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1、数量关系 ,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式 点, 线, 面,基本方法 坐标法; 向量法,坐标,方程（组）,知识回顾：,在空间直角坐标系下点的表示,向径,点 M,点M的坐标,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,坐标面 :,坐标轴 :,两点间的距离公式,求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,例1:,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,故所求方程为,例2. 求动点到定点,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解: 设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面 .,定义1.
2、,如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:,(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.,(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,一、曲面方程的概念,第三节 平面及其方程,一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 四、小结,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,法线向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,已知法线向量,设平面上的任一点为,必有,一、平面的点法式方程,即得：平面的点法式方程,例1.求
3、过三点,即,解: 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,由平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般方程,几种特殊情况：,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于 坐标面；,类似地可讨论 情形.,类似地可讨论 B=0,C=0 的情形.,平面的一般方程,设平面为,由平面过原点知,所求平面方程为,解,设平面为,将三点坐标代入得,解,将,代入所设方程得,平面的截距式方程,三、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,特别有下列结论：,例4 研究以下
4、各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,例4 研究以下各组里两平面的位置关系：,例4 研究以下各组里两平面的位置关系：,两平面平行,两平面重合.,外一点,求,例5. 设,解:设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,*三点式,2.平面与平面之间的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,与平面,3、点到平面的距离公式,一、空间直线方程,二、线面间的位置关系,空间直线及其方程,第八章,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方
5、程,一、空间直线的一般方程,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,二、空间直线的对称式方程与参数方程,直线的对称式方程,令,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,直线的参数方程,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x = 1, 解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点 .,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,解,所以交点为,所求直线方程,二、线面间的位置关系,1. 两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹
6、角(通常取锐角),的方向向量分别为,特别有:,设直线,的方向向量分别为,例3. 求以下两直线的夹角,解: 直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,2. 直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,直线与平面的夹角公式,特别有:,解: 取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,直线,2. 线与线的关系,直线,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面 :,L,L / ,夹角公式：,3. 面与线间的关系,直线 L :,自测作业八：一3,4；四1,3；五1,2,
