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1、求逆矩阵的方法与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换（由定理 2.4 给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A 的行列式 A 值和它的伴随矩阵*A.当 A 的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换 的定义 .） 定义 2.13矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k； (3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k 加至另一行 . 并称(1)为对换变换 ，称(2)为倍乘变换 ，称(3)为倍加变换 . 矩阵 A 经过初等行变换后
2、变为B，用 AB 表示，并称矩阵 B 与 A 是等价的 . （下面我们把）第 i 行和第 j 行的对换变换，简记为“，” ；把第 i 行遍乘 k 倍的倍 乘变换，简记为“k” ；第 j 行的 k倍加至第 i 行上的倍加变换，简记为“+ k”. 例如，矩阵A = 321321321cccbbbaaa321321321cccaaabbb321321321cccbbbaaa321321321kckckcbbbaaa321321321cccbbbaaa321332211321ccckabkabkabaaa（关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）二、运用初等行变换求逆矩阵 由定理 2.7 的推论“任何非奇
3、异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一 个 n阶可逆矩阵 A，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I，那么用一系列同样的初等行k，+ ki j i i j 变换作用到单位阵I 上，就可以把 I 化成A1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵 A 的右边写上一个同阶的单位矩阵I，构成一个 n2n 矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的 A 化成单位矩阵 I，与此同时，右半部分的I 就被化成了1A.即( A , I )初等行变换( I , A1) 例 1设矩阵 A = 232311111求逆矩阵A1. 解因为A , I =1002320103110011111
4、02010011220001111121 25100021 21110001111121251001020101212701112125100102010221211001所以A1= 12125102221211所求逆矩阵A1是否正确，可以通过计算乘积矩阵AA1进行验证 .如果 AA1=I 成立，则+(-1) +(-2) (1/2) +(-1) +(-1) +A1正确，否则不正确 . 对给定的 n 阶矩阵 A， 用上述方法也可以判断A 是否可逆 .即在对矩阵 A , I 进行初等行变换的过程中，如果 A , I 中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A 是奇异的，即0A，可以判定 A 不可逆；如果
5、A , I 中的左边的方阵被化成了单位阵I，说明 A 是非奇异的， 可以判定A 是可逆的，而且这个单位矩阵I 右边的方阵就是A 的逆矩阵A1，它是由单位矩阵I 经过同样的初等行变换得到的 . 例 2设矩阵 A = 116504612，问 A 是否可逆？解因为 A , I =100116010504001612103172001217200016121110000121720001612 A , I 中的左边的矩阵 A 经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A 是奇异的， A 不可逆 . （下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.）例 3解矩阵方程 AX = B，其中 A =423532211，B =45
6、3211解思路 如果矩阵 A 可逆，则在矩阵方程AX = B 等号的两边同时左乘A1，可得A1AX = A1B， X = A1B因此，先用初等行变换法判别A 是否可逆，若可逆，则求出A1，然后计算A1B，求出X . 因为 A , I = 100423010532001211103210012110001211115100012110013101115100127010102001115100127010102001所以 A 可逆，且A1=115127102X = A1B = 115127102453211=429623三、矩阵的秩前面给出了利用矩阵行列式A 判别方阵 A 是否可逆的方法，除了这
7、种方法外，还可以利用矩阵 A 的特征之一矩阵的秩来判别方阵A 的可逆性 . 矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系， 而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用. 在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式. 定义 2.15在矩阵 A 中，位于任意选定的k 行、k 列交叉点上的2k个元素，按原来次序组成的 k 阶子阵的行列式，称为A 的一个 k 阶子式 .如果子式的值不为零 .就称为非零子式 . 例 4设矩阵A=324423211123取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4 个元素按原次序组成行列式22212称为 A 的一个二阶子式，而且是它的非零子式
8、. 定义 2.16矩阵 A 的非零子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记作r A()或秩(A ) . 规定：零矩阵 O 的秩为零，即r O()= 0. 例 4 中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知， 矩阵 A 的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式） ，所以r A()= 2 . 例 5设 A 为 n 阶非奇异矩阵，求r A(). 解由于 A 为非奇异矩阵，即 A 对应的行列式0A， 所以 A 有 n 阶非零子式，故r A()= n . 例 5 的逆命题亦成立，即对一个n 阶方阵 A，若r A()= n，则 A 必为非奇异的 . 因此 n 阶方阵 A 为非奇异的等价于r A()= n.
9、称r A()= n 的 n 阶方阵为 满秩矩阵 . 用定义求矩阵的秩，需要计算它的子式，计算量常常是较大的 .利用教材中的定理2.10计 算矩阵的秩是比较方便的 . 定理 2.10设 A 为nm矩阵，则r A()= k的充分必要条件为： 通过初等行变换能将A 化为具有 k 个非零行的阶梯阵 . 例如，阶梯阵A =000001040053162，B =200140531因为 A 的非零行有二行， 而 B 的非零行有三行， 所以 A 的秩等于 2，B 的秩等于 3，即r A()= 2，r B()= 3. 那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中 的定理 2.9
10、 已经说明这一点 . 定理 2.9矩阵经过初等行变换后，其秩不变. （证明见教材）定理 2.10 给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A 化成阶 梯阵，然后算出矩阵A 的秩. 例 6设矩阵A =01422502，B =2110460235230411求r A()，r B()，r AB(). 解因为A = 0142250226402502所以r A()= 2 因为B =2110460235230411 3 221104220317100411 () ()2 151600103200317100411()120000103200317100411所以r B()= 3 因为A
11、B = 014225022110460235230411=861016242048AB =861016242048()25646180242048所以r AB()= 2 由例 6 可知，乘积矩阵AB 的秩不大于两个相乘的矩阵A , B 的秩，即r AB()min() , ()r Ar B. 例 7设矩阵A =01211024221160310030求r A()和)(Ar. 解因为 A =01211024221160310030(,)10030024221160301211 () ()3 210030040001403001211)1()1( 00000040001003001211所以r A()=3 同理可得)(Ar=3 由例 7 可知，矩阵 A 与它的转置矩阵A的秩相等 . 可以证明例 6，例 7 的结论具有一般 性. 定理 2.11设 A 为 mn 矩阵，则(1) 0r Am n()min, ；(2) r A()= r AT()
