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1、现代控制理论总复习, 系统的状态空间描述 状态的时域分析 线性系统的能控性和能观性 稳定性分析 线性系统的综合(状态反馈和状态观测器),考试覆盖的内容 ：,系统的状态空间描述 1,主要内容: 1 状态变量及状态空间表达式， 2 状态空间标准型 3 系统的传递函数阵,特征值,特征向量 4 状态向量的线性变换( ),系统的状态空间描述 2,结构图、传递函数、微分方程,1 熟练掌握根据以下给定形式，建立状态空间表达式,具体要求,特别注意: 1 分子分母的阶次相等时: 2 多输入多输出系统 3 结构图(标出状态变量),由模拟图写状态方程,已知系统的微分方程,试列写出它们的状态空间表达式。,三种数学模型
2、的相互关系 ：,复域传递函数（阵） 微分方程(组） 时域,状态空间表达式,可任选N个状态变量.,结论：传递矩阵,对应确定输出输入关系.（唯一）,由状态空间模型到传递函数,9,10,12,系统极点是分母多项式 det(SI-A)的根，显然也是状态矩阵A的特征值。,显然det(SI-A)是方程的特征多项式,传递函数中的特征方程多项式和特征根在状态模型中能否体现呢？,由于状态变换仅对状态变量进行,保持系统的输入和输出变量及它们间的动静态关系不变。因此,有如下结论: 描述系统输入与输出间动态传递关系的传递函数阵对状态变换具有不变性。,13,14,15,G(s)=C(sI-A)-1B+D 由矩阵转置的性
3、质：(AB)T=BTAT,16,17,18,19,状态空间表达式的解 1,状态解,1 熟练掌握状态方程的求解（初始状态和输入作用下的解）, 2 熟练掌握状态转移阵的计算方法和性质。,状态空间表达式的解 2,状态转移阵的求法,2 拉氏变换的方法,1 A为对角型,可化为对角型(习题),22,23,当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状态转移矩阵所决定。 所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。 可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。,求矩阵指数函数：,24,关键问题：,25,方法2：拉氏变换法,方法4： 化 eAt 为A的有限项法- 凯莱哈密尔顿法,方法3：通过线性变
4、换法计算状态转移矩阵,方法1：直接计算法,26,27,矩阵指数函数eAt的计算可由上述定义式直接计算。 由于上述定义式是一个无穷级数,故在用此方法计算eAt时必须考虑级数收敛性条件和计算收敛速度问题。类似于标量指数函数eat,对所有有限的常数矩阵A和有限的时间t来说,矩阵指数函数eAt这个无穷级数表示收敛。,28,拉氏变换法：,求逆阵可采用一些数值计算方法，用计算机计算。求逆变换关键是高阶分解因式，部分分式展开很麻烦。,返回当前,29,30,例1 试求如齐次状态方程在初始状态x0下的解,解 (1) 首先求出矩阵指数函数eAt,其计算过程为,31,(3) 状态方程的解为,(2) 计算矩阵指数函数
5、eAt。,32,方法3：通过线性变换法计算状态转移矩阵,对角线矩阵。 当A为如下对角线矩阵: 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵则状态转移矩阵为式中，diag表示由括号内元素组成对角线矩阵。,33,块对角矩阵。当A为如下块对角矩阵: A=block-diagA1 A2 Al 其中Ai为mimi维的分块矩阵,则状态转移矩阵为式中，block-diag表示由括号内各方块矩阵组成块对角矩阵,34,约旦矩阵。当A为特征值为i的nn维约旦阵,35,36,举例：对角阵（块）、约旦阵（块）的状态转移矩阵求解,37,（1）解,（2）解,方法4： 化 eAt 为A的有限项法 凯哈定理,状态空间表达式
6、的解 3,状态转移阵的性质对附加题有帮助,性质1,状态空间表达式的解 4,状态转移阵的性质,性质2,性质3,性质4,线性系统的能控性和能观性,概念要求 能控(观)性; 对偶系统；对偶原理; 系统按能控（能观）性结构分解的形式和意义;传递函数和状态空间表达式的能控能观性的关系;系统的实现及最小实现；离散系统的能控能观性。熟练掌握能控性和能观性的判别方法能控（观）性判别阵秩方法和约旦型时的判别方法 熟练掌握将系统化为能控标准型和能观标准型方法,思考：试判断如下系统的状态能控性,将上述矩阵的第3行加到第2行中去,则可得矩阵,显然其秩为2。而系统的状态变量维数n=3,所以状态不完全能控。,解 由状态能
7、控性的代数判据有,推论若A为约旦型(对角线规范形视为其特例)，则系统能控的充要条件是 （1）B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零。 （2）B中与每个约旦块最后一行相对应的各行，没有一行的元素全为零。,例 判断下列系统的能控性,不能控,能控,不能控,能控,(3),46,例 试判断如下系统的状态能观性,解 由状态能观性的代数判据有,而系统的状态变量的维数n=2,所以系统状态不完全能观。,应用定理解答,下列的系统是完全能观测的吗,48,注意：,一个能控的连续状态空间模型，离散化后，其对应的离散时间状态空间模型不一定仍然保持能控!,49,6、最小实现（1）已知传递函数阵G(s)，找一个系
8、统(A，B，C，D)满足关系C(sI A)1B+D = G(s) 则称(A，B，C，D)为G(s)的一个实现。（2）若传递函数阵G(s)的各个元素均为s的有理分式，且分子分母多项式的系数为实常数时，则G(s)一定是可实现的，且其可能的实现有无穷多个。（3）在传递函数阵G(s)的所有可能实现中，状态空间维数最小的实现称为最小实现，也叫不可约实现。,50,（4）若传递函数阵G(s)是可实现的，则其最小实现有无穷多个，而且相互间彼此代数等价。（5）传递函数阵G(s)的一个实现(A，B，C，D)为最小实现的充要条件是不但能控而且能观测。,稳定性 1,李氏函数: 二次型标量函数 xTPx,函数的正定和矩
9、阵的正定性,概念要求 什么是李亚普诺夫意义下的稳定？经典控制中的稳定与李亚普诺夫意义下的稳定是否相同？什么是渐近稳定？什么是大范围稳定？ 熟练掌握李亚普诺夫第二法判别稳定的方法,稳定性 2,线性系统中稳定性判断的李亚普诺夫方程,一、李雅普诺夫关于稳定性的四个定义 稳定； 渐近稳定； 大范围渐近稳定； 不稳定。,53,x,54,这四个定义全面地概括了古典和现代理论中对系统运动稳定性的描述，使稳定性分析有了一种严格的和统一的理论依据。它们都是在系统的外部输入为零时 ，即系统的自由运动以及在系统的平衡状态的基础上定义的。要深入理解这四个定义在状态空间中的几何意义，这对于理解这四个定义本身是很有帮助的
10、。,55,二、李雅普诺夫第二法的五个基本定理1要熟练掌握这五个基本定理的内容。这五个基本定理是：渐近稳定的判别定理4.2.1和定理4.2.2；不稳定的判别定理4.2.3 。,2要搞清这五个定理之间的区别。其区别主要集中在对 的定号性判别上，可以归纳为以下结论： 给定系统 构造v函数 充分条件,56,57,3可以把定理中的李雅普诺夫函数v(x，t)看作是系统的能量函数，并结合从初始状态x0出发的系统自由运动的状态轨线的运动情况，则更容易理解定理的内容和实质。4构造一个满足定理要求的李雅普诺夫函数，是李氏第二法的关键。李氏函数具有以下几个突出的性质： 李雅普诺夫函数是一个标量函数。 李雅普诺夫函数
11、是一个正定函数。 对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。,58,5李氏第二法的这五个基本定理对线性和非线性系统、定常和时变系统都是适用的，但都是充分条件，而不是充分必要条件。因此若能找到满足要求的李氏函数，则可以得到系统稳定性的确切结论。否则，不能做出关于稳定性的任何结论。,59,三、利用李氏第二法分析线性系统的稳定性对于线性系统，利用李氏第二法分析稳定性都有统一的规律可循，要求熟练掌握。,1线性定常连续系统。李雅普诺夫函数可用简单的二次型函数来构成，即 vx(t)= xT(t)Px(t)ATP PA = Q 若解得的P阵是正定的，则系统在xe = 0处是渐近稳定的。,60,2线性定常
12、离散系统，李氏函数也是简单的二次型函数，即 vx(k)= xT(k)Px(k)GTPG P = Q 若解得的P阵是正定的，则系统在xe = 0处是渐近稳定的。,系统综合1,本章主要内容：熟练掌握状态反馈极点配置和状态观测器的设计方法,概念要求,状态反馈方法任意配置极点的条件和算法 若系统不稳定是否一定能够通过状态反馈使系统稳定？ 什么是状态观测器？任意配置观测器极点的的条件和算法,采用状态反馈使系统稳定的充要条件是其不能控子空间为渐近稳定.,系统综合 2,重点计算 极点配置设计;观测器设计;带观测器的极点配置分离特性,5. 1 状态反馈,状态反馈设原系统：,1/S,u,y,-,+,+,+,+,
13、x,状态反馈控制律：其中： 输入-状态反馈阵 状态反馈系统：若=0， 特征方程,5.3 单输入/多输出系统的极点配置,设原系统：,1/S,u,-,+,+,y,x,v,引入状态反馈：,-闭环状态阵,闭环特征多项式,定理：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是：原系统能控,求解状态反馈阵的步骤： 验证原系统的能控性 闭环系统特征方程：希望的闭环系统的特征方程：计算,原系统是能控标准型：原系统不是能控型，比较 与 写出闭环系统状态方程：,例1：要求通过状态反馈将闭环极点配置在 解： 能控标准型 能控设,1/s,1/s,1/s,4,1,2,3,4,U,例2:要求通过状态反馈将闭环极点设置在 解：,原系统能控,(2),设,(3),(4) 令,(5),1/s,1/s,1/s,2,3,3,-,-,-,+,+,y,v,
