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1、三、量子隧道效应 著名的量子隧道效应是经典理论无法解释的，只能用量子理论对它作诠释， 然而，现有量子力学经典著作建立的隧道效应模型及其计算和解释都是错误的。 在这一模型中设定了一个势场：axUaxxxuo0 ,0,0)(（18）通过求解薛定谔方程人们得到一个能量为EU0的粒子在此势场中的定态波函数：axCeaxeBBexeAAexxikxkxkxikxik,0,0,)(12211（19）其中：/211mEk，/)(2102EUmk（20）由波函数及 dxd的连续条件人们得到：akakakakeikkeikkeekkA22222 212 212 22 1)()()(（21） )/1 ()/1(2
2、1 2121AkikAkikB（22） )/1 ()/1(212121AkikAkikB（23）achkkikashkkkAekikCaik22122 22 1212)(21 （24）（19）（24）把能量为 E的粒子的能量本征态波函数EtiEex)(除了一个归一的化因子 A以外已完全确定下来，并由此计算出了透射系数D ，隧道效应似乎已 得到完美的解释。然而，我们可以证明，上述解答是完全错误的。这是因为作为粒子或体系的对应于两个不同能量本征值E1、 E2的两个本征态波函数)( 11xeEtEi和)(22xeEtEi 必须满足正交关系，即必须有：0)(*)(1122dxxexeEtEiEtEi
3、（25）由于0/)(21tEEie，故必须有：0)()(12*dxxxEE（26）能量算符是厄密算符，其本征函数系构成正交完备系，（26）是其必然结果。相反，若存在)(1xE和)(2xE使（26）不能被满足，则当体系处于E1和 E2的叠加态时有11222 222 112*)Re(2| ),(|CCCCtx（27）Im/)Esin(2Re/)Ecos(2|),(|21212 22 12tEtECCdxtx（28） 其中：0*12* 21dxCCEE（29）（28）表明1E和2E的叠加态波函数是不可能归一化的，因为其模方的积分随时间周期性变化。 这种结局是量子力学绝不可能接受的，我们应毫不犹豫地摒
4、弃 这样的解。由（19）（24）所确定的具有连续本征值E的能量本征函数系列)(xE中任意两个都不正交， 由于计算量子的繁杂， 同时也没有必要作这种普遍性的证明为简便我们只挑选特定的两个本征函数 1E和2E来验证这种非正交关系，我们取：202322Uma，212162Ema，22242Ema。 ，（30）（30）带入（ 20）后我们得到：114 /Ka，122 /Ka，214 /Ka，222 3 /Ka， （31）其中：1111()KKE，1212()KKE， , 全类推。将（31）带入到（ 21）（24）式得：11140.999329AithAiA，（32）2 12(14 334 3)( 0.
5、4985320.865176 ) 124 3chishAAi A ch，（33）1 1114(14)(0.9996650.000335 )2ABthithi A，（34）1 1114(14)0.000335(1)2ABthithi A，（35）4 34 3 22223 (0.5004890.865177 ) 2(1 24 3)Aeie Bi A ch，（36）4343 22223 (0.0009792 0.0000008)2(124 3)Aeie Bi Ach，（37）4 1 14ieACch，2 2 2(32 332 3)124 3ichisheAC ch，（38）其中，11()AA E，2
6、2()AA E, 全类推。（32）（ 38）分别代入到（ 19）后分别得到对应于能量1E和2E的两个能量本征态波函数1E和2E，1A和2A分别是1E和2E的归一化因子。令：22121210*0( )( )( )( )( )( )( )( )aEEEEEEEEaxx dxxx dxxx dxxx dx，（39） （39）右边第一个积分为：121211120* 12211()()ikxikxikxikxA eA eAeA edx ，（40）由：1112() 1112()0i kkxedxkk，（1112kk） (41) 得：01112cos()0kkxdx，（42）00/200011121112/
7、2/211121112111211121112coscoscoscos1sin()cos () 2ydyydyydyydykkxdxkkxdx kkkkkkkkkk，（43） 由（42）和（ 43）得到：11120()1112i kkxiedxkk，（44）11120()1112i kkxiedxkk，（45）将（44）和（ 45）代入到（ 40）整理后得到：* 121212121 11121112()()iiA AA AA AA Akkkk，（46）（39）右边第二个积分为：222221212122212222212122* 222110* ()()()()12121212212221222
8、2212122()()(1)(1)(1)(1)akxkxkxkxkkakkakkakkaB eB eB eB edxB BB BB BB Beeee kkkkkkkk，（47） （39）右边第三个积分为：1211*2/2 /2* 3211221002aikxikxix aix aiaiac ec edxc cedxedxe c c，（48）（48） 的积分过程中运用到 （43）的结果，同时也利用到11122 /kka。 将（38）代入到（ 48）得到：* 31212(32 332 3)( 0.00049530.000859 ) 24(124 3)shi chaA Ai aA A chch，（4
9、9）将（31） ， （32） ， （33）代入到（ 46）得到：* 112(0.0616520.015386 ) i aA A，（50）将（31）和（ 34）（ 37）代入（ 47）得到：* 212)115784.0067703.0(AaAi（51）由（49） ， （50） ， （51）得到：* 21321)13203.012886.0(AaAi (52) 由于0，自此我们证明了用来解释量子隧道效用的波函数（19）是一个不满足量子理论基本要求的波函数。 为什么会这样呢？对于给定的势场（18） ，波函数（ 19）确实是薛定谔方程 得一个解，但不是唯一的解，实际上还是存在另一个解：0,00),(/
10、),(xxeeAeikxikxiEttx（53）其中0,/2UEmEk，很容易证明波函数（ 53）即满足波函数的连续条件，又满足正交条件，此时（32）（ 38）式的关系是： 221 1,AAAA (54) ,021 22 11CCBBBB (55) 将（54）代入到（ 56）得到：0)()()()()(1* 21* 2 12111* 21* 2 12111* 2 1* 2 12111* 2 1* 2 12111AAAAkkiAAAAkkiAAAAkkiAAAAkki(56) 将（55）代入到（ 47） 、 （48）分别得到00032，从而有及，这表明波函数（ 53）是势场（ 18）中的能量本征
11、态波函数，且满足本征函数的正交 归一化条件。 我们注意到，人们在求解波函数（19）是，采取了一个非常规手段，即处连续和在假定axx0 dxd，这等于预先已设定有粒子穿透势垒，因为粒子几率 流 密 度 是 由 dxd决 定 的 。 波 函 数 标 准 化 条 件 只 要 求得导数连续，连续，并不要求无限深势阱中粒子波函数在边界是连续的，但其导数显然不连续，如果要求二者都连续，则没有非零解。显然只有波函数（ 53）才是势场（ 18）在0UE时的能量本征态波函数，但是波函数（ 53）没有任何“隧道效应” ，然而“隧道效应”是确实存在的，问 题在于：实际粒子的波函数并非本征态波函数，而是叠加态波函数， 势垒不是被能量0UE的本征态波函数穿透，而是被平均能量0UE的叠加态波函数穿透，粒子在叠加态中存在能量0UE的概率，从而有穿透垒的概率。
