系统的稳定性课件

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1、第六章 系统的稳定性,系统能正常工作的首要条件,系统的稳定性与稳定条件 Routh（劳斯）稳定判据 Nyquist 稳定判据 Bode稳定判据 系统的相对稳定性,系统不稳定现象,例：液压位置随动系统,原理： 外力阀芯初始位移Xi(0)阀口2、4打开 活塞右移阀口关闭（回复平衡位置） （惯性）活塞继续右移阀口1、3开启活塞左移 平衡位置（惯性）活塞继续左移阀口2、4开启, 随动：活塞跟随阀芯运动 惯性：引起振荡 振荡结果：, 减幅振荡 （收敛，稳定）, 等幅振荡 （临界稳定）, 增幅振荡 （发散，不稳定）,一、系统的稳定性与稳定条件,一、系统的稳定性与稳定条件,结论： 系统是否稳定，取决于系统本

2、身（结构，参数），与输入无关 不稳定现象的存在是由于反馈作用 稳定性是指自由响应的收敛性,定义：,收敛（回复平衡位置）,发散（偏离越来越大）,系统稳定条件,线性定常系统：,si:系统的特征根,系统稳定条件,当系统所有的特征根si（i=1，2，n)均具有负实部（位于s平面的左半平面）,若有任一sk具有正实部（位于s平面的右半平面）,系统稳定条件,若有特征根sk =j（位于s平面的虚轴上），其余极点位于s平面的左半平面,若有特征根sk =0（位于s平面的原点），其余极点位于s平面的左半平面,简谐运动,系统稳定条件,结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特征根。,线性定常系统稳定的充要条件：

3、若系统的全部特征根（传递函数的全部极点）均具有负实部（位于s平面的左半平面），则系统稳定。,如何判别？,求出闭环极点？,实验？,高阶难求 不必要,如果不稳定，可能导致严重后果,思路：,特征方程根的分布（避免求解） 开环传递函数闭环系统的稳定性 （开环极点易知，闭环极点难求）,二、Routh （劳斯）稳定判据,代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）,系统稳定的必要条件,设系统特征方程为：,因为,比较系数：,系统稳定的必要条件： 各系数同号且不为零,二、Routh （劳斯）稳定判据,系统稳定的充要条件,特征方程：,Routh 表：,其中：,Routh 判据：Routh表中第一列各元符号改变的次

4、数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。因此，系统稳定的充要条件是Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为零。,Routh 表：,第一列各元符号改变次数为2，因此 系统不稳定 系统有两个具有正实部的特征根,例2 已知=0.2及n=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。,D(s)=s3+34.6s2+7500s+7500K=0,由系统稳定的充要条件，有 (1) 7500K0，亦即K0。显然，这就是由必要条件所得的结果。 (2) ，亦即K34.6。 故能使系统稳定的参数K的取值范围为0K0, a10, a00, 三阶系统(n=3)稳定的充要条件为： a30, a20, a00, a1a

5、2a0a30,特别：,三、Nyquist 稳定判据,几何判据（利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性）,幅角原理,Ls：s平面上一封闭曲线 （不经过F(s)的奇点）,设有复变函数：,幅角原理：按顺时针方向沿Ls变化一周时，F(s)将绕原点顺时针旋转N周，即包围原点N次。 N=Z-P Z：Ls内的F(s)的零点数 P：Ls内的F(s)的极点数,三、Nyquist 稳定判据,开、闭环零极点与F(s),取 F(s)=1G(s)H(s)=1+Gk(s),三、Nyquist 稳定判据,s平面上的 Nyquist轨迹的选取,F(s)与GH平面上的Nyquist轨迹,F(s)=1+Gk(s), s 沿虚轴L1

6、：s=j，（从到+）；LGH：G(j )H(j ) s 沿L2：s0； LGH：, LF包围原点的圈数 = LGH包围（1，j0）点的圈数,N=Z-P,三、Nyquist 稳定判据,当由到+时，若GH平面上的开环频率特性G(j)H(j)逆时针方向包围（1，j0）点P圈，则闭环系统稳定。（P为G(s)H(s)在s平面的右半平面的极点数） 对于开环稳定的系统，有P=0，此时闭环系统稳定的充要条件是，系统的开环频率特性G(j)H(j)不包围（-1，j0）点。,确定P 作G(j)H(j)的Nyquist图 运用判据,判据,例1,三、Nyquist 稳定判据,三、Nyquist 稳定判据,例2,开环不稳

7、定， 闭环稳定,P=1,三、Nyquist 稳定判据,开环含有积分环节的Nyquist轨迹,当s沿无穷小半圆逆时针方向移动时，有,映射到GH平面上的Nyquist轨迹为：,当s沿小半圆从=0变化到=0时 角从/2经0变化到/2 GH平面上的Nyquist轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从 经0转到,P=0,三、Nyquist 稳定判据,开环含有积分环节的Nyquist轨迹,例3,例4,稳定,不稳定,P=1,三、Nyquist 稳定判据,应用举例,例1,不论K取任何正值，系统总是稳定的,开环为最小相位系统时，只有在三阶或三阶以上，其闭环系统才有可能不稳定。,P=0,P=0,例2,三、Nyquist

8、 稳定判据,应用举例,例3,P=0,若G(j)H(j)如图中曲线所示，包围点（1，j0），则系统不稳定。 减小K值，使G(j)H(j)减小，曲线有可能因模减小，相位不变，而不包围(1，j0），因而系统趋于稳定。 若K不变，亦可增加导前环节的时间常数T4、T5使相位减小，曲线变成曲线。由于曲线不包围点(1，j0),故系统稳定。,三、Nyquist 稳定判据,应用举例,P=0,例4,当导前环节作用小，即当T4小时，开环Nyquist轨迹为曲线，它包围点(1，j0），闭环系统不稳定； 当导前环节作用大，即当T4大时，开环Nyquist轨迹为曲线，它不包围点(1，j0），闭环系统稳定。,三、Nyqui

9、st 稳定判据,具有延时环节的系统的稳定性,GK(s)G1(s)es,GK(j)G1(j)ej GK(j)=G1(j) GK(j)=G1(j),延时环节不改变原系统的幅频特性，而仅仅使相频特性发生变化。,例,1+G1(s)es0 ，G1(j)1，G1(j) 解得：0.786， 1.15。所以，1.15时，闭环系统不稳定。,四、Bode 稳定判据（对数判据）,Nyquist图与Bode图的对应关系,几何判据（Nyquist 判据的引申）,Nyquist图上的单位圆 Bode图上的0dB线， 即对数幅频特性图的横轴单位圆之外 对数幅频特性图的0dB线之上。 (2) Nyquist图上的负实轴 Bo

10、de图上的180线， 即对数相频特性图的横轴。,c：幅值穿越频率 （剪切频率）,g：相位穿越频率,四、Bode 稳定判据（对数判据）,穿越的概念,穿越： 开环Nyquist轨迹在(1，j0)点以左穿过负实轴 （对数相频特性穿过180线） 负穿越：开环Nyquist轨迹自下而上的穿越（随的增加） （对数相频特性自上而下穿过180线） 正穿越：开环Nyquist轨迹自上而下的穿越（随的增加） （对数相频特性自下而上穿过180线）,半次穿越：起始于180的穿越,四、Bode 稳定判据（对数判据）,正穿越一次，Nyquist轨迹逆时针包围(1，j0)点一圈 负穿越一次，Nyquist轨迹顺时针包围(1

11、，j0)点一圈,开环Nyquist轨迹逆时针包围(1，j0)点的次数 正穿越和负穿越的次数之差。,判据：闭环系统稳定的充要条件是，在Bode图上，当由0变到时，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，开环对数相频特性对180线的正穿越与负穿越次数之差为P2。,特别：P0时，若cg，闭环系统稳定； cg，闭环系统不稳定； c =g， 闭环系统临界稳定,五、系统的相对稳定性,系统的相对稳定性： GK(j)靠近 (1, j0)的程度 定量指标： 相位裕度 幅值裕度K,五、系统的相对稳定性,相位裕度,在=c时，GK(j)的相频特性(c）距180线的相位差 即 (c）（ 180） 180(c） 显然， 对于稳定系统 0 对数相频特性图横轴以上 极坐标图负实轴以下， 正相位裕度，有正的稳定性储备 对于不稳定系统 0 对数相频特性图横轴以下 极坐标图负实轴以上， 负相位裕度，有负的稳定性储备,五、系统的相对稳定性,幅值裕度（增益裕度）Kg,在=g时，开环幅频特性GK(jg)的倒数,显然， 对于稳定系统 Kg 1 ， Kg(dB)0 Kg(dB)在0dB线以下 正幅值裕度，有正的稳定性储备 对于不稳定系统 Kg 1 ， Kg(dB)0 Kg(dB)在0dB线以上 负幅值裕度，有负的稳定性储备,或以分贝值表示,五、系统的相对稳定性,例1,例2,