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1、第四章 平面任意力系,1 力线平移定理,定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。,力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。,23平面任意力系向作用面内一点简化,说明：,MO,2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,平面汇交力系力，FR (主矢，作用在简化中心),平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上),平面任意力系,平面汇交力系+平面力偶系,其中平面汇交力系的合力为,平面力偶系的合成结果为,平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。主矢与简化
2、中心的位置无关。,2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位置有关。,2 平面任意力系向一点简化主矢与主矩,结论：平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O 。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的位置有关。,固定端（插入端）约束,在生活中常见的有：,雨 搭,静力学,固定端（插入端）约束,说明,认为Fi这群力在同一平面内; 将Fi向A点简化得一力和一力偶;RA方向不定可用正交分力YA, XA表示; YA, XA
3、, MA为固定端约束反力; YA, XA限制物体平动,MA为限制转动。, 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，简化结果就是合力（这个力系的合力）, 。（此时简化结果与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）,3 平面任意力系的简化结果, =0,MO0 即简化结果为一合力偶, M=MO 此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。, =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。,简化一般结果：主矢 ，主矩 MO ，下面讨论简化最后结果：,一、简化最后结果, 0,MO 0,为最一般的情况。此种情况还可以继续化为一个合力
4、。,合力 的大小等于原力系的主矢 合力 的作用线位置,即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各力对于同一点之矩的代数和。,合力矩定理,简化中心：A点,主矢,思考：三角形分布载荷处理？,主矩,简化最终结果,R=,分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。,结论： 1、合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积。 2、合力的方向与线荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图的形心。,3.1.5 平行分布线荷载的简化,1、均布荷载,2、三角形荷载,3、梯形荷载,可以看作一个三角形荷载和一个均布
5、荷载的叠加,例 图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,图中距离单位cm。 求：1、力系主矢及对A点之矩？2、力系简化最后结果。,解：,1、建立坐标系,x,y,2、X=Fx=P3 =200N,Y=Fy=P1+ P2 =100+50 =150N,主矢, =36.9,A,B,C,x,y,2、简化最终结果,LA =,mA,主矢,主矩,最终结果,合力,大小：,方向: =36.9,位置图示：,方向：, =36.9,在A点左还是右？,24 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,1、 平衡条件,平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即,2 、平衡方程,
6、即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。上式称为平面任意力系的平衡方程。,由于,所以,24 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,解：以刚架为研究对象，受力如图。,解之得：,例1,例1 求图示刚架的约束反力。,A,P,a,b,q,P,q,FAy,FAx,MA,例2,例2 求图示梁的支座反力。,解：以梁为研究对象，受力如图。,解之得：,P,q,m,FB,FAy,FAx,(1) 二矩式,其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。,由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于
7、平衡。再加第一条件，若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。,3 平衡方程的其它形式,(2) 三矩式,其中A、B、C三点不能在同一条直线上。,注意： 以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。,由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过A、B、C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上，则力系必平衡。,例3,例3 悬臂吊车如图所示。横梁AB长l2.5 m，重量P1.2 kN，拉杆CB的倾角a30，质量不计，载荷Q7.5 kN。求图示位置a2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。,例3,解：取横梁AB为研究
8、对象。,P,Q,FT,FAy,FAx,a,a,从(3)式解出,代入(1)式解出,代入(2)式解出,例3,C,如果再分别取B和C为矩心列平衡方程得,有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；2,4,5 ；3,4,5,力的作用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系。,平面平行力系作为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则Fx0自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：,平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：,其中AB连线不能与各力的作用线平行。,4 平面平行力系的平衡方程,F2,F1,F3,Fn,例4 已知：塔式起重机 P=
9、700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ 当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？,限制条件：,解： 首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的Q：,空载时，W=0,由,限制条件为：,解得,因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：,解得:,求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA ,NB为多少由平面平行力系的平衡方程可得：,解得：,2-5 静定与静不定问题的概念 物体系统的平衡,当：未知量数目独立方程数目时，是静定问题（可求解）未知量数目独立方程数目时，是静不定问题（超静定问题）,例 物体受平面汇交力系作用, 物体受平
10、面平行力系作用,静不定问题在变形体力学（材力,结力,弹力）中，除列出静力学平衡方程外，还需考虑变形谐调条件，列出补充方程来联合求解。, 物体受平面一般力系作用,判断各图的超静定次数,例,二、物体系统的平衡问题,外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。,物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统 称为物体系统。, 物体系统, 物系平衡的特点, 物系平衡, 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平衡方 程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个物体,每个物体都 受有平面一般力系作用）, 由n个刚体组成的物系，其中n1个刚体为二力体或受有平 面
11、力偶系作用，n2个刚体受有平面汇交力系或平行力系作用，n3 个刚体受有平面一般力系作用，且：n = n1+n2+n3 ，则整个系统 可列出m个独立的平衡方程，而 m = n1+2n2+3n3 ，可求解m个未 知量。,例5,例5 求图示三铰刚架的支座反力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,可解得：,FAx,FAy,FBx,FBy,例5,再以AC为研究对象，受力如图。,解得：,FAx,FAy,FCx,FCy,例6,例6 求图示多跨静定梁的支座反力。,解：先以CD为研究对象，受力如图。,再以整体为研究对象，受力如图。,FCx,FCy,FD,q,F,FAx,FAy,FD,FB,q,解得,例7,例7
12、 求图示结构固定端的约束反力。,解：先以BC为研究对象，受力如图。,再以AB部分为研究对象，受力如图。,求得,FB,M,FC,FB,FAy,q,F,MA,FAx,例9,例8 图示结构，各杆在A、E、F、G处均为铰接，B处为光滑接触。在C、D两处分别作用力P1和P2，且P1P2500 N，各杆自重不计，求F处的约束反力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,解得：,P1,P2,FAx,FAy,FB,例9,再以DF为研究对象，受力如图。,解得：,最后以杆BG为研究对象，受力如图。,解得：,P2,FEy,FFy,FFx,FEx,FGy,FB,FGx,FFy,FFx,例10,例10 三根等长同重均质杆
13、(重W)如图在铅垂面内以铰链和绳EF构成正方形。已知：E、F是AB、BC中点，AB水平，求绳EF的张力。,解1：取AB分析，受力如图。不妨设杆长为l。,再以整体为研究对象，受力如图。,FBy,FBx,FAx,FAy,W,FT,W,W,W,FAx,FAy,FDx,FDy,例10,最后以DC为研究对象，受力如图。,联立求解(1)、(2)、(3)得：,FCy,FCx,FDx,FDy,W,解2：先以BC为研究对象，受力如图。,再以DC为研究对象，受力如图。,FCx,FCy,FBx,FBy,W,FT,例10,联立求解(4)、(5)、(6)即可的同样结果。,最后以整体为研究对象，受力如图。,解2：先以BC
14、为研究对象，受力如图。,再以DC为研究对象，受力如图。,例11,例11 三无重杆AC、BD、CD如图铰接，B处为光滑接触，ABCD为正方形，在CD杆距C三分之一处作用一垂直力P，求铰链 E 处的反力。,解：先以整体为研究对象，受力如图。,解得：,P,FAx,FAy,FB,例11,下面用不同的方法求铰链 E 的受力。,方法1：先以DC为研究对象。,再以BDC为研究对象。,类似地，亦可以DC为研究对象，求FDy，再以ACD为研究对象求解。,FDx,FDy,FCx,FCy,FB,FEx,FEy,FCx,FCy,例11,方法2：分别以ACD和AC为研究对象。,联立求解以上两方程即得同样结果。,类似地，
15、亦可以BDC和BD为研究对象，进行求解。,FEx,FEy,FDx,FDy,FAx,FAy,FAx,FAy,FEx,FEy,FCx,FCy,例12,例12 两根铅直梁AB、CD与水平梁BC铰接，B、C、D均为光滑铰链，A为固定支座，各梁的长度均为l2 m，受力情况如图所示。已知水平力F6 kN，M4 kNm，q3 kN/m。求固定端A及铰链C的约束反力。,M,FBy,FBx,FCx,FCy,解: (1) 取BC分析,求得结果为负说明与假设方向相反。,例12,(2) 取CD分析,F,FCx,FCy,FDx,FDy,求得结果为负说明与假设方向相反。,例12,M,q0,FCx,FCy,FAy,MA,FAx,(3) 取AB、BC分析,求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。,x,1,2,3,4,E,A,C,B,D,例13,例13 编号为1、2、3、4的四根杆件组成平面结构，其中A、C、E为光滑铰链，B、D为光滑接触，E为中点，各杆自重不计。在水平杆 2 上作用一铅垂向下的力 F，试证明无论力 F 的位置 x 如何改变，其竖杆 1 总是受到大小等于F 的压力。,
