《高中数学 第三四节 平面及其方程 空间直线及其方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三四节 平面及其方程 空间直线及其方程（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 平面及其方程,(一) 平面的点法式方程,1. 法向量:,若一非零向量n垂直于一平面. 则称向量n为平面 的法向量.,注: 1 对平面, 法向量n不唯一;,2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.,一、平面方程,2. 平面的点法式方程,设平面 过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=(A,B, C).,得:,A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0,称方程(1) 为平面的点法式方程.,(1),例1: 求过点(2, 3, 0)且以 n = (1, 2, 3)为法向量的平面的方程.,解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为:,1 (x 2) 2 (y
2、 + 3) + 3 (z 0) = 0,即: x 2y + 3z 8 = 0,解: 先找出该平面的法向量n.,= 14i + 9j k,例2: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程.,所以, 所求平面的方程为:,14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0,即: 14x + 9y z 15 = 0,即,(二) 平面的三点式方程,设平面与x, y, z 轴的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点,(三) 平面的截距式方程,则,有,得,(3),(四)平面的一般方程,1、定理1: 任何
3、x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0都表示平面,且此平面的一个法向量是:,n = (A, B, C ),证: A, B, C不能全为0, 不妨设A 0, 则方程可以化为,它表示过定点 , 且 法向量为 n = (A, B, C ) 的平面.,注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (4),称为平面的一般方程.,例3: 已知平面过点M0(1, 2, 3), 且平行于平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程.,解: 所求平面与已知平面有相同的法向量n =(2 3, 4),2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0,即: 2x 3y +
4、4z 4 = 0,2. 平面方程的几种特殊情形,(1) 过原点的平面方程,由于O (0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为:,A x + B y + C z = 0,Ax +By +Cz +D = 0,(2) 平行于坐标轴的平面方程,考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n =(A, B, C)与x 轴上的单位向量 i =(1, 0, 0)垂直, 所以,n i = A 1 + B 0 + C 0 = A = 0,于是:,平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0;,平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz +
5、D = 0;,平行于z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.,特别: D = 0时, 平面过坐标轴.,(3) 平行于坐标面的平面方程,平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0;,平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0;,平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0.,(即z = k),(即y = k),(即x = k),例4: 求通过x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程.,解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0.,设所求平面的方程是 By + Cz = 0,又点(4, 3, 1)在平面上, 所以,3B C = 0,C = 3B,所求平面方程
6、为 By 3Bz = 0,即: y 3z = 0,若已知两平面方程是:,1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0,法向量 n1 = (A1, B1, C1),2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,法向量 n2 = (A2, B2, C2),1.定义1,两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.,二、两平面的夹角,所以,平面1与2 相互平行,规定: 若比例式中某个分母为0, 则相应的分子也为0.,平面1与2 相互垂直 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0,特别:,例5: 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1), 且垂直于平面
7、 x+y+z = 0, 求它的方程.,解: 设所求平面的一个法向量 n = ( A, B, C ),已知平面 x+ y+ z = 0的法向量 n1=( 1, 1, 1),于是:,A ( 1) + B 0 + C (2) = 0A 1 + B 1 + C 1 = 0,解得:,B=C A= 2C,取C = 1, 得平面的一个法向量,n = (2, 1, 1),所以, 所求平面方程是,2 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1) = 0,即: 2x y z = 0,M1(1, 1, 1) , M2(0, 1, 1),设 P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一点
8、, 求 P0到这平面的距离d.,在平面上任取一点P1(x1, y1, z1),过P0点作一法向量 n =(A, B, C),于是:,三、点到平面的距离,又 A(x0x1)+B(y0y1)+C(z0z1),= Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+Cz1+D),= Ax0+By0+Cz0+D,所以, 得点P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:,(5),例6:求点A (1, 2, 1)到平面:x + 2y +2z 10=0的距离,(一)空间直线的一般方程,已知平面1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0,2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0,那末, 交线L
9、上的任何点的坐标满足:,A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0,不在交线L上的点不满足方程组(1),(1),称方程组(1)空间直线的一般方程.,4 空间直线及其方程,一. 空间直线的方程,空间直线可看成是两个不平行平面 与 的交线,1,2,(二) 空间直线的对称式方程,而s 的坐标 m, n, p 称为直线L的一组方向数.,s,L,1.定义1,与空间直线L平行的向量 s = (m, n, p), 称为该直线的方向向量.,2. 直线的对称式方程,已知直线L过M0(x0, y0, z0)点,方向向量 s =(m, n, p),所以得比例式
10、,(2),称为空间直线的对称式方程或点向式方程.,得:,x = x0 + m t y = y0 + n t z = z0 + p t,称为空间直线的参数方程.,(3),(三) 空间直线的参数式方程,例1: 写出直线,x + y + z +1 = 0 2x y + 3z + 4 = 0,的对称式方程.,解: (1) 先找出直线上的一点 M0(x0, y0, z0),令 z0 = 0, 代入方程组, 得,x + y +1 = 0 2x y + 4 = 0,解得:,所以, 点 在直线上.,(2) 再找直线的方向向量 s .,由于平面1: x + y + z +1 = 0的法线向量 n1=(1, 1,
11、 1),平面2: 2x y+3z+4 = 0的法线向量 n2=(2,1, 3),所以, 可取,= 4i j 3k,于是, 得直线的对称式方程:,例2: 求通过点 A(2, 3, 4)与 B(4, 1, 3)的直线方程.,所以, 直线的对称式方程为,解: 直线的方向向量可取 AB = (2, 2, 1),已知直线L1, L2的方程,s1 =(m1, n1, p1),s2 =(m2, n2, p2),定义2,两直线的方向向量间的夹角称为两直线的夹角, 常指锐角.,二. 两直线的夹角,1. L1与 L2的夹角 的余弦为:,3. L1平行于L2,解: 直线L1, L2的方向向量 s1=(1, 4, 1
12、 )s2=(2, 2, 1),有:,所以:,例3:,当直线与平面垂直时, 规定夹角,已知: 直线的方向向量 s =( m, n, p ),平面的法向量 n =( A, B, C ),那末,称为L与平面 的夹角.,定义3,直线L与它在平面,上投影直线L的夹角,三. 直线与平面的夹角,(1) L与 的夹角 的正弦为:,sin,即: Am + Bn + Cp = 0,(2) L与 垂直 s / n,(3) L与 平行 s与n垂直,例4. 判定下列各组直线与平面的关系.,解: L的方向向量 s =(2, 7, 3), 的法向量 n =(4, 2, 2),s n = (2) 4 + (7) (2) +
13、3 (2) = 0,又M0(3, 4, 0)在直线 L上, 但不满足平面方程,所以L与 平行, 但不重合.,解: L的方向向量 s =( 3, 2, 7 ), 的法向量 n =( 6, 4, 14 ), L 与 垂直.,解: L的方向向量 s =( 3, 1, 4 ), 的法向量 n =( 1, 1, 1 ),s n = 3 1 + 1 1 + (4) 1 = 0,又L上的点 M0(2, 2, 3)满足平面方程,所以 , L 与 重合.,1. 点到直线的距离,例5. 求点p0(1, 2, 1)到直线,的距离d .,关键：求出 p1 的坐标,方法：过点p0作平面与l垂直，设l与平面的交点为p1，
14、则线段 p0 p1 与 l 垂直。 p1即为垂足。,四. 点到直线的距离及平面束方程,解: (1) 直线 l 的方向向量 s = (2, 1, 1),过 p0(1, 2, 1), 以s为法向量作平面,: 2(x1) + (y2) + (z1) = 0,即: 2x + y + z 5 = 0,(2) 求 l 与 的交点,将直线 l 方程写出参数方程形式：,即 6t + 6 =0, t = 1, 交点 p1(0, 2, 3),2. 平面束方程, : (A1x+B1y+C1z+D1 )+(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3),定义：对于直线 l , 通过 l 的平面的全体称为平面束。,考查直
15、线 l 与平面 的关系：,(1) 直线 l 上的任何点p(x, y, z) 满足方程(1)、(2)，也满足方程(3)。,故：方程(3)表示通过直线 l 的平面，且对于 不同的 值，方程(3)表示通过直线 l 的不同平面。,(2) 通过直线 l 的任何平面(除2以外)都包含 在方程(3)的一族平面内。,这是因为：对于直线 l 外任意一点p0(x0, y0, z0),令：,p0(x0, y0, z0),过直线 l 与点 p0 的平面为:,故：对于直线l, 方程(3)包含了(除2外的)过直 线l的全体平面。,: (A1x+B1y+C1z+D1 )+(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3),解：过直线 l 的平面束方程为,(x + y z ) + (x y + z 1) = 0,
