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1、降落伞的选择组员：史少阳、寻鑫、周茜茜时间：2014-8-6一、摘要本模型研究的是降落伞的选购方案，该问题是在保证物资不被损坏的情况 下，用最小的费用去完成空投，属于最优化问题。因此，本文以由降落伞的伞面 费（由半径决定）、绳索（由长短决定）、固定使用费（常数）构成的总费用最小 为目标函数，以空投质量和落地速度为约束条件，建立了一个线性规划模型。 在对伞进行受力分析时， 利用牛顿运动定律及已知条件， 在假设的前提下列 出重力与阻力的关系式， 并列出微分方程对阻力系数k 进行求解。我们采用物理 方法，并利用 MATLAB 软件进行作图和数值运算，得到了k=2.95747。 由于题中已限制最大落地
2、速度为20m/s，所以，当速度为20m/s时，伞的载 重量最大，最后利用 LINDO 软件求解可得： x1=0，x2=0,x3=6,x4=0,x5=0,即购买 半径为 3m 的降落伞 6 个时，总费用最少为4932 元。关键字：线性规划MATLAB 软件LINDO 软件二、问题重述现在某灾区需要空投2000kg 的救灾物资，需要选择一些降落伞以保证在高 度不超过 500 米， 降落伞落地的速度不超过20m/s， 使得空投任务得以圆满完成。 为了研究方便，假设降落伞是长为L（L=1） ，共 16 根绳索连接挂于球心正下方 球面处，每个降落伞的价格由3 部分组成：伞面费（由半径决定） ，绳索费（由
3、 长度决定），固定使用费（常数），为了计算降落伞下降的过程中的阻力系数，可 以做如下实验，选择半径r=3m，载重量 m=300kg 的降落伞，从高度为500m的 高空下落， t 与高度 s的关系见下表：试选择降落伞。( )t s0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 ()x m500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 三、模型分析本题是一个在有限资源问题下的优化问题，根据题目可知， 在达到空投质量 和落地速度一定的前提下， 来确定降落伞的选择方案。 因此，我们可以以费用最 小为目标函数， 以空投质量和落地速度为约束条件，来最终确定各类降
4、落伞的数 量。其中总费用以降落伞的费用、绳索的费用、固定使用费构成，伞面费用由伞的半径 r 决定，绳索费用2ic 由绳索的长度及单价决定， 由图一可知绳索的长度又由降落伞的半径决定，即：2Lr ，固定费用为定值200。因为题中已给出每种伞面的半径，所以每种伞的价格为定值， 在满足空投物资 要求的条件下，使总费用最少。因此，我们需要确定每种伞的最大承载量。然后 进行线性规划，确定总固定费用为定值200，费用和每种伞的个数。四、符号说明()r m2 2.5 3 3.5 4 伞面费65 170 350 660 1000 1, 2 , 3, 4 , 5ix i：分别表示购买半径为2,2.5,3,3.5
5、,4rm的降落伞的个数；1, 2 , 3, 4 , 5iC i：分别表示半径为2,2.5,3,3.5,4rm的降落伞的价格；k：表示空气阻力系数； m：表示降落伞的载重量；( )M i：表示2,2.5,3,3.5,4rm的降落伞最大载重量 ; ( )H t: 表示 t 时刻降落伞的下落高度；g：表示重力加速度；1 i2 i3c, c, c ：分别表示伞面费、绳索费、固定使用费；G: 空投物资的总质量； L：单个绳索长度；五、模型假设1. 假设伞是标准的半球面，并且重物在伞的正下方； 2.假设物资可以任意分割； 3.假设将降落伞和绳索及物资整体看为质点； 4.假设降落伞和绳索的质量忽略不计； 5
6、.假设降落伞的落地速度不超过20m/s; 6.假设降落伞在降落的过程中只受重力和一个可以认为是非重力因素作用的 合力； 7.降落伞的阻力与速度和面积的乘机成正比，系数称为空气阻力系数为常数。六、模型建立第一步：计算各规格降落伞的价格。已知其价格由伞面费、绳索费、固定使用费 三部分构成，其中伞面费题中已给出， 绳索费由单位长度的价格乘以长 度得，固定使用费为常数。由已知及计算可得其总费用如下：i 1 2 3 4 5 1ic65 170 350 660 1000 2ic181 226 271 317 362 3ic200 200 200 200 200 iC446 596 822 1177 156
7、2 第二步：计算阻力系数对降落伞经行受力分析见图1：由牛顿运动定理及假设有：mgfma即(0)0dvmgkvsmdt v解之得：( )(1)kstmmgv teks积分有：2t220( )v(t)(1)kstmmgm gH tteksk s由假设原实验表变为：t0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 ( )H t0 30 75 128 183 236 285 340 392 445 449 作图如下：由图像可见图像后段几乎为线性关系，即后期几乎为匀速运动， 则选择 t=9s后的点做线性回归( )H tatb，通过 MATLAB 软件回归得a=16.9091,b=-11.636
8、4由分析则：mgkvs, k2.9另一方面，已知：( )(1)kstmmgv teks作 v(t)-t 图如下：可得：17.9278k=2.95747mgks第三步：求各种规格的最大载重量( )(1)kst mmgv teks事实上上式可写为：()kstkst mmgggtv meeksksm, 3()0kstmksgtv mem, ()v m 为减函数，因而当t时，()0gv mks，则()0v m。那么()vv m为单调递增函数，故( )mm v也为单调递增函数。由此可得当 v=20m/s时，每种规格的伞取得最大承载量，由222222( )(1)( )kstmkst mmgv teksmg
9、tm gm gH teksk sk s联立消去参数 t，得到322(1)kvsm gmvmgHk sks当 r =2，2.5，3，3.5，4 时，将22sr带入上式，则 : (2)M(2.5)M(3)M(3.5)M(4)M152.396 238.119 342.892 466.713 619.585 第四步：写出目标函数 由分析可知，目标函数应为总费用最小值，即51ii izc x降落伞运输物资的约束条件为：51( )i ix M iG八、模型求解由于已知：ic446,596,822,1177,1562，152.396,238.119,342.892,466.713,619.585Mi, 则所
10、得线性规划为1234512345min 44659682211771562152.396238.119342.892466.713619.585200zxxxxxstxxxxx通过求解可得 x1=0 ，x2=0 ，x3=6 ，x4=0 ，x5=0 此时 z=4932 则在此次降落伞的选择中：半径为3m 的降落伞选 6 个，可得总费用最小为 4932元。九、模型评价与推广优点：1、优化模型可使问题在处理时更加清晰明了。 2、该模型的应用方法可推广到其他领域，具有一定的代表性。缺点：1、建立理想化模型，使在降落过程中只受重力与可以认为是非重力共同作用的 合力。 2、只考虑物资挂于伞正下方的情况。 3、货物可以任意分割，且把绳索与物资都看成指点，忽略其体积因素。推广：该模型不仅适用于解决这一个问题， 同时对解决另外一些生产过程中的最大 利润问题等一些优化问题也有很强的适用性。十、参考http:/
