《概率之1-4-2条件概率(专衔本)--全概率公式及贝叶斯公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率之1-4-2条件概率(专衔本)--全概率公式及贝叶斯公式（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、条件概率,二、乘法定理,三、全概率公式,五、小结,第四节 条件概率,四、贝叶斯公式,例1 有三个箱子,分别编号为1,2,3. 其中1号箱装有1 个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3 红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球, 求取得红球的概率.,解：记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3; B =取得红球,即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B两两互斥,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),运用加法公式得,1,2,3,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全
2、概率公式.,对求和中的每一项 运用乘法公式得,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得：P(B)=8/15 .,1. 样本空间的划分,三、全概率公式,注意：可推广到可列无穷划分,则对任一事件B，有,2. 全概率公式,设 为随机试验的样本空间，A1,A2,An 是两两互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n,全概率公式,全概率公式主要用于计算比较复杂 事件的概率, 它们实质上是加法公式和 乘法公式的综合运用.,综合运用,加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥,乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0,说明 全概率公式的主要用处在于
3、它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,图示,化整为零 各个击破,全概率公式的来由, 不难由上看出:,“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.,某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是,每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.,P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai),全概率公式.,我们还可以从另一个角度去理解,例2 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 25% ，二厂生产的占 35% ，三厂生产的占 40%，又知这三
4、个厂的产品次品率分别为5% ， 4%，2%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事件 B 为“任取一件为次品”,解,由全概率公式得,25%,35%,40%,5%,4%,2%,注：使用全概率公式关键是找互不相容的完备事件组，即划分。,例3 10个人一次抽签，10张签中有五张是幸运 签，另五张是空签。试求第1人，第2人以及第10 人抽中幸运签的概率?,解：,令Ai=第i个人抽到幸运签，i=1,2, ,10 .,例4 盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的.第一次 比赛时，从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中，第 二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都 是新球的概率.,解 设B表示“
5、第二次取出的球都是新球”.,由于第二次取出的球都是新球的概率与第一 次比赛时取出的3个球的新球个数有关，,设 Ai 表示“第一次取了i个新球” (i=0,1,2,3),显然A0，A1，A3两两互不相容，且P(Ai)0, A0+A1+A3=，由全概率公式 ：,因此,练习： 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率 为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混 放,并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍， 现任取一零件，问是合格品的概率为多少？,解 令B=取到的零件为合格品，Ai=零件为第i台机床 的产品, i=1, 2. 此时, 全部的零件构成样本空间，A1, A2构成的一个划分。由
6、全概率公式得:,例1 有三个箱子,分别编号为1,2,3. 其中1号箱装有1 个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3 红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球, 求取得红球的概率.,问题改为：某人从任一箱中任意摸出一球，发现 是红球,求该球是取自1号箱的概率.,实际中还有下面一类问题，是 “已知结果求原因”,“该球取自哪号箱的可能性最大?”,或者问:,“该球取自哪号箱的可能性最大?”,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,接下来我们介绍为解决
7、这类问题而引出的,贝叶斯公式,有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .,1,1红4白,某人从任一箱中任意摸出 一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.,记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球,求P(A1|B),运用全概率公式 计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,四、贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在 观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每 个原因的概率.,贝叶斯公式
8、：,在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原 因的验前概率和验后概率.,P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息(不知道 事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可 能性大小的认识，即实验前的假设概率；,当有了新的信息(知道B发生)，应当重新估计对诸事件Ai的概率，即计算事件Ai在事件B发生的 条件下的条件概率P(Ai | B) .,在不了解案情细节(事件B)之 前，侦破人员根据过去的前 科，对他们作案的可能性有 一个估计，设为,比如原来认为作案可能性较小的某甲，现 在变成了重点嫌疑犯.,例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有 甲、乙、丙三人.,甲,乙,丙,P(A1),P(
9、A2),P(A3),但在知道案情细节后，这个估计 就有了变化.,P(A1 | B),知道B 发生后,P(A2 | B),P(A3 | B),例2 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 25% ，二厂生产的占 35% ，三厂生产的占 40%，又知这三个厂的产品次品率分别为5% ， 4%，2%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,问题改为：现从这批产品中任取一件是次品， 问这件次品是哪一个厂家生产的概率最大?,例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 25% ，二厂生产的占 35% ，三厂生产的占 40%，又知这三个厂的产品次品率分别为5% ， 4%，2%，现从这批产品中
10、任取一件是次品，问这件次品是哪一个厂家生产的概率最大?,设事件 B 为“任取一件为次品”,解,在使用Bayes公式时，往往先利用全概率公式。,解,例7,由贝叶斯公式得所求概率为,上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率(验前概率).,而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做验后概率.,先验概率与后验概率,例8 某一地区患有癌症的人占0.005，临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症患者具有如下效果：对癌症患者进行试验，结果呈阳性反应的概率为0.95；正常人对这种试验反应呈阳性的概率为0.04。现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则
11、 表示“抽查的人不患癌症”.,已知 P(A)=0.005, P( )=0.995,P(B|A)=0.95, P(B| )=0.04,解:,设 A=抽查的人患有癌症，B=试验结果是阳性，,问题归结为求P(A|B).,现在来分析一下结果的意义：,由贝叶斯公式，可得：,代入数据计算得:P(AB)= 0.1066 .,2. 检出阳性是否一定患有癌症?,这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？,如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率P(A)=0.005 (验前概率),患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(AB)= 0.1066 .,说明这种试
12、验对于诊断一个人是否患有癌症 有意义.,从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.,这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,2. 检出阳性是否一定患有癌症?,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为：P(AB)=0.1066,即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.,这一讲我们介绍了,全概率公式,贝叶斯公式,它们是加法公式和乘法公式的综合运用.,值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯 公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫 作“贝叶斯统计”. 可见贝叶斯公式的影响 .,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,五、小结,乘法定理,贝叶斯资料,Thomas Bayes,Born: 1702 in London, England Died: 17 Apr. 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England,
