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1、弯曲应力,5.1 弯曲正应力及强度条件 5.2 梁的切应力及强度条件 5.3 提高梁强度的措施,5.1 弯曲正应力及强度条件,在CD段内的弯矩M=Fa为常数，而剪力FS等于零。,5.1.1 纯弯曲与平面假设,一、纯弯曲,梁横截面上只有弯矩，没有剪力的情况称为纯弯曲。,5.1 弯曲正应力及强度条件,二、平面假设,在梁的侧面画一些横向线和纵向线,(1) 变形前的横向线在变形后仍为直线，在转过一定角度后仍与变形后的梁轴线垂直。,(2) 变形前的纵向线在变形后成为圆弧线，且上部的纵向线缩短，下部的纵向线伸长。,观察到如下现象：,5.1 弯曲正应力及强度条件,两个假设,1、平面假设,2、单向受力假设,梁
2、的横截面在弯曲后仍保持为平面，且与变形后的梁轴线垂直。,梁的纵向纤维处于单向受力状态，各纤维之间没有相互作用。,5.1 弯曲正应力及强度条件,二、中性层 中性轴,由梁变形的连续性，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层。,中性层与横截面的交线称为中性轴。,中性层把梁沿高度分成受压区和受拉区。,1、中性层,2、中性轴,5.1 弯曲正应力及强度条件,表示微段中性层O1O2的曲率半径,梁中任一纵向纤维的线应变与其到中性层的距离成正比。,距中性层为y处的纵向纤维伸长量为,1变形几何关系,纵向线应变为,5.1.2 正应力公式的推导,5.1 弯曲正应力及强度条件,在弹性范围内,梁横截面上各点的正应力与其
3、到中性轴的距离成正比,2物理关系,5.1 弯曲正应力及强度条件,纯弯曲,代入,3静力关系,梁横截面对中性轴(z轴)的面积矩等于零。,中性轴通过横截面的形心。,(1) FN,5.1 弯曲正应力及强度条件,代入,y轴为横截面的对称轴,自动满足。,(2) My,(3) Mz,是梁横截面对中性轴的惯性矩。,EIz反映了梁抵抗弯曲变形的能力，称为梁的抗弯刚度。,5.1 弯曲正应力及强度条件,代入,说明：,(1)纯弯曲正应力公式。,梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。,(2)当梁的跨度与横截面高度的比值较大时(如l / h 5)，纯弯曲正应力公式对横力弯曲仍然适用。,5.1 弯曲正应力及强度条件,
4、例51 图5-5所示长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端受一集中力F=5kN作用。已知h=180 mm，b=120 mm，y=60 mm，a=2m。求截面C上K点处的正应力。,解 截面C上的弯矩,截面对中性轴的惯性矩,5.1 弯曲正应力及强度条件,(1)宽为b、高为h的矩形截面,式中 称作抗弯截面系数,等截面梁来讲，最大正应力,5.1.3 梁的正应力强度条件,(2)直径为d的圆形截面,5.1 弯曲正应力及强度条件,(1)抗拉和抗压强度相等的材料(如碳钢)，只要绝对值最大的正应力不超过许用应力即可。,梁的正应力强度条件,(2)抗拉和抗压强度不等的材料(如铸铁)，则要求最大拉应力和最大压应力分别不超过
5、许用拉应力t和许用压应力c,5.1 弯曲正应力及强度条件,例52 图5-6a所示一箱形截面简支梁，跨长l=8m，材料的许用应力=120MPa，试确定许可载荷集度q。,解 画弯矩图,对中性轴z的惯性矩为,抗弯截面系数,梁所能承受的最大弯矩为,许可载荷集度,5.1 弯曲正应力及强度条件,例53 一T形截面铸铁梁受力如图5-7a所示。已知F1=10 kN，F2=4 kN，材料的许用拉应力t=35 MPa，许用压应力c=90 MPa，截面对中性轴的惯性矩Iz=7.6310-6 m4，中性轴到上、下边缘的距离分别为y1=52 mm，y2=88 mm。试校核梁的强度。,解 (1) 画弯矩图,在截面D和截面
6、B上分别有最大正弯矩和最大负弯矩,MD = 3 kNm,MB = -4 kNm,5.1 弯曲正应力及强度条件,(2) 校核强度,校核最大拉应力,截面B上，最大拉应力发生在截面的上边缘,截面D上，最大拉应力发生在截面的下边缘,5.1 弯曲正应力及强度条件,校核最大压应力,最大压应力发生在截面B的下边缘,梁满足正应力强度要求 。,5.1 弯曲正应力及强度条件,例54 图5-8a所示的简支梁由两根槽钢焊接而成，梁上所受载荷如图所示。材料的许用应力=160MPa，试选择槽钢的型号。,解 画剪力图和弯矩图,单根槽钢所需的抗弯截面系数,由附录C型钢规格表查得No.22a槽钢的Wz为218 cm3，可满足正
7、应力强度要求。,5.2 梁的切应力及强度条件,两端面上内力,5.2.1 矩形截面梁的切应力,矩形截面梁中截取微段dx,端面上的应力分布,平衡条件,切应力互等定理,其中,求横截面上距中性轴为y处各点的切应力,将微段截开，并研究下部隔离体,5.2 梁的切应力及强度条件, =,是面积A1对中性轴的面积矩。,整理得,代入,其中,类似地,认为切应力均匀分布,5.2 梁的切应力及强度条件,矩形截面梁横截面上任一点的切应力计算公式。,矩形截面梁横截面上的切应力沿梁高度按二次抛物线规律分布。,(1) 截面上、下边缘，切应力等于零;,矩形截面梁横截面上的切应力,5.2 梁的切应力及强度条件,(2) 在中性轴上(
8、y=0)，切应力有最大值。最大切应力是平均切应力的1.5倍。,5.2 梁的切应力及强度条件,例55 一矩形截面简支梁如图5-12所示。已知a =3m，h=160 mm，b=100 mm，y= 50 mm，F=18 kN。求m m截面上K点处的切应力。,解 m m截面上的剪力为18 kN,截面对中性轴的惯性矩,K点处的切应力为,(1)切应力沿腹板高度仍按抛物线规律分布,一、腹板,5.2 梁的切应力及强度条件,(2)最大切应力max发生在中性轴上,5.2.2 工字形截面梁的切应力,(3)最小剪应力发生在翼缘与腹板的连接处,二、翼缘,腹板上的切应力是均匀分布,5.2 梁的切应力及强度条件,认为切应力
9、沿翼缘厚度均匀分布,(1) Sz*为欲求应力点到翼缘端部间的面积对中性轴的静矩,(2)翼缘上水平切应力的大小呈线性变化,(3)对薄壁杆件，其横截面上弯曲切应力形成切应力流。,假设 （AB弦上各点）,截面边缘上各点的切应力与圆周相切,5.2 梁的切应力及强度条件,(1) 切应力的作用线都通过P点,5.2.3 圆形截面梁的切应力,(2) 切应力的垂直分量y相等,在中性轴上,最大切应力是平均切应力的倍,1)切应力取最大值max,2)各点沿铅垂方向的切应力y为该点的总切应力,二、切应力强度条件,一、最大切应力,5.2 梁的切应力及强度条件,(1)梁的强度由正应力强度条件控制。,5.2.4 梁的切应力强
10、度条件,(2)梁截面设计时，根据正应力强度条件设计截面，再对切应力强度条件进行校核。,等截面梁来说，最大切应力发生在剪力最大的横截面的中性轴上,5.2 梁的切应力及强度条件,梁的切应力强度条件起控制作用的情况,梁中弯矩较小而剪力很大。,1) 梁的跨度较短,2)支座附近有较大的集中载荷,5.2 梁的切应力及强度条件,例56图5-15a所示为起重设备简图。已知起重量(包含电葫芦自重)F=30 kN，跨长l=5m。梁AB由No.20a工字钢制成，许用应力 =170MPa，=100MPa。试校核梁的强度。,解,1. 计算最大正应力,载荷置于梁的跨中处,弯矩图,2. 计算最大切应力,载荷靠近支座处,剪力
11、图,5.2 梁的切应力及强度条件,(1) 正应力强度校核,型钢表查得No.20a工字钢,(2) 切应力强度校核,查得,梁的正应力和切应力强度条件均能满足，梁是安全的。,5.3 提高梁强度的措施,5.3.1 减小最大弯矩,(1) 分散载荷,(2)合理地安排支座位置,5.3 提高梁强度的措施,5.3 提高梁强度的措施,5.3.2 选用合理截面,(1)矩形截面和正方形截面,抗弯截面系数的比值,a)当 时，由hb=a2可知 , 从而有 ，说明矩形截面比同样面积的正方形截面合理。,b)当 时，由于hab ，可得 ，说明矩形截面不如同样面积的正方形截面合理。,(2) 正方形截面比同样面积的圆形截面合理。,
12、一、常见截面比较,5.3 提高梁强度的措施,二、选择合理截面,(1) 尽可能使大部分面积布置在距中性轴较远的地方。,(2) 最大拉应力和最大压应力同时达到各自的许用应力。,a) 塑性材料，采用对称于中性轴的截面。,b) 脆性材料，使中性轴偏于截面受拉的一边。,5.3 提高梁强度的措施,5.3.3 等强度梁,2. 变截面梁，要求其所有截面上的最大正应力同时达到材料的许用应力,得,截面按上式变化的梁称为等强度梁。,一、等强度梁,1. 等截面梁，只有危险截面上的最大应力才有可能达到许用应力。,5.3 提高梁强度的措施,跨长为l，自由端作用有集中力F的矩形截面悬臂梁 。,(1)宽度的设计,代入,即：当梁截面高度为常数时，它的宽度将按直线变化,二、等强度梁的设计,则,5.3 提高梁强度的措施,(2)最小宽度设计,切应力强度条件,为了抵抗剪力的作用，在自由端附近，还需根据切应力强度条件设计它所需要的最小宽度bmin,得,
