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1、用推理的方法研究三角形,定理: 等腰三角形的两个底角相等,简称:等边对等角,推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合 (三线合一),回忆与思考,等腰三角形的性质:,等腰三角形识别方法:,有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简称:等角对等边.,角平分线性质,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,已知：如图，OP是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D，E求证：PD=PE,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,A,B,O,P,D,E,1,2,C,定理：,证明: 1=2 , OP=OP PDO=PEO=90 PDOPEO (AAS) P
2、D=PE (全等三角形的对应边相等),定理的题设和结论分别是什么 ？,在一个角的内部，且 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。,已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E，PD=PE. 求证：点P在AOB的平分线上,反过来：,证明: 在RtODP和RtOEP中, ODP=OEP=90 OP=OP, PD=PE RtOPDRtOPE (HL),已知：,MNAB于C，AC=BC，点P在MN上。,求证：,PA=PB,证明：,MNAB（已知） PCA=PCB（垂直定义）,在PCA和PCB中：,AC=CB（已知） PCA=PCB（已证） PC=PC（公共边）,PCAPCB（SAS）,PA=
3、PB（全等三角形的对应边相等）,M,C,线段的垂直平分线(中垂线)特征 线段的垂直平分线上的一点到这条 线段的两个端点的距离相等,反过来：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上,定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,定理2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。,角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合,线段的垂直平分线,定 理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。,逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。,线段的垂直平分线可以看作是和线段两上端点距离相等的所有点的集合,A,B,M,N,P,点的集合是一条射线,点的集合
4、是一条直线,证明：过E作EFAD于E DE平分ADC，ECDC，EFFD CE=EF 又CE=BF EF=BE，而EFAF，BEAB E在DAB的平分线上 即AE平分DAB,例1、如图所示，ABCD，B=90，E是BC的中点，DE平分ADC，求证：AE平分DAB。,例2、还记得在全等三角形中证明的一个习题吗？如图所示，已知：在ABC中，分别以AC、BC为边，向外作正ACD、正BCE，BD与AE相交于M，求证：AE=BD。 这是在全等三角形中一道常见的习题，你知道吗，在这个结论的基础上还能证明MC平分DME，请你试一试.,例3、角平分线上的点到角的两边距离相等，到角的两边的距离相等的点在角的平分
5、线上”。如图所示：若BAD=CAD，且BDAB于B，DCAC于C，则BD=CD，若BDAB于B，DCAC于C，且BD=CD，则BAD=CAD试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？,解：如图所示，（1）作出ABC两内角的平分线，其交点为P； （2）分别作出ABC 两外角平分线，其交点分别为D，E，F 故满足条件的修建点有四处，即P，D，E，F。,三角形的角平分线的性质应用,练习:1、如图,已知:AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F 求证：AD垂直平分EF,2、如图 ,在ABC中，AD平分BAC，DEAC，交AB于E，EFAD，交BC的延长线于F。求证：FAC=B,你有何收获?,解法欣赏:已知：如图，1=2，P为BN上一点，且PDBC于D，AB+BC=2BD 求证：BAP+BCP=180,方法总结：（1）有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，在利用角平分线的判定或性质证题则问题往往迅速得解；（2）有线段的和差关系时，常用截长补短法作辅助线化和差关系为相等关系。,
