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1、第十章 无穷级数,10.1 无穷级数的基本概念,10.2 无穷级数的基本性质,10.3 常数项级数的收敛性判别法,10.4 函数项级数与幂级数,10.5 函数的幂级数展开,一、无穷级数的概念,1、无穷级数的概念,定义1,设给定一个数列：,为无穷级数，简称级数.,为无穷级数，简称级数.,为数时，称为数项级数.,为x的函数时，称为函数项级数.,前 项和,称为(1)的部分和.,构成一个新的数列:,2、级数的收敛与发散,称为部分和数列,记,若,定义2,3、数项级数的敛散性的概念,所以,级数发散.,解,例2. 判别级数,的敛散性.,解,所以,原级数收敛,且收敛和为1.,例4. 判别级数的敛散性.,解:(
2、1).,级数收敛.,例5. 讨论等比级数(几何级数)的敛散性 （q 称为级数的公比， a0）,解:,1).当,时, 发散;, 收敛;,发散;, 发散.,发散,例如,例4. 证明调和级数,发散.,证明,反证法,与假设矛盾，所以,原级数必发散,于是,二、无穷级数的基本性质,性质1,证,证,收敛级数的线性组合仍收敛.,性质2,性质3,证,(2)的前m项和相当于(1)的前n 项和.,收敛级数加括号后所得新级数仍收敛, 且收敛和不变,显然，Wm是Sn的一个子数列,(1).收敛级数去掉括号后所得级数未必收敛.,反例:,收敛,(2).若加括号后所得级数收敛,则原级数未必收敛.,注意,(3).若加括号后所得级
3、数发散,则原级数发散.,性质4,增加、去掉或改变级数的前有限项， 级数敛散性不变.,证,(2),为常数,与,的极限同时存在或不存在.,所以级数(1)与(2)具有相同的敛散性.,其它情况类似可证.,级数(2)的前n项和为,具有相同的敛散性,均收敛.,但收敛和不同,级数的敛散性与前有限项无关.,性质5,证,（1).条件必要而不充分,即逆命题不成立.,由,则,注意,例如,调和级数,但该级数发散,(2).逆否命题成立.,若,例如,因,发散,例4. 判别级数的敛散性.,解:(1).,级数收敛.,1、正项级数及其敛散性判别,正项级数：,的充要条件是部分和数列有界.,定理1,三、常数项级数收敛性判别法,2、
4、正项级数敛散性的判别,(比较判别法),设,证.,定理2,推论,设,都是正项级数,2）若 发散，则 发散。,1）若 收敛，则 收敛。,比较判别法: 将要判定的级数与已知收敛或 发散的级数作比较,解,发散. 则,例如,发散;,收敛.,例1. 判别下列级数的敛散性:,解,发散,故原级数发散,故原级数收敛.,收敛,例2,解,(2)若,则,例1. 判别下列级数的敛散性:,解,发散,故原级数发散,收敛,故原级数收敛,发散,故原级数发散,例2. 判别级数的敛散性:,解,取,因,发散,故原级数发散.,解 取,收敛,故原级数收敛.,解,而级数,收敛,故原级数收敛.,取,定理4,设正项级数,(比值判别法),解:,
5、级数收敛.,级数发散.,例5.判别级数的敛散性:,级数收敛.,解.,级数收敛.,例6. 判别级数的敛散性:,收敛,故原级数收敛.,收敛,故原级数收敛.,而,定理5,设正项级数,(柯西根值判别法),例7. 判别级数的敛散性:,解.,级数收敛.,级数收敛.,原级数收敛.,2、交错级数及其判别法,交错级数：,或,即，正负项相间的级数为交错级数。,定理,若满足:,则级数收敛,其余项,(莱布尼茨定理),且,证.,单增且有上界,证毕,故,例1. 判定级数的敛散性:,解.,所以级数收敛.,所以级数收敛.,例3. 判定级数的敛散性,解,原级数发散.,解,原级数收敛.,（1）任意项级数：,为任意实数.,3、任意
6、项级数的绝对收敛和条件收敛,正项级数,交错级数是任意项级数的特殊情况,必定收敛.,证,令,由正项级数比较判别法知,收敛.,则级数,定理7,1).逆命题不成立.,注意,由性质知,收敛.,证毕.,发散,收敛.,例如,解,故由定理知原级数收敛.,对应的正项级数为,1).若,收敛,则称,为绝对收敛.,2).若,收敛,但,发散,则称,为条件收敛.,（2）绝对收敛、条件收敛.,正项级数收敛时一定是绝对收敛,注意,解,故由定理知原级数收敛.,对应的正项级数为,例2.判定级数的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛?,解,故原级数绝对收敛.,例3.判定级数的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛?,解
7、,对应的正项级数为,因为,所以,发散,所以有,故原级数收敛， 且为条件收敛。,定理8,设任意项级数,发散.,若由比值审敛法或根值审敛法判定,发散,则可以断定,注意,例4. 判定级数的敛散性,解,可见 ，,总之 ，级数当|x|1或 x= -1时，发散.,发散.,收敛,当 x =1时， 级数,当 x =1时， 级数,1、函数项级数的概念,函数项级数：,（1）,对确定的点,称,为级数(1) 的一个收敛点,称,为级数(1) 的一个发散点,级数(1) 收敛点的全体称为它的收敛域.,四、 函数项级数与 幂级数,对收敛域内每一点,和函数:,记,则,称,为余项.,例如,2、幂级数及其收敛性,形如：,特别地,（
8、1）,（2）,例如,幂级数,的收敛域为:,(1).如果 l|x|1 ,发散,(3).如果 l|x|=1 ,可能收敛可能发散,2. 如果 l=0 ,对任何 x 都绝对收敛.,3. 如果 l= ,对 x=0 收敛，对非零 x 都发散.,1. 如果 l 0,综上 若幂级数,不是仅在,一点收敛,也不是在整个数轴,上都收敛,则必有一个确定的正数 R存在,使得,收敛区间为:,其中之一.,例如,存在数R=1,发散.,所以,的收敛半径为,收敛区间为,R=1,定理2.(幂级数收敛半径的求法),设,则其收敛半径为:,解,所以,发散;,收敛,收敛区间为:,解,收敛;,收敛.,收敛区间为:,例3.求幂级数的收敛半径及
9、收敛区间:,收敛区间为:,级数只在 x=0 处收敛.,解,令,则幂级数变为:,收敛半径,收敛;,发散.,收敛区间为:,即,即,所以,原级数的收敛区间为:,当,级数收敛;,当,级数发散,所以,收敛半径为,另解,令,则级数变为:,所以,原级数的收敛半径为:,1、幂级数的运算,设幂级数,的收敛半径分别为,则,且,1).,2).,其中,性质1.,（1）四则运算,（1）分析运算,性质2,在,内连续;,(2).,(3).,逐项求导或逐项求积后所得幂级数具有与原级数相同的收敛半径,但收敛区域可能改变,主要体现在端点处.,说明,(1),解,设,两边求导得,两边积分得,因,所以,解: 设,两边积分得,两边求导得
10、,另解,例3. 求幂级数,的和函数.,解,设,两边求导,两边积分,易见,所以,五 、函数的幂级数展开,1、泰勒级数,2、函数展开成幂级数,直接展开,间接展开,1、泰勒级数,泰勒公式,则,拉格郎日型余项,(1),在(2)中,特别地,(3),则展开式唯一,就是它的马克劳林级数,2、函数展开成幂级数,.,1o. 直接展开法,(3).写出幂级数:,并求出收敛半径R.,是否为零?,若,则,按以下步骤进行:,解,的麦克劳林级数为:,考察级数,级数,收敛,所以,解,的麦克劳林级数为:,例3.将函数,展成,的幂级数.,其中m为任意常数.,解,所以,得级数,可以证明，该级数收敛于函数,二项展开式,特别地,2o.
11、 间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算法则(四则法则, 逐项求导逐项求积),将所给函数展成幂级数.,常用的函数展开式有:,解,由,知,解,由,两边求导得,解,知,即,而级数,处仍收敛,则展式,处也成立.,由,说明,解,两边积分得,因,所以,当,时,收敛,当,时,收敛,所以,例7.将函数 展开成幂级数,解,两边积分得,发散,收敛.,解,由,得,解,例11. 将函数,展开成,的幂级数.,解,由,得,解,由,且,得,利用函数的幂级数展开式进行近似计算,解,由二项展开式,4 、幂级数的应用举例,取,若取前两项和作为其近似值,其误差(截断误差)为:,为了使“四舍五入”引起的误差(舍入误差)与截断误差之和 不超过 0.0001 ,计算时应取五位小数,然后再四舍五入.,说明,解,计算量太大,不可取.,令,得,解,例4 计算积分,的近似值，要求误差不超过0.0001,解,因,所给积分不是广义积分，,定义,则它在积分区间0，1上连续.,由,知,因,所以取前三项和作为积分的近似值.,
