 引言 2.2 周期序列的离散傅里叶级数（DFS） 2.3 离散傅里叶级数（DFS）的性质 2.4 有限长序列离散傅里叶变换（DFT） 2.5 离散傅里叶变换的性质 2.6 频域采样理论,2.1 引 言,在第1章中讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于数字计算机只能计算有限长离散序列，因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要， 当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它， 但是，这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。针对序列“有限长”这一特点，可以导出一种更有用的变换：离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform， 简写为DFT）。它本身也是

2、有限长序列。,作为有限长序列的一种傅里叶表示法，离散傅里叶变换除了在理论上相当重要之外，而且由于存在有效的快速算法快速离散傅里叶变换，因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。 有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）和周期序列的离散傅里叶级数（DFS）本质上是一样的。为了讨论离散傅里叶级数与离散傅里叶变换，我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式，见图2-1所示。,图 2-1 各种形式的傅里叶变换,一个非周期实连续时间信号xa(t)的傅里叶变换，即频谱Xa(j)是一个连续的非周期函数，这一变换对的示意图见图2-1(a)。 该变换关系与第1章“连续时间信号的采样”中所涉及到的非周期连续时间信

3、号xa(t)的情况相同。 一个周期性连续时间信号xp(t)，其周期为Tp，该信号可展成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为 ，即xp(t)的傅里叶变换或频谱Xp(jk)是由各次谐波分量组成的，并且是非周期离散频率函数，xp(t)和Xp(jk)的示意图见图2-1(b)。其中，离散频谱相邻两谱线之间的角频率间隔为=2F=2/Tp，k为谱谐波序号。,在第1章里讨论了一个非周期连续时间信号xa(t)经过等间隔采样的信号（x(nT)），即离散时间信号序列x(n)，其傅里叶变换X(ej)是以2为周期的连续函数，振幅特性如图2-1(c)所示。 这里的是数字频率，它和模拟角频率的关系为=T。若振幅特性的频率轴用表

4、示，则周期为s=2/T。 比较图2-1(a)、（b）和(c)可发现有以下规律：如果信号频域是离散的，表现为周期性的时间函数。相反，在时域上是离散的， 则该信号在频域必然表现为周期性的频率函数。不难设想，一个离散周期序列，它一定具有既是周期又是离散的频谱， 其振幅特性如图2-1(d)所示。,表2-1 四种傅里叶变换形式的归纳,可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓， 一个域的连续必定对应另一个域的非周期。表2-1对这四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。 下面我们先从周期性序列的离散傅里叶级数开始讨论，然后讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换。,2.2 周期序列

5、的离散傅里叶级数(DFS),设 是一个周期为N的周期序列， 即,r为任意整数,周期序列不是绝对可和的，所以不能用Z变换表示，因为在任何z值下，其Z变换都不收敛，也就是,但是，正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样， 周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示，该级数相当于成谐波关系的复指数序列（正弦型序列）之和。也就是说，复指数序列的频率是周期序列 的基频（2/N）的整数倍。这些复指数序列ek(n)的形式为,（2-1）,式中, k, r为整数。,由式（2-1）可见，复指数序列ek(n)对k呈现周期性，周期也为N。也就是说, 离散傅里叶级数的谐波成分只有N个独立量，这是和连续傅里叶级数的不同之处

6、（后者有无穷多个谐波成分），因而对离散傅里叶级数，只能取k=0 到N-1的N个独立谐波分量， 不然就会产生二义性。因而 可展成如下的离散傅里叶级数，即,（2-2）,式中，求和号前所乘的系数1/N是习惯上已经采用的常数， 是k次谐波的系数。,下面我们来求解系数 ，这要利用复正弦序列的正交特性，即,（2-3）,将式（2-2）两端同乘以 ，然后从n=0 到N-1的一个周期内求和，则得到,把r换成k可得,（2-4）,这就是求k=0 到N-1的N个谐波系数 的公式。同时看出 也是一个以N为周期的周期序列，即,这和离散傅里叶级数只有N个不同的系数 的说法是一致的。可以看出，时域周期序列 的离散傅里叶级数在

7、频域（即其系数 也是一个周期序列。因而 与 是频域与时域的一个周期序列对， 式（2-2）与式（2-4）一起可看作是一对相互表达周期序列的离散傅里叶级数（DFS）对。 为了表示方便，常常利用复数量WN来写这两个式子。WN定义为,（2-5）,使用WN， 式（2-4）及式（2-2）可表示为:,（2-6）,（2-7）,式中，DFS表示离散傅里叶级数正变换，IDFS表示离散傅里叶级数反变换。从上面看出，只要知道周期序列一个周期的内容，其他的内容也都知道了。 所以，这种无限长序列实际上只有一个周期中的N个序列值有信息。 因而周期序列和有限长序列有着本质的联系。,例2-1 设 为周期脉冲串,（2-8）,因为

8、对于0nN-1， , 所以利用式（2-6）求出 的DFS系数为,（2-9）,在这种情况下，对于所有的k值 均相同。于是，将式（2-9）代入式（2-7）可以得出表示式,（2-10）,例2-2 已知周期序列 如图2-2所示，其周期N=10, 试求解它的傅里叶级数系数 。,图2-2 例2-2的周期序列 （周期N=10）,由式（2-6）,（2-11）,这一有限求和有闭合形式,（2-12）,图 2-3 图2-2所示序列的傅里叶级数系数 的幅值,式（2-6）中的周期序列 可看成是对 的第一个周期x(n)作Z变换，然后将Z变换在Z平面单位圆上按等间隔角2/N采样而得到的。令,通常称x(n)为 的主值区序列，

9、则x(n)的Z变换为,（2-13）,把式（2-13）与式（2-6）比较可知,（2-14）,可以看出，当0kN-1 时， 是对X(z)在Z平面单位圆上的N点等间隔采样，在此区间之外随着k的变化， 的值呈周期变化。 图2-4画出了这些特点。,由于单位圆上的Z变换即为序列的傅里叶变换，所以周期序列 也可以解释为 的一个周期x(n)的傅里叶变换的等间隔采样。 因为,（2-15）,比较式（2-15）和式（2-6），可以看出,这相当于以2/N的频率间隔对傅里叶变换进行采样。,（2-16）,例2-3 为了举例说明傅里叶级数系数 和周期信号 的一个周期的傅里叶变换之间的关系，我们再次研究图2-2所示的序列 。

10、 在序列 的一个周期中：,（2-17）,则 的一个周期的傅里叶变换是,（2-18）,可以证明，若将=2k/10 代入式（2-18）， 即,图 2-5 对图2-2所示序列的一个周期作傅里叶变换的幅值,图 2-6 图2-3和图2-5的重叠图，它表明一个周期序列 的DFS系数等于主值区序列的傅里叶变换的采样,2.3 离散傅里叶级数（DFS）的性质,由于可以用采样变换来解释DFS，因此它的许多性质与变换性质非常相似。但是，由于 和 两者都具有周期性， 这就使它与Z变换性质还有一些重要差别。此外，DFS在时域和频域之间具有严格的对偶关系，这是序列的Z变换表示所不具有的。 设 和 皆是周期为N的周期序列，

11、们各自的DFS分别为：,2.3.1 线性,（2-19）,式中，a和b为任意常数，所得到的频域序列也是周期序列，周期为N。这一性质可由DFS定义直接证明，留给读者自己去做。,2.3.2 序列的移位,（2-20）,（2-21a）,或,证,（2-21b）,i=n+m,由于 都是以N为周期的周期函数， 故,由于 与 的对称特点，可以用相似的方法证明式（2-21a）：,2.3.3 周期卷积,如果,则,或,证,代入,(2-22),得,将变量进行简单换元，即可得等价的表示式,式（2-22）是一个卷积公式， 但是它与非周期序列的线性卷积不同。 首先， 和 （或 和 都是变量m的周期序列，周期为N，故乘积也是周

12、期为N的周期序列; 其次，求和只在一个周期上进行，即m=0到N-1，所以称为周期卷积。,周期卷积的过程可以用图2-7来说明，这是一个N=7 的周期卷积。每一个周期里 有一个宽度为4的矩形脉冲， 有一个宽度为3的矩形脉冲，图中画出了对应于n=0, 1, 2 时的 。周期卷积过程中一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的同一位置的序列值就移入计算区间。运算在m=0到N-1区间内进行， 即在一个周期内将 与 逐点相乘后求和，先计算出n=0, 1, , N-1的结果，然后将所得结果周期延拓，就得到所求的整个周期序列 。,图 2-7 两个周期序列（N=7）的周期卷积,图 2-7 两个周期序列（N=7）

13、的周期卷积,图 2-7 两个周期序列（N=7）的周期卷积,由于DFS和IDFS变换的对称性，可以证明（请读者自己证明）时域周期序列的乘积对应着频域周期序列的周期卷积。即，如果,则,(2-23),2.4 有限长序列离散傅里叶变换（DFT）,2.4.1 DFT的定义上一节我们讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义， 因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系， 由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示即离散傅里叶变换（DFT）。设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有值，其他n时，x(n)=0。即,为了引用周期

14、序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序列 的一个周期，而把 看成x(n)的以N为周期的周期延拓， 即表示成:,这个关系可以用图2-8来表明。通常把 的第一个周期n=0 到n=N-1 定义为“主值区间”， 故x(n)是 的“主值序列”，即主值区间上的序列。而称 为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)之间彼此并不重叠，故上式可写成,(2-26),用(n)N表示（n mod N），其数学上就是表示“n对N取余数”， 或称“n对N取模值”。 令,0n1N-1, m为整数,则n1为n对N的余数。,例如， 是周期为N=9的序列，则有：,利用前面的矩形序列RN(n)，式（2-24）可写成,(2-2

15、7),同理，频域的周期序列 也可看成是对有限长序列X(k)的周期延拓，而有限长序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列，即:,(2-28),(2-29),我们再看表达DFS与IDFS的式(2-6)和式(2-7)：,这两个公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0 到N-1 的主值区间进行，它们完全适用于主值序列x(n)与X(k)，因而我们可以得到有限长序列的离散傅里叶变换的定义:,0kN-1,0nN-1,（2-30）,（2-31）,x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。我们称式(2 - 30)为x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT), 称式(2-31)为X(k)的N点离散傅里叶反变换(IDFT)。已知其中的一个序列，就能惟一地确定另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列，都有N个独立值（可以是复数），所以信息当然等量。 此外，值得强调得是，在使用离散傅里叶变换时，必须注意所处理的有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的。 换句话说，离散傅里叶变换隐含着周期性。,