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1、第四章 弯曲强度,受力变形特点: 外力或外力偶的矢量与杆件的轴线垂直，轴线的曲率发生改变。以弯曲变形为主的杆件称为梁。,4.1 平面弯曲梁的内力,一、平面弯曲梁,当外载作用于纵向对称面内，则弯曲后的轴线将是纵向对称面内的平面曲线，称为对称弯曲。对称弯曲是平面弯曲。,如果外载为平面力系和弯曲后的轴线为平面曲线，且外载作用平面（载荷平面）与变形后轴线所在平面（弯曲平面）相互平行，这样的弯曲称为平面弯曲。,平面弯曲的单跨静定梁，通常可简化为三种基本形式：简支梁、外伸梁和悬臂梁。,将若干单跨静定梁铰接起来，可构成多跨静定梁。,4.1 平面弯曲梁的内力,二、剪力方程和弯矩方程 内力图,平面弯曲梁横截面上
2、的内力，通常有切向力分量FS和力偶矩M，分别称为剪力和弯矩，其解析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。,外力确定后，用截面法求梁的内力。,对于横向力作用的直梁，指定截面上剪力的大小等于截面某一侧所有外力的代数和，弯矩的大小等于截面一侧所有外力对截面形心之矩的代数和，为研究方便，规定使梁段产生顺时针转动趋势的剪力为正，使梁段向上弯曲的弯矩为正。,梁的内力图分别为剪力图和弯矩图,习惯上将剪力正值朝上，弯矩正值朝下。,例：试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图。,解：沿梁轴线为 x 轴建立坐标系,线性分布的分布载荷的分布集度为,剪力方程,弯矩方程,二次抛物线,三次曲线,例：试作图示简支梁的剪力图和弯矩图。,解
3、：求支反力,求内力方程,1-1 截面 (0 x a),2-2 截面 (a x 2a),3-3 截面 (2a x 3a),例：试作图示简支梁的剪力图和弯矩图。,内力方程,引入奇异函数,则：,A,a / 2,例：试作图示多跨静定梁的剪力图和弯矩图。,q,D,C,a,B,a / 2,解：建立坐标系，将梁化为两个单跨梁计算支反力,内力方程,A,a / 2,例：试作图示多跨静定梁的剪力图和弯矩图。,q,D,C,a,B,a / 2,内力方程,令,A,a / 2,例：试作图示多跨静定梁的剪力图和弯矩图。,q,D,C,a,B,a / 2,内力方程,4.1 平面弯曲梁的内力,三、微段梁的平衡 内力与载荷的关系,
4、分布载荷集度q、剪力FS和弯矩M之间的微分关系，称为梁的平衡微分方程。对其积分可得积分形式的关系式。,无集中力作用的微段：,4.1 平面弯曲梁的内力,三、微段梁的平衡 内力与载荷的关系,集中力作用处的微段：,集中力偶作用处的微段：,无集中力作用的微段：,微段梁平衡条件的几何特点：,内力图的简捷画法：控制点法,根据载荷及约束力的作用位置，确定控制点(面)。,确定控制面上的剪力和弯矩数值，(假定剪力和弯矩都为正方向)。,建立 FS- x 和 M- x 坐标系，并将控制点(面)上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。,应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。,应
5、用截面法直接计算、由内力已知截面逐段推算,剪力图纵坐标轴正向朝上，弯矩图纵坐标轴正向朝下，且画在与受力图对应的位置,集中力(偶)作用处两侧截面、分布载荷起点和终点、内力已知点,10kN/m,20kN/m,60kNm,例：试作图示外伸梁的剪力图和弯矩图。,解：求支反力,FS ：(kN ),作剪力图：,求控制点的剪力,连线作图,CA 段为直线,AB 段为水平线,BE 段为上凸的二次曲线，B 处有水平切线,10kN/m,20kN/m,60kNm,例：试作图示外伸梁的剪力图和弯矩图。,作弯矩图：,求控制点的弯矩,连线作图,CA 段为二次曲线，C 处有水平切线,AD 段为直线,BE 段为三次曲线，E 处
6、有水平切线,DB 段为与 AD 段平行的直线,8kNm,例：试作图示简支梁的剪力图和弯矩图。,解：求支反力,作剪力图：,作弯矩图：,两支座间的梁内 q = 常量且 q 5 )。,解：等截面直梁的最大应力发生在相应内力最大的截面,由应力计算公式：,最大应力所在的截面称为危险截面,具有最大应力的点称为危险点,最大正应力和最大切应力之比：,一般情况下，细长梁的强度由弯曲正应力控制,4.4 关于弯曲应力的讨论,一、关于平面假设,在纯弯曲下平面假设是正确的。但在横力弯曲时，由于横截面上非均匀分布的切应力引起的切应变将使横截面发生翘曲。,对等截面直梁，当梁段内剪力沿轴线为常量，即无分布载荷作用时，各截面的翘曲相同。梁内纵向纤维的长度不会因截面翘曲而改变，故不产生新的正应力。,在分布载荷作用下，各横截面上剪力不同，则各截面的翘曲程度发生变化，从而产生附加的正应力。但只要是跨高比 l/h 5 的细长梁，根据平面假设导出的弯曲正应力公式仍然适用。,
