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1、第 四 章 向量组的线性 相关性,向量组的线性相关性,一、向量组及其线性组合,(1) 定义：,既有方向，又有大小的量称为向量。,1、关于三维空间向量知识的回顾,(2) 向量的几何表示：,可以自由移动的有向线段。,(3) 向量的坐标表示：,当三维空间选定坐标系以后，可用三维坐标表示向量。,即，将有向线段的始点平移到原点，则末端的坐标就表示该向量。,(4) 两个向量的共线(平行)：,若 = k ，则 与 共线(平行)。,(5) 三个向量的共面：,我们知道，两个向量 与 能确定一个平面，在这个平面中的任意向量都能表为 与 的线性组合。,设 为该平面中的任一向量，则 = k1 + k2 ,对于 = k
2、 与 = k1 + k2 这种现象，在本课程中称为某一个向量可以表为另一个向量组的线性组合。,2、平面中的向量,可理解为三维向量的一个特例，平面有时也称为 2 维空间。,3、n 维空间中的向量,可理解为是对三维空间的推广。,n 个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的数组称为 n 维向量，其中的第 i 个数 ai 称为该向量的第 i 个分量。,一般用小写的希腊字母 ， 等表示向量，而用带有下标的小写拉丁字母 ai, bj 等表示向量的分量。,对于n 维向量，根据需要可写为行向量或列向量。,4、 n 维向量的定义,行向量：, = (a1, a2, , an ),列向量：,本课程为讨论问题
3、方便，一般都写为列向量,行向量通常是通过列向量的转置得到，例如T,若干个同维数的列向量（同维数的行向量）所组成的集合称为向量组。,5、向量组,则 这 s 个 n 维向量 1, 2, , s 就构成了一个向量组。,所有的分量都是零的向量称为零向量，记作,7、负向量,n 维向量 的各分量都取相反数组成的向量，称为 的负向量，记作,6、零向量,如果 n 维向量 与 的对应分量全相等，即ai = bi 则称向量 与 相等，记作 = ,8、向量的相等,9、向量的运算,(1) 向量的加减运算,(2) 数与向量相乘,(1) + = + ,(2) ( + ) + = + ( + ),(3) + O = ,(4
4、) + (- ) = O,(5) k( + ) = k + k,(6) (k + t) = k + t,(7) (kt) = k(t),(8) 1 = ,10、向量的运算规律,11、向量的线性组合,则称向量 可以表为向量组 1, 2, , s 的线性组合。,例：,显然 = 1 - 2,例：,显然 不能由 线性表出。,证明：设 = k1 + k2 ,故：,定理1：(某向量被其它向量组线性表出的法则),向量 可以表为向量组 1, 2, ,s 的线性组合的充分必要条件是：矩阵 A = (1, 2, ,s) 的秩等于,考察是否有 x1 1 + x2 2 + + xss = ,方程组有解,矩阵 B =
5、(1, 2, ,s , ) 的秩。,解： 设 k11 + k22 + k33 = ,所以方程无解。,即： 不能由 1， 2， 3 线性表出。,证明：设1, 2, ,s 为任一向量组,例：证明零向量可由 n 维中的任意向量组线性表出。,因为齐次线性方程组必有零解。即任何情况下，,所以： = 0 1 + 0 2 + + 0 s,12、向量组的等价,如果向量组 I 和向量组 II 可以相互线性表出，则称向量组 I 和 II 等价，记作,1, 2, , s 1, 2, , t ,(1) 向量组等价的性质,反身性：,1, 2, , s 1, 2, , s,对称性：,若1, 2, , s 1, 2, ,
6、t ,则1, 2, , t 1, 2, , s,传递性：,若1, 2, , s 1, 2, , t ,1, 2 , , t 1, 2 , , s,则1, 2, , s 1, 2 , , s,(2) 向量组之间的表示方法,若 向量组 1, 2, , t 能被 1, 2, , s 线性表出。,或写为 AK = B,定理2：,向量组 B: 1, 2, , t 能由 A: 1, 2, , s 线性表出的充要条件是 R(A) = R(A, B),向量组 B: 1, 2, , t 与 A: 1, 2, , s 等价的充要条件是 R(A) = R(B) = R(A, B),推论：,或矩阵方程 AK = B
7、有解。,R(1, 2, , s) = R(1, 2, , s, 1, 2, , t),证明：设A = (1, 2)，B = (1, 2, 3),R(A) = R(B) = R(A, B),所以1,2与1,2, 3 等价,设向量组 B: 1, 2, , t 能由 A: 1, 2, , s 线性表出，则 R(B) R(A)。,定理3,证明：由矩阵秩的性质 (5) 得则 R(B) R(A, B)。,由定理2 得 R(A) = R(A, B)。,所以， R(B) R(A)。,习 题 四,1,2,二、向量组的线性相关性,1、向量的线性相关的定义,则称向量组 A 线性相关，否则称它线性无关。,例：,所以向
8、量组 与 线性相关。,与 线性相关说明这两个向量共线。,所以向量组 ， 线性相关。,所以1，2，3 线性相关。,1，2，3 线性相关说明1，2，3共面。,例：,只有当k1 = k2 = 0时，才成立,所以向量组 与 线性无关。,二、向量组的线性相关性,例：证明：包含零向量的向量组一定线性相关。,证明：设有向量组 1, 2, , s，并假设 1 = 0,即：存在一组数不全为零的 k1, k2, , ks R，使得,k11 + k22 + + kss = O,所以向量组 1, 2, , s 线性相关。,二、向量组的线性相关性,证明：由 = k11 + k22 + + kss 得,k11 + k22
9、 + + kss = O,即存在一组不全为零的数 k1, k2, , ks, -1 使,k11 + k22 + + kss = O,所以向量组 1, 2, , s, 一定线性相关。,二、向量组的线性相关性,定理4：,向量组 1, 2, , s ，线性相关的充要条件是它所构成的矩阵 A = ( 1, 2, , s ) 的秩小于向量个数 s ；向量组线性无关的充要条件是 R(A) = s 。,若 R(A) = s 。,仅有零解，线性无关。,若 R(A) s 。,有非零解，线性相关。,证明：设,二、向量组的线性相关性,试讨论向量1, 2, 3 及1, 2 的线性相关性。,解：对矩阵 ( 1, 2,
10、3 ) 施行初等行变换变成阶梯矩阵。,所以 1, 2 线性无关，1, 2, 3 线性相关。,二、向量组的线性相关性,例：,证明：设 k11 + k22 + + knn = O,故： k1 = k2 = = kn = 0,即： 1, 2, , n 线性无关。,二、向量组的线性相关性,例：,证明：,则：,设：,即：任意向量 均可表为 1, 2, , n 的线性组合。,二、向量组的线性相关性,解：设 k11 + k2 2 + + kss = O,则：k1(1+2)+k2(2+3)+ks(s+1) = O,则： (k1+ks)1+(k1+k2)2+(ks-1+ks)s = O,因为1, 2, , s
11、线性无关,二、向量组的线性相关性,所以 s 为偶数时有非零解。,即： s 为偶数时1, 2, s 线性相关，否则线性无关。,二、向量组的线性相关性,定理5：(1),如果向量组的一个部分线性相关，则整个向量组也线性相关。,即：存在一组数不全为零的 k1, k2, , kr R，使得,k11 + k22 + + krr = O,k11 + k22 + + krr + 0r+1, + +, 0s = O,即：存在一组数不全为零的 k1, k2, , kr, 0, 0 , 使得,k11 + k22 + + krr + 0r+1, + +, 0s = O,所以向量组 1, 2, , r , r+1, ,
12、 s线性相关。,推论：,如果整个向量组线性无关，则向量组的一个部分也线性无关。,证明：这是定理5：(1) 的逆否命题。,二、向量组的线性相关性,定理5：(2),m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时，一定线性相关。,证明：设 x1 1 + x2 2 + + xm m = O,因为 n m,所以 R(1, 2, , m) n m,齐次方程有非零解，所以 1, 2, , m 线性相关。,推论：任意 n 维的 n + 1 个向量一定线性相关。,二、向量组的线性相关性,定理5：(3),设向量组 A：1, 2, , m 线性无关，如果添加向量 后，向量组1, 2, , m, 线
13、性相关，则向量 必能由向量组 A 线性表示，且表示法是唯一的。,证明：设 x1 1 + x2 2 + + xm m + xm+1 = O,因为向量组1, 2, , m, 线性相关，,所以 x1, x2, , xm, xm+1 不全为零。,由此判断： xm+1必不为零。,否则，如果xm+1 = 0，,则：存在一组数不全为零的 x1, x2, , xm，使得,k11 + k22 + + kmm = O,与 1, 2, , m 线性无关矛盾。,又因为 R(A) = R(A, ) = 未知数的个数，故有唯一解。,因为 xm+1 不为零，,所以，表示法是唯一的。,即，向量 必能由向量组 A 线性表示。,
14、二、向量组的线性相关性,例：,设向量组 1, 2, 3 线性相关，向量组 2, 3, 4 线性无关，求证：,（1） 1 能由2, 3 线性表示。,（2）用反证法，假设4 能由1, 2, 3 线性表示。,（2） 4 不能由1, 2, 3 线性表示。,证明：因为2, 3, 4 线性无关，所以 2, 3 也线性无关。,又因为1, 2, 3 线性相关，,由定理5：(3)可知，1 能由2, 3 线性表示。,又因为1 能由2, 3 线性表示,所以，4 能由2, 3 线性表示,这与2, 3, 4 线性无关矛盾。,所以， 4 不能由1, 2, 3 线性表示。,二、向量组的线性相关性,考虑齐次方程 k11+ k22 + k33 + k44 = O,方程有非零解。,方程有非零解。,令 c = 1,1- 2 + 3 + 04 = O,1 = 2 - 3,2 = 1 + 3,3 = - 1 + 2,4 不能表为 1，2，3 的线性组合。,
