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1、2012年7月,1,一门新兴的学科 多姿多彩的分形几何学及其应用 （研究生文化前沿系列讲座之一）,江苏师范大学 戴朝寿 2012年7月16日,2012年7月,2,高等教育（大学）的历史使命（四大职能）：人才培养，科学研究，社会服务，文化传承与创新美国杰出的物理学家（ 两弹元勋 、现代广义相对论之父）、物理学思想家、物理学教育家惠勒（ Wheeler ）断言：“ 可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人。”,2012年7月,3,问 题 的 提 出,你知道人脑表面的皱纹、菜花纹路可以用数学来刻画吗？你知道海岸线以及各大江河主支流的状况可以用数学来刻画吗？ 你知道演绎了旷世恋情的泰
2、坦尼克号电影中那条豪华游轮在危难时的“ 海浪背景 ” 是如何生成的吗？你知道维数可以是分数吗？,2012年7月,4,认 识 分 形如果你从未听说过 “ 分形 ” ，一时又很难搞清楚分形是什么，有一个简单迅捷的方法：去市场买一颗新鲜的菜花（花椰菜），掰下一枝，切开，仔细观察，思考其组织结构。这就是分形！分形可以是自然存在的，也可以是人造的：花椰菜、树木山川、云朵、脑电图、材料断口等都是典型的分形；再想想闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星系、各种生物体的表面、小肠绒毛、大脑皮层等等的形状、结构！,2012年7月,5,分形 ( fractal ),分形几何理
3、论诞生于 20 世纪 70 年代，创始人是美国科学院院士、著名数学家曼德尔布罗特（ B. B. Mandelbrot )，他 1982 年出版的自然界中的分形几何学 ( The Fractal Geometry of Nature ) 是这一学科经典之作。分形 ( fractal ) 是近 20 多年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念。混沌 ( chaos )、孤立子( solitons )和分形 ( fractals )是非线性科学 ( nonlinear science ) 中三个最重要的概念。,2012年7月,6,一、从研究“英国的海岸线有多长”所引发的问题,1967 年曼德尔布罗特
4、在 科学 上发表了题为英国的海岸线有多长 ? 统计自相似性与分数维数的著名论文。此文的原由在于曼德尔布罗特发现许多国家公布的公共边界线存在极大的误差，往往是大国公布的公共边界线短，而小国公布的公共边界线长。 原因在于边界线是一条复杂的曲线，所用的测量尺度越小，测量的长度就越长。,2012年7月,7,二、分形几何学发展的历史回顾,分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支, 它的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体。分形理论的数学基础是分形几何学。分形理论的发展大致可分为三个阶段。下面简要回顾一下分形理论在这三个历史阶段的发展过程。,2012年7月,8,第一阶段：对几类
5、分形集的认识,自 1875 年至 1925 年 , 人们已认识到几类典型的分形集 , 并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分类和刻划。自然界中的所有形状和人类迄今所考虑的一切图形，大致可分为如下两种：一种是具有特征长度的图形；另一种是不具有特征长度的图形。属于具有一定特征长度的一类物体的基本形状，具有其线、面为光滑的共同性质。1827 年发现的布朗（ R. Brown ）运动是一种极为典型的随机分形集，其轨迹连续但处处不可微。,2012年7月,9,维尔斯特拉斯函数,1872年，德国分析学大师魏尔斯特拉斯(K. Weierstrass)构造出函数证明了它连续而处处不可微。这一反例在当时引
6、起了极大的震动。遗憾的是，尽管人们在观念上产生了改变，但仍视这种类型的函数为“病态”之例而打入另册。,2012年7月,10,实例一 康托三分集（1872年）,记 是单位长直线段 0，1 ；设 是去掉 中间的 1/3 部分所得到的集，即 ；然后从构成 的 2 个子区间中分别去掉中间的 1/3 部分，所得的 4 个子区间构成 ，即；如此继续下去， 是从构成 的每个区间中分别去掉中间的 1/3 部分而得到的长度为 的 个子区间之并集；当 充分大时， 与 之间只在精细的细节上不同；康托三分集是指由所有 的公共点构成的集，即 ，C 实际上是集序列 当 n 趋于无穷时的极限。,2012年7月,11,图 1
7、 康托三分集前四步的构造,2012年7月,12,实例二 科赫曲线（1904年）,设 K0 是单位长直线段；K1 是由过原三等分这线段，去掉中间一份而代之以底边为被去掉的线段的等边三角形向上指的另外两条边所得到图形，它包 含边长为 1/3 的四条线段；对 K1 的每条线段都重复上述过程来构造 K2 ，它包含边长为 的16条线段；如此继续下去，于是得到一个曲线序列Kn，其中Kn是将Kn-1的每条线段上中间1/3部分用底边为这1/3部分的等边三角形向上指的另外两边取代而得到的；当 n 充分大时，曲线 Kn 和 Kn-1 只在精细的细节上不同；而当 n 时，曲线序列 Kn 的极限就称为科赫曲线。,20
8、12年7月,13,图 2 科赫曲线前五步的构造,2012年7月,14,实例三 科赫雪片,若将 K0 换成单位长度的等边三角形，对每边按照上述方法构造科赫曲线，便得到讨人喜欢的科赫雪片，如图 3 所示。,图 3 科赫雪片 前三步的构造,2012年7月,15,第二阶段： 对长度、面积等度量单位概念的重新探索,在 1926 年到 1975 年这半个世纪里，人们对分形集的性质进行了深入的研究，特别是维数理论的研究已获得了丰富的成果。 贝西康维奇 ( Besicovitch ) 及其他学者的研究工作贯穿了第二阶段。他们研究了曲线的维数、分形集的局部性质、分形集的结构、S-集的分析与几何性质，以及在数论、
9、调和分析、几何测度论中的应用。 问题的关键一个几何对象的量度依赖于测量方式以及在测量时所选取的尺度。,2012年7月,16,经济学上的一个实际背景,1960 年 ， 曼德尔布罗特在对棉花价格数据随 60 年时间变化的曲线进行分析时，通过在数学上对这批数据进行计算机处理，发现了惊人的结果：价格的每一次特定的变化是随机的，但长期的变化又是与时间尺度无关的，反映在价格的日变化曲线与月变化曲线在变化规律上完全类似；甚至在经历两次世界大战和一次经济大萧条的60年动荡岁月中，价格的这种变化规律保持不变。大量无序的数据里竟然存在着一种出乎意料的有序！,2012年7月,17,第三阶段：分形几何学的创立,自 1
10、975 年至今是分形几何学创立并形成独立学科，分形几何在各个领域的应用取得全面进展的阶段。 1967 年，曼德尔布罗特在国际权威杂志美国科学上发表了题为 “英国的海岸线有多长？”的研究论文，震动了整个学术界，分形的概念开始萌芽生长。1973 年，在法兰西学院讲学期间，他提出了创立分形几何学的思想，认为分形几何学可以处理自然界中那些极不规则的构型，指出分形几何学将成为研究许多物理现象、自然现象的有力工具。,2012年7月,18,分形 “ fractal” 一词的由来,1975 年冬天的一个下午，曼德尔布罗特翻看儿子的拉丁文词典，突然受到启发：,(破坏),（不规则的）,（断裂）,（分数）,（既是名
11、词，又是形容词；既是英文，又是法文）,2012年7月,19,“ 分形 ” 一词的命名,70年代末 “fractal” 传到中国，一时难以定译。中科院物理所李荫远院士认为：“fractal 应当译成 分形。” 郝柏林、张恭庆、朱照宣等院士表示赞同，于是在中国大陆，“fractal ”被定译 “分形” 。台湾将其译为“碎形” ，显然不如 “分形” 好。分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。“ 分形 ” 之译，的确抓住了 fractal 的本质科学本质、哲学本质和艺术本质。,2012年7月,20,曼德尔布罗特的历史贡献,1975 年曼德尔布罗特用法文出版了奠基性专著分形
12、对象:形状、机遇与维数(Les objets fractals: forme, hasard et dimension)，1977 年出版了此书的英译本 Fractals: Form, Chance and Dimension ，第一次系统地阐述了分形集合的思想、内容意义和方法。1982 年又出版了此书的增补本，改名为自然界中的分形几何学。这两部著作的发表，标志着分形几何学迈进了现代新兴学科之林，激发起了国际科学界的极大兴趣。曼德尔布罗特经过长期艰苦努力所获得的巨大成就，致使他赢得了崇高的荣誉。,2012年7月,21,三、分形概念的建立,康托集 C 是自相似的，迭代过程中每步所保留的两个部分与
13、整体的相似比例均为 1/3 ；C 具有精细结构，即在任意小的比例尺度内都包含整体特征；C 是无穷次迭代的结果，连续的迭代过程可得到C之越来越好的近似 Cn ；C 难以用经典的数学语言来描述，它既不是满足某些简单几何条件的点的轨迹，也不是任何简单方程的解集；C 是无限不可数集，但其长度为,康托三分集 C 的特性,1. 对产生分形实际背景的分析,2012年7月,22,科赫曲线 K 的特性,科赫曲线 K 是自相似的，迭代过程中每次所得到的四个部分与整体的相似比例均为1/3 ；K 具有精细结构，即在任意小的比例尺度内都包含整体特征；K 是无穷次迭代的结果，连续迭代过程可得到K之越来越好的近似 Kn；K
14、 难以用经典的数学语言来描述，它既不是满足某些简单几何条件的点的轨迹，也不是任何简单方程的解集；K 的长度为,而面积为 0 。,2012年7月,23,科赫雪片 E 的面积,2012年7月,24,波兰著名数学家谢尔平斯基（W.Sierpin-ski）在 1915 - 1916 年期间构造了几个典型的分形例子， 这些有趣的图形常分别称为谢尔平斯基垫片、 谢尔平斯基毯片与谢尔平斯基海绵。,谢尔平斯基垫片、毯片与海绵,图 4 谢尔平斯基垫片 E 前五步的构造,2012年7月,26,的放大,图 5 谢尔平斯基毯片 F 前四步的构造,2012年7月,27,图 6 谢尔平斯基海绵 S 第一步的构造,2012
15、年7月,28,图 7 谢尔平斯基海绵 S,2012年7月,29,2.分形的直观描述,曼德尔布罗特经过几十年的探索，在对大量不具有特征长度几何图形进行分析、综合的基础上，提炼出 “在尺度变换下保持不变性” （即“无标度性”）这一要素，于 1986 年给出分形概念以如下的直观描述：分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形（A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way）。亦即：如果一个图形其组成部分以某种方式与整体相似，则称该图形为分形。,2012年7月,30,自相似性在数学计算上的应用举例,例 1 由,解得,
16、即,类似地，由,解得,即,2012年7月,31,例 2 记,熟知这是一个收敛的几何级数。注意到,解得,即,分析：x 包含它自身的一个分数部分，即,2012年7月,32,四、分形维数,维数是几何对象的一个重要特征。欧几里得：“ 曲面有两个量度，曲线有一个量度，点连一个量度也没有。” 这里的量度即为后来人们所说的欧几里得维数。随着数学本身的发展，人们将维数定义为确定几何对象中一个点的位置需要的独立坐标的个数。点是 0 维的，直线是 1 维的，正方形是 2 维的，立方体是 3 维的。,1. 经典的拓扑维数,2012年7月,33,对于更抽象或更复杂的几何形体，只要它的每个局部可以和欧几里得空间相对应，并且图形在连续形变下保持维数不变，这样的维数叫做拓扑维数。如此：由于空间中一条规则的曲线经连续形变可变为直线，故其拓扑维数是 1 ；由于空间中一个规则的曲面经连续形变可变为正方形，故它的拓扑维数是 2 ；由于空间中一个规则的立体经连续形变可变为正方体，所以其维数是 3 。集合的拓扑维数始终是一个整数。,
