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1、抛物线的几何性质,y2 = 2px (p0),y2 = -2px (p0),x2 = 2py (p0),x2 = -2py (p0),(一)、回顾,上述是我们上节课所学得抛物线的几种标准方程形式,这节课我们来研究抛物线的简单几何性质:,范围 对称性 顶点 离心率,(二)、抛物线的几何性质,由抛物线y2 =2px(p0),所以抛物线的范围为,定义:抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。,y2 = 2px (p0)中, 令y=0,则x=0.,即:抛物线y2 = 2px (p0)的顶点(0,0)。,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比,叫做抛物线的离心率。,由定义知, 抛物线y2 = 2px
2、 (p0)的离心率为e=1.,小 结,x轴,x轴,y轴,y轴,归纳:(1)、抛物线只位于半个坐标平面内,虽然 它也可以无限延伸,但没有渐近线;(2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)、抛物线只有一个顶点,一个焦点,一 条准线;(4)、抛物线的离心率是确定的,为。,(一)、复习题组训练,(1)抛物线 的弦AB垂直x轴,若|AB|= , 则焦点到AB的距离为 。,2,(2)已知直线x-y=2与抛物线 交于A、B两 点,那么线段AB的中点 坐标是 。,(3)已知抛物线方程为 ,线段AB过 焦点F并且垂直X轴,那么得到的线段AB= 。,6,(二)、定义通径:经过抛物线的焦点并且垂直于抛物线的
3、轴所得的弦叫作抛物线的通径,长为2p。,例:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(, ),求它的标准方程。,所以设方程为:,因此所求抛物线标准方程为:,(三)、例题,例2:如图,吊车梁的鱼腹部分AOB是一段抛物线,宽为7m,高为0.7m,求这条抛物线的方程。,O,7,A,B,0.7,抛物线的方程为: x2 = 17.5y,例3、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛物线的标准方程及焦点的位置。,F,y,x,O,解:如图所示,在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系,使反光镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直
4、径。,A,B,设抛物线的标准方程是:由已知条件可得点A的坐标是(40,30),代入方程可得,所求的标准方程为 焦点坐标为,例4、正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 上,求这个三角形的边长。,A,B,解:如图,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则,,又|OA|=|OB|,所以x12+y12=x22+y22,即 :x12-x22+2px1-2px2=0,(X12-x22)+2p(x1-x2)=0,(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.,A,B,X10,X20,2p0, X1=x2.,由此可得|y1|=|y2|,,即线段AB关于x轴对称。因为x轴垂直于AB,且 , 所以,(三)、练习:,1、已知抛物线的顶点在原点,对称 轴为x轴,焦点在直线3x-4y-12=0上,那 么抛物线通径长是 .2、一个正三角形的三个顶点,都在抛 物线 上,其中一个顶点为坐标 原点,则这个三角形的面积为 。,(四)、课时小结:抛物线是一种常见的圆锥曲线,我们要掌握它的定义、标准方程及几何性质,并能灵活运用它们解决生活中实际的问题。,