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1、1.2 极坐标系,学习要点： 极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系， 在这两种坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。 通常情况下，在运动的过程中， 若点作平移变动，则选择直角坐标系； 而若点作旋转变动，则采用极坐标系。,o,P,P(x,y),P(x,y,z),（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；,（2）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对（x , y）的集合建立一一对应；,（3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对（x , y , z）的集合建立一一对应；,复习回顾,1. 直角坐标系,1. 直角坐标系,数 轴,空间直角坐
2、标系,平面直角坐标系,R,（x , y),（x , y , z),复习回顾,建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:,（1）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点；,（2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴；,（3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。,建立坐标系是为了确定点的位置。 由此，在所创建的坐标系中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应； 反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。,复习回顾,1.选择适当的坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。,巩固练习,O,F,A,E,B,D,C,2.下图是某校园的平面示意
3、图.假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ (2)他向东偏北60o方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？,A,E,B,C,D,60o,45o,办公楼,实验楼,图书馆,体育馆,120m,60m,教学楼,50m,创设情境,从这向北走1000米,请问去农行路怎么走？,请分析上面这句话，他告诉了问路人什么信息？,从这向北走1000米！,出发点,方向,距 离,在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。,情境分析,一、极坐标系的建立：,在平面内取一个定点O，叫做极点。,引
4、一条射线Ox，叫做极轴。,再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向。 （通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系。,O,新课讲解,二、极坐标系内一点的极坐标的规定:,对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从Ox到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。,特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从Ox到OM的角度，即以Ox（极轴）为始边，OM 为终边的角。,新课讲解,例1. 如图，在极坐标系中，写出点A， B，C的极坐标，并标出点,所在的位置？,例1. 如图，在极坐标系中，写出点A， B，C的极坐标，并标出点,所在的位
5、置？,例1. 如图，在极坐标系中，写出点A， B，C的极坐标，并标出点,所在的位置？,例1. 如图，在极坐标系中，写出点A， B，C的极坐标，并标出点,所在的位置？,例2：下图是某校园的平面示意图，点 A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标。,思考,在极坐标系中，,表示的点有什么,关系？你能从中体会极坐标与直角坐标 在刻画点的位置时的区别吗？,小结,极坐标(, ) 与(, 2k)(kZ)表示 同一个点. 和直角坐标不同，平面内一个 点的极坐标有无数种表示.,如果规定0，02，那么除 极点外，平面内的点可用惟一的极坐标 (,)
6、表示；同时，极坐标表示的点(,) 也是惟一确定的.,特别规定: 当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。,问题探究,平面内的一个点既可以用直角坐标 表示，也可以用极坐标表示.那么，这 两种坐标之间有什么关系呢？,把直角坐标系的原点作为极点，x轴 的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中 取相同的长度单位. 设M是平面内任意一 点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,). 从下图可以得出它们之间的关系：,N,x,x,y,M,O,y,极坐标与直角坐标的互化,N,x,x,y,M,O,y,由又可得到下面的关系式：,三、极坐标与直角坐标的互化公式,例 (1),(2),练习：互化下列直角坐标与极坐标,P9
7、 变式2,四、1、负极径的定义,说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。,对于点M（，）负极径时的规定：,1作射线OP，使XOP= ,2在OP的反向延长 线上取一点M，使OM= ; 如图示：,新课讲解,2、负极径的实例,在极坐标系中画出点:M（3，/4）的位置,1作射线OP，使XOP= /4,2在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3; 如图示： M（3，/4）,新课讲解,题组3：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标,练一练,3、关于负极径的思考,“负极径”真是“负”的吗？ 根据极径定义，极径是距离，当然是正的。 现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？,思
8、考：试把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？,？,新课讲解,4、正、负极径时，点的确定过程比较,1作射线OP，使XOP= /4,2在OP的反向延长线上取一点M，使OM= 3,1作射线OP，使XOP= /4,2在OP的上取一点M，使OM= 3,画出点: （3，/4） 和（3，/4）,给定,在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。,5、负极径的实质,从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。,而反向延长也可以看成是旋转 ，因此，所谓“负极径”实质是针对方向的。这与数学中
9、通常的习惯一致，用“负”表示“反向 ”。,负极径小结：极径变为负，极角增加 。,答：（6， +）,或（6， +）,特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为 0 。因为负极径只在极少数情况使用。,五、极坐标系下点的极坐标,探索点M（3，/4）的所有极坐标,1极径是正的时候：,2极径是负的时候：,六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。,2给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。,原因在于：极角有无数个。,新课讲解,一般地,若(,)是一点M的极坐标,则(,+2k)或 (,+(2k + 1)都可以作为它的极坐标.,若限定0,02或 ,则
10、除极点外,平面内的点和极坐标就可一一对应了.,六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,2.在极坐标系中,与(,)关于极轴对称的点是( ),A.(,) B.(,) C.(,) D.(,),C,D,题组4 1. 在极坐标系中，与点(3, )重合的点是( ),A.(3, ) B. (3, ) C. (3, ) D. (3, ),3.在极坐标系中,与点(8, )关于极点对称的点 的一个坐标是 ( ),A.(8, ) B. (8, ) C. (8, ) D.(8, ),A,3一点的极坐标是否有统一的表达式？,1建立一个极坐标系需要哪些要素？,极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。,2极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？,无数.极径有正有负；极角也有正负且无数个。,有.（，2k+）,课堂小结,或（-，2k+）,课堂小结,1、极坐标 （，2k+） 和（-，2k+）其中表示同一个点（，）；,2、点 M（，） 关于极点的对称点的一个坐标为（-，） 或（，+） ；,3、点 M（，） 关于极轴的对称点的一个坐标为（，-） 或（-，-） ；,4、点 M（，） 关于直线 的对称点的一个坐标为（-，-） 或（，-） ；,课外作业,
