《概率论与数理统计第3章随机向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第3章随机向量（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3章 随机向量,概率论与数理统计,二维离散型随机向量,3.2,二维连续型随机向量,3.3,二维随机向量及其分布函数,3.1,第3章 随机向量,边缘分布,3.4,随机变量的独立性,3.5,条件分布,3.6,二维随机向量函数的分布,3.7,3.1 二维随机向量及其分布函数,定义3.1.1 设随机试验E的样本空间为,X和Y为定义在 上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)称为定义在 上的二维随机向量或二维随机变量对任意实数下x,y, 二元函数 （3.1.1）称为二维随机向量(X,Y)的分布函数或称为随机变量X和Y的联合分布函数,3.1 二维随机向量及其分布函数,二维随机向量的分布函数 具有以下几条
2、基本性质： 1.有界性： ；且 对任意固定的y,对任意固定的x ,3.1 二维随机向量及其分布函数,2.单调性： F(x,y)关于x和y均为单调不减函数, 即 对任意固定的y,当 对任意固定的x,当 3.右连续性： F(x,y)关于x和y均为右连续的, 即,3.2 二维离散型随机向量,定义3.2.1 若二维随机向量(X,Y)只取有限对或无穷可列对值 则称(X,Y)为二维离散型随机向量，并称 （3.2.1）,3.2 二维离散型随机向量,表3.1 二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布,3.2 二维离散型随机向量,由概率的性质可知 具有以下两条性质： 1. 非负性： 2归一性： (3.2.2)(3
3、.2.3),3.2 二维离散型随机向量,例3.2.1 在只有3个红球和4个黑球的袋中逐次随机抽取一球，令试在有放回及不放回两种条件下，求X和Y的联合分布,3.2 二维离散型随机向量,解 （1）有放回抽取,3.2 二维离散型随机向量,（2）无放回抽取,3.3 二维连续型随机向量,定义3.3.1 设(X,Y)为二维随机向量,F(x,y)为其分布函数, 若存在一个非负可积的二元函数f(x,y), 使对任意实数x,y, 有(3.3.1)则称(x,y)为二维连续型随机向量, 并称f(x,y)为(X,Y)的概率密度(密度函数), 或X与Y的联合概率密度(联合密度函数),3.3 二维连续型随机向量,由定义3
4、.3.1知道概率密度函数 具有以下基本性质： （1） （2） (3.3.2) （3）若f(x,y)在点(x,y)连续, 则有 （4）设D是xOy平面上的区域，点(X,Y)落入D内的概率为(3.3.3),3.3 二维连续型随机向量,例3.3.1 设(X,Y)的概率密度函数为其中C为常数 （1）求常数C； （2）求(X,Y)的联合分布函数； （3） （）(X,Y)落在 所围成的三角形区域D内的概率,3.3 二维连续型随机向量,解 （1）根据概率密度函数性质（2）知从而 （2）由定义3.3.1知,3.3 二维连续型随机向量,（3）将 (X,Y)看作平面上随机点的坐标，设平面区域则根据概率密度函数性质
5、（4）知（4）根据概率密度函数性质（4）知,3.3 二维连续型随机向量,下面介绍两种常用的二维连续型分布 1二维均匀分布 G是平面上的有界区域,其面积为A若二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为（3.3.4）则称(X,Y)在G上服从均匀分布,3.3 二维连续型随机向量,2. 二维正态分布 二维随机向量(X,Y)具有概率密度（3.3.5）称(X,Y)为二维正态随机向量,3.4 边缘分布,1,2,二维离散型随机向量的边缘分布,二维连续型随机向量的边缘分布,3.4 边缘分布,二维随机向量(X,Y)作为一个整体，它具有分布函数F(x,y)（3.4.1） 同理，有 （3.4.2）,3.4.1 二维离散型
6、随机向量的边缘分布,设(X,Y)是二维离散型随机向量，其分布律为：于是，随机变量X的概率分布为 记 (3.4.3),3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布,称其为二维离散型随机向量(X,Y)关于X的边缘分布律可用表格形式表示为：,3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布,同理，(X,Y)关于Y的边缘分布律为：(3.4.4) 称其为二维离散型随机向量(X,Y)关于Y的边缘分布律可用表格形式表示为：,3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布,表3.2 二维随机向量 的边缘分布与联合分布,3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布,例3.4.1 设袋中有3个红球及4个黑球，现从其中随机地抽取两次，每
7、次取一个，定义随机变量X，Y如下：写出下列两种试验的随机变量X与Y的联合分布与边缘分布： （1）有放回摸球；（2）无放回摸球,3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布,解 （1）采取有放回摸球时，根据例3.2.1，可得(X,Y)的联合分布律为,3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布,故(X,Y)关于X的边缘分布律表示为同理，根据式(3.4.4)，得,3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布,故(X,Y)关于X的边缘分布律表示为,3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布,(X,Y)的联合分布与边缘分布由表3.3给出.,表3.3,3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布,(2) 采取无放回摸球时
8、，与（1）的解法相同，(X,Y)的联合分布与边缘分布由表3.4给出.,表3.4,3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布,设(X,Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x,y)，由知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为（3.4.5）同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为= (3.4.6),3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布,例3.4.2 设(X,Y)服从矩形区域 上的均匀分布，求X与Y的边缘密度函数 解 根据均匀分布的定义，(X,Y)的密度函数为所以 同理,3.5 随机变量的独立性,定义3.5.1 设X和Y为两个随机变量，若对于任意实数 x和y有则称随机变量X和Y相互独立(
9、3.5.1),3.5 随机变量的独立性,定理3.5.1 设离散型随机变量X和Y的分布律分别为：(X,Y)的联合分布律为则X,Y相互独立的充要条件为：对一切I,j恒有即 （3.5.2）,3.5 随机变量的独立性,定理3.5.2 设连续型随机变量X和Y的概率密度函数分别为 ， ，随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为 ，则f(x,y)相互独立的充要条件为,3.5 随机变量的独立性,例3.5.1 试判定本章例3.4.1中的随机变量X与Y在有放回抽取与无放回抽取时是否相互独立 解 根据例3.4.1，有放回抽取时,(X,Y)的联合分布律为,3.5 随机变量的独立性,综合可得,3.6 条件分布,1,2,二
10、维离散型随机向量的条件分布,二维连续型随机向量的条件分布,3.6 条件分布,按照条件概率的定义，在事件B出现的条件下事件A发生的概率为这里P(B)0，我们将以此为基础定义随机向量的条件分布,3.6.1 二维离散型随机向量的条件分布,设(X,Y)为二维离散型随机向量，它的分布律为对于固定的j，假设 ，则在条件 下事件 发生的概率为（3.6.1）,3.6.1 二维离散型随机向量的条件分布,此条件分布律可用表格表示为（3.6.2）,3.6.1 二维离散型随机向量的条件分布,称这个分布为在给定 条件下Y的条件分布律，用表格表示为,3.6.1 二维离散型随机向量的条件分布,例3.6.1 已知 的联合分布
11、律如表3.5所示求：（1） 在X=1的条件下，Y的条件分布律；（2） 在Y=2的条件下，X的条件分布律,表3.5 的联合分布律与边缘分布律表,3.6.1 二维离散型随机向量的条件分布,解 （1） 由联合分布律表可知边缘分布律，见表3.5于是即，在X=1的条件下Y的条件分布律为,3.6.1 二维离散型随机向量的条件分布,（2）同理可求得在Y=2的条件下X的条件分布律为,3.6.2 二维连续型随机向量的条件分布,给定y，对于任意的 ，如果 则可以考虑定义3.6.1 给定y，设对于任何固定的正数 ， ，若,3.6.2 二维连续型随机向量的条件分布,设二维连续型随机向量(X,Y)的分布函数为F(x,y
12、)，分布密度函数为f(x,y) ，且f(x,y)和边缘分布密度函数 连续， ，则在Y=y的条件下X的条件分布函数为若记 为在Y=y的条件下X的条件概率密度，则,3.6.2 二维连续型随机向量的条件分布,定理3.6.1 设二维连续型随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)，Y的边缘概率密度为 若f(x,y)在点(x,y)连续， 在y处连续，且 ，则(3.6.3)在 的条件下Y的条件概率密度函数为(3.6.4),3.6.2 二维连续型随机向量的条件分布,例3.6.3 设(X,Y)服从二维正态分布 ，试求 与 解 由已知得=在X=x的条件下，Y的条件分布为,3.7 二维随机向量函数的分布,1,2,(X,Y)为二维离散型随机向量,二维连续型随机向量函数的分布,3.7.1 为二维离散型随机向量,设(X,Y)为二维离散型随机向量，已知其联合分布律为 g(x,y)是一个二元函数，则Z=g(X,Y)是二维随机向量(X,Y)的函数，是一个新的随机变量，它的分布律为,3.7.1 为二维离散型随机向量,例3.7.1 设(X,Y)的分布律为求Z=X+Y和Z=XY的分布律.,
