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1、第七节 方向导数与梯度,一.方向导数偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率,但许多物理现象告诉我们,除了考虑函数沿坐标轴方向的变化率外,还应该考虑其它方向的变化率.现在我们研究函数沿任一指定方向的变化率问题.,设L是xoy平面上以p0(x0,y0)为始点的一条线,el=(cos,cos) 是与L同方向的单位向量.射线l的参数方程为,设函数z=f(x,y)在点,如,的,距离,内有定,的某个邻域,义,为L上另一点,且,果函数增量,与P到,的比值,当P沿L趋于,(即t0+)时的极限,方向导数,存在,则此极限称为函数,沿方向L的方向导数,变化率.,就是函数f(x,y)在点p0(x0,y0)处沿方向L的
2、,f(x,y)在点,记作,若eL=j=(0,1),但反之,若eL=i,在点(0,0)沿,L=i方向的方向导数,若函数f(x,y)在点p0(x0,y0)的偏导数存在,el=i=(1,0),定理 如果函数f(x,y)在点,其中coscos是方向L的方向余弦.证明:由假设,f(x,y)在点(x0,y0)可微分,故有,其原因是方向导数有正方向,所以它的导数存在,而 (0,0)点偏导数因为是1,故不存在.下面的定理是回答保证存在方向导数的条件.,可微分,那么函数在该,点沿任一方向L的方向导数存在,且有,但点(x0+x,y0+ y)在以(x0,y0)为始点的射线L上时,应有x=tcosy=tcos,这就证
3、明了方向导数存在,且其值为,例1 求函数z=xe2y在点p(1,0)处沿从点p(1,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数.解:这里方向L即向量PQ=(1,-1)的方向,与L同方向的单位向量为e,因为函数可微分,且,对于三元函数f(x,y,z),它在空间一点P0(x0,y0,z0)沿方向eL=(cos, cos,cos)的方向导数为,同样可证明:如果函数f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)可微分,那么函数在该点沿着方向el=(cos, cos,cos)的方向导数为,例2 求f(x,y,z)=xy+yz+zx在点(1,1,2)沿方向l的方向导数,其中L的方向角分别为600,450,600.解
4、:与l的方向相同的单位向量el=(cos600,cos450,cos600)=,因为函数可微分,且,由公式(4),二. 梯度与方向导数有关系的一个概念是梯度.在二元函数的情形,设函数f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点p0(x0,y0)D,都可定出一个向量 fx(x0,y0)i+fy (x0,y0)j 这个向量称为函数f(x,y)在点p0(x0,y0)的梯度,记作grad f (x0,y0),即grad f (x0,y0)= fx(x0,y0)i+fy (x0,y0)j 如果函数f(x,y)在点p0(x0,y0)可微分,eL=(cos,cos)是与方向L同向的单位向量,则
5、,其中=(gradf(x0,y0),el)是,与gradf(,)的夹角,=0,即沿梯度方向时,方向导数得到最大值,这个最大值就是梯度的模,这关系式表示函数在一点的梯度与函数在这点的方向导 数之间的关系.,这说明函数在一点的梯度是个向量,它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向,它的模等于方向导数的最大值.,Z=c(c是常数)所截得的曲线L的方程为z=f(x,y)z=c. 这条曲线L在xoy面上的投影是一条平面曲 线L*,它在xoy平面直角坐标系中的方程为 f(x,y)=c 对 于曲线L*上的一切点,已给函数的函数值都是c,所以 我们称平面曲线L*为函数z=f(x,y)的等值线.,若fx,
6、fy不同时为零,则等值线f(x,y)=c上任一点P0(x0,y0)处的一个单位法向量为,这表明梯度grad f(x0,y0)的方向与等值线上这一点的一个法线方向相同,而沿 这个方向的方向导数等于该点的梯度,即,这关系式表示函数在一点的梯度方向与等值线在这一点的一个法线方向相同,它的指向为数值较低的等值线指向高的等值线,梯度的模等于函数在这个法线方向的方向模等于函数导数.,对于三元函数的梯度概念是设函数f(x,y,z)在空间区域G内具有一阶连续 偏导数,则对于每一点P0(x0,y0,z0)G,都可确定一向量fx(x0,y0,z0)i+ fy(x0,y0,z0)j+ fz(x0,y0,z0)k 这
7、向量称为函数f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)的梯度,把它记作grad f(x0,y0,z0),即grad f(x0,y0,z0)= fx(x0,y0,z0)i+ fy(x0,y0,z0)j+ fz(x0,y0,z0)k,三元函数的梯度同二元函数一样:它的方向与取得最大方向 导数的方向一致,它的模为方向导数的最大值.如果我们引进曲面f(x,y,z)=c 为函数f(x,y,z)的等量面的概 念,则可得f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)的梯度方向与过点P0的等量 面f(x,y,z)=c 在这点的法线的一个方向相同,它的指向为从数 值较低的指向数值高的等量面,而梯度的模等于函数在
8、这个 法线方向的方向导数.,解:,例5 设f(x,y,z)=x2+y2+z2,求gradf(1,-1,2)解:gradf = (fx,fy,fz) = (2x,2y,2z) 所以 gradf(1,-1,2) = (2,-2,4),例4 求,下面我们介绍数量场与向量场的概念.如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的数量f(M),则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场,密度场)一个数量场可用一个数量函数f(M)确定.如果与点M相对应的是一个向量F(M),则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如引力场,速度场)一个向量场可一个向量值函数F(M)来确定, F(M)=P(M)I+Q(M
9、)j+R(M)k其中P(M) ,Q(M) ,R(M)是点M的数量函数.,利用场的概念,我们说向量函数gradf(M)确定了一个向量场-梯度场,它是由数量场f(M)产生的,通常称函数f(M)为这个向量场的势,而这个向量场又称为势场.必须注意,任意一个向量场不一定是势场,因为它不一定是某个数量函数的梯度场.例8 试求数量场m/r所产生的梯度场,其中常数m0,解:,为原点O与点M(x,y,z)之间的距离.,上式右端在力学上认为,位于原点O而质量为m的质点对位于点M而质量为1的质点的引力.这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比,而与它的距离平方成反比,这引力的方向由点M指向原点.因此数量场m/r的势场即梯度场gradm/r称为引力场,而函数m/r称为引力势.,
