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1、南京航空航天大学 航空宇航学院,计算流体力学,2018/9/10,2,差分方法,初始条件,一维扩散方程,2018/9/10,3,差分方法,边界条件,2018/9/10,4,差分方法,2018/9/10,5,差分格式及截断误差,以网格点 处的连续导数 为例,向前差分,2018/9/10,6,差分格式及截断误差,采用Taylor展开分析其截断误差,具有一阶截断误差,即,2018/9/10,7,差分格式及截断误差,向后差分,用同样的方法可以证明,2018/9/10,8,差分格式及截断误差,中心差分,用同样的方法可以证明,2018/9/10,9,差分格式及截断误差,二阶导数的中心格式,用同样的方法可以
2、证明,2018/9/10,10,例题,用 和 构造 的二阶精度差分格式。设构造的差分格式为：,（1）,2018/9/10,11,例题,围绕 进行Taylor展开：,2018/9/10,12,例题,最后得到 ， ，,2018/9/10,13,翼型的C型网格,2018/9/10,14,物理空间和计算空间,2018/9/10,15,坐标变换,2018/9/10,16,坐标变换,2018/9/10,17,有限差分解法,可以改写为,其中,2018/9/10,18,有限差分解法,2018/9/10,19,有限差分解法,2018/9/10,20,有限差分解法,2018/9/10,21,有限差分解法,2018
3、/9/10,22,收敛性,如果在解区域中的每一点(x,t)，有限差分的解当网格步长x和t趋向于零时，趋向于所近似的微分方程的解，则称有限差分方程的解是收敛的。,2018/9/10,23,相容性,当网格步长x和t趋向于零时，有限差分方程趋向于相应的微分方程，这种特性叫相容性。,2018/9/10,24,稳定性,如果在n时间层引入误差，则必然影响到第n+1时间层以及以后各层的计算结果。如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影响逐渐消失或保持有界，则称该差分方程为稳定的，否则为不稳定。,2018/9/10,25,Lax相当性定理,如果一适定的线性初值问题的有限差分近似是相容的，则稳定性是收敛性的充
4、分与必要条件。,2018/9/10,26,稳定性分析： Von-Neumann方法,将一个时间层上沿网格点的误差分布展开为Fourier级数； 观察以后各层计算得到的误差分布的各个谐波分量。如果各个谐波分量的振幅都衰减或保持有界，则差分格式是稳定的；如果是无限增长，则为不稳定。,2018/9/10,27,稳定性分析,有限差分解法,可以改写为,其中,2018/9/10,28,稳定性分析,误差分布 满足与差分方程相同的方程，即,考虑第 层误差的 Fourier 展开式的一个谐波分量,其中 为波数， 为振幅。,（*）,2018/9/10,29,稳定性分析,由于,2018/9/10,30,稳定性分析,
5、将上述公式代入方程(*)，得到,（*）,当从时间层n推进到n+1层时，我们定义误差的这一谐波分量的增长因子 G 为,由(*)式，容易计算出,2018/9/10,31,稳定性分析,按稳定性要求，对所有的谐波分量，即当 取遍所有实数时 ，都应有 ，即,显然，右边不等式对所有 与 值都是满足的，为满足左边不等式，必须,此式必须对所有 值成立，所以必须,2018/9/10,32,Richardson格式,时间和空间都采用中心格式，得到,此式可以改写为,2018/9/10,33,Richardson格式,由于,，因此,由于,因此,(*),2018/9/10,34,Richardson格式,方程（*）有两
6、个根 和 ，根据韦达定律,由式（*）知道，如果 ，则必有,（*）,说明误差的每个谐波分量将随,无限增长,（*）,2018/9/10,35,Richardson格式,否则,，必须,根据式（*），必须,或者 ，无意义。,2018/9/10,36,Du Fort-Frnkel格式,把Richardson格式修改成稳定的差分格式,由 Von-Neumann方法找出增长因子,2018/9/10,37,Du Fort-Frnkel格式,考虑两种情况：,A,因为 ，,所以,2018/9/10,38,Du Fort-Frnkel格式,B,对所有正的 ，格式稳定,2018/9/10,39,相容性检查,用精确解
7、替代 ，并绕 进行Taylor展开，得到,2018/9/10,40,Crank-Nicolson格式,增长因子为,无条件稳定,2018/9/10,41,隐式格式,或者,2018/9/10,42,隐式格式,用Von-Neumann方法，找到增长因子,显然 ，所以隐式格式无条件稳定。,2018/9/10,43,隐式格式,2018/9/10,44,隐式格式,2018/9/10,45,一阶齐次偏微分方程,特征方程,2018/9/10,46,二阶齐次偏微分方程,特征方程,2018/9/10,47,二阶齐次偏微分方程,，椭圆型方程，抛物型方程，双曲型方程,2018/9/10,48,波动方程,初始条件,和,
8、(a),2018/9/10,49,波动方程,可以把(a)改写为,(b),(c),2018/9/10,50,波动方程,(b)、(c)两式相加减，得到,其中 ，,2018/9/10,51,方向导数,r,2018/9/10,52,方向导数,其中,方程可以写为,2018/9/10,53,波动方程,(a),特征方程,特征线,2018/9/10,54,微分依赖区,依赖区,2018/9/10,55,精确解,达朗贝尔公式,2018/9/10,56,方程组更为一般的情形,其中,(*),2018/9/10,57,系数矩阵对角化,对于m阶矩阵A，如果有m个实特征值，并且有m个对应的线性独立的特征向量，便可将这些特征
9、向量作为列组成一变换矩阵P，使矩阵A经相似变换后化为对角型，即,为矩阵A的特征值。,2018/9/10,58,方程组解耦,对方程组（*）左乘以矩阵 ，得到,令,和,（*）,则式(*)可以改写为,2018/9/10,59,方程组解耦,上式也可用方向导数写为,其中,而,定义了特征线。,2018/9/10,60,微分依赖区,依赖区,2018/9/10,61,差分格式,对方程(*)，时间和空间都采用中心差分,或者写成,其中,2018/9/10,62,差分依赖区,P,A,B,C,D,E,F,G,2018/9/10,63,CFL条件,对于双曲型方程，差分问题的解收敛于对应微分问题的解的必要条件是差分问题的
10、依赖区必须包含对应微分问题的依赖区，这就是著名的CFL（Courant-Fridrichs-Lewy）条件。,对于本例，该条件为,r称为Courant数,对于方程组(*)，该条件为,2018/9/10,64,微分依赖区包含差分依赖区,2018/9/10,65,差分依赖区包含微分依赖区,2018/9/10,66,一维对流方程,初始值,精确解,2018/9/10,67,时间前差，空间前差,2018/9/10,68,时间前差，空间后差,2018/9/10,69,时间前差，空间中差,2018/9/10,70,Lax格式,2018/9/10,71,Lax-Wendroff格式,由Taylor级数展开式,
11、所以,（*）,2018/9/10,72,Lax-Wendroff格式,应用前面微分方程，可将导数 表示为,2018/9/10,73,Lax-Wendroff格式,代入公式(*),得到 的差分近似式，又对微分方程中的导数采用中心差分近似，则差分方程最终可以写为,2018/9/10,74,Lax-Wendroff格式,2018/9/10,75,一般情形的Von-Neumann方法,对于含有m个未知数的线性偏微分方程组，可将方程写成矩阵形式，未知函数组看成m维向量。在对这类问题的差分方程进行稳定性分析时，把误差也看作向量，因此误差的谐波分量 也是向量。将各时间层的误差谐波分量代到差分方程中，可以找出
12、联系第n+1时间层和第n时间层振幅向量的m阶增长矩阵G，其定义由下式给出,由递推法得到,2018/9/10,76,一般情形的Von-Neumann方法,假设 是增长矩阵G的m个特征值， 是与各特征值对应的m个线性独立的特征向量，特征向量 满足方程,把初始误差谐波分量的振幅 表示为这些线性独立特征向量的线性组合,2018/9/10,77,一般情形的Von-Neumann方法,则,为了使差分格式稳定，也就是当 时 有界，增长矩阵G的所有特征值必须小于或等于1，即,2018/9/10,78,一般情形的Von-Neumann方法,为了简化记号，就用 表示误差的一个谐波分量，有,（a）,2018/9/1
13、0,79,一般情形的Von-Neumann方法,代入式(a)，得到两时间层误差振幅的关系为,写为矩阵形式,2018/9/10,80,一般情形的Von-Neumann方法,其中,其特征值 满足方程,2018/9/10,81,一般情形的Von-Neumann方法,方程有两个根,因此,当 时，对所有谐波分量，即当k取遍所有实数时，都有 ，这时差分格式稳定。,2018/9/10,82,一般情形的Von-Neumann方法,二维对流方程,其中 和 为对流速度分量。,2018/9/10,83,一般情形的Von-Neumann方法,应用Lax格式，差分近似方程为,我们取x和y方向步长相等， 。,2018/9
14、/10,84,一般情形的Von-Neumann方法,假设误差的一个谐波分量为,令,2018/9/10,85,一般情形的Von-Neumann方法,增长因子为,因此,2018/9/10,86,一般情形的Von-Neumann方法,由于最后二项总是负的，所以只要,就有 ，这时差分格式为稳定。该条件又可为,2018/9/10,87,差分依赖区和影响区,P,A,B,C,D,E,F,G,c t,影响区,依赖区,2018/9/10,88,一般情形的Von-Neumann方法,A,B,C,D,P,E,2018/9/10,89,人工粘性,一维对流方程,采用时间前差，空间后差的差分格式,(*),2018/9/10,90,人工粘性,采用Taylor级数，得到,或者写成,2018/9/10,91,人工粘性,利用差分方程(*)，可以把时间的二阶导数化为空间的二阶导数,差分方程最后可化为,人工粘性项,2018/9/10,92,人工粘性,2018/9/10,93,守恒性气体动力学方程组,2018/9/10,94,守恒性气体动力学方程组,2018/9/10,95,非守恒性气体动力学方程组,2018/9/10,96,非守恒性气体动力学方程组,2018/9/10,97,非守恒性气体动力学方程组,2018/9/10,98,一维守恒型Euler方程,(*),2018/9/10,
