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1、3-6 立体与立体表面相交,平面体与平面体,平面体与曲面体,曲面体与曲面体,多形体相交,两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。本章主要讨论立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法。,1.相贯的形式,2.相贯线的主要性质, 相贯线作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。, 共有性, 表面性,相贯线位于两立体的表面上（外表面或内表面）。,相贯线是两立体表面的共有线。, 封闭性,相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。, 空间性,相贯线一般是空间曲线，有时也为平面曲线或直线,一、 平面体与平面体相交,1.相贯线的性质,两平面体的交线在一般情况下是折线。这条折线
2、可以分成两个或更多部分，并且都是直线组成的空间封闭线框。,1.求解方法, 棱线法求各棱线与棱面的交点, 棱面法求各棱面的交线,两平面体的交线的各个顶点是一个平面体的棱线与另一平面体的交点，交线的各个线段是两平面体的各棱面的交线。,例一 求四棱柱与三棱锥的交线,投影分析 从正面和侧面投影看出，四棱柱的四条棱线都穿过棱锥，所以两立体是全贯的。其交线是两条封闭折线。前面一条是空间折线，是四棱柱与三棱锥的前面两个棱面的交线；后面一条是平面折线，是四棱柱与三棱锥后面棱面的交线。,作图步骤 1. 先求四棱柱的两个水平棱面对三棱锥各棱面的交线。通过四棱柱上下两个棱面作水平面P和Q，P和Q与三棱锥各个棱面的交
3、线分别与三棱锥的底面三角形的三条边平行。,作图步骤 2. 求四棱柱左右两个侧面与三棱锥的交线。可以由四棱柱左右侧面投影的积聚性和步骤1中求出的交线共同确定。,作图步骤 3. 连线。注意判别交线的可见性，在P面内的交线可见，在Q面内的交线不可见。,PV,QV,擦除多余作图线后的结果,1.相贯线的性质,相贯线是由若干段平面曲线（或直线）所组成的封闭曲线，每一段平面曲线是平面体的棱面与曲面体表面的截交线。平面曲线的交点就是平面体的棱线与曲面体的交点。,2.作图方法, 分析各棱面与曲面的相对位置，从而确定交线的形状。, 求各棱面与曲面的截交线及棱线与曲面的交点。, 连接各段交线，并判断可见性。,求交线
4、的实质是求各棱面与曲面的截交线及棱线与曲面的交点。,二、平面体与曲面体相交,例二 求三棱柱与半圆球的交线,投影分析 三棱柱与半球的交线由三条截交线组成。它们的空间形状都是圆弧。由投影可知，三棱柱的最后面的棱面是正平面，前面两个棱面是与正立面倾斜的铅垂面。,作图步骤 . 求特殊位置点。 求三棱柱各条棱线上的点。 求交线正面投影上虚实的分界点。,作图方法 辅助平面法。用一个正平面来切此模型，则切三棱柱前面的两个棱面分别产生两条交线，切球面的交线为圆弧。棱面上的交线与圆弧的交点就是三棱柱与球面的交线上的点。,作图步骤 . 求一般位置点。,作图步骤 . 连线。注意轮廓线的可见性。,RH,SH,UH,T
5、H,擦除多余作图线后的结果,1. 相贯线的性质,相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表面的共有线。,2.作图方法, 利用投影的积聚性直接找点。, 辅助平面法。, 先找特殊点。, 作图过程, 补充一般位置点。,三、曲面体与曲面体相交,例三求两圆柱垂直相交的交线。,投影分析：小圆柱轴线垂直于H面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于W面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。,相贯线的求投影：,采用表面取点法，利用积聚性。, 找特殊点, 找一般位置点, 光滑连接,（一） 表面取点法,擦除多余作图线后的结果,讨论：当两圆柱正交时，随着直径变化
6、，相贯线的变化趋势？,当两圆柱正交时，交线的投影由小圆柱内向大圆柱内弯曲。随着小圆柱直径增大，大圆柱直径不变，交线弯曲程度越大。当两个圆柱直径相等时，交线的投影为直线。, 外形交线, 两外表面相贯, 一内表面和一外表面相贯, 内形交线, 两内表面相贯,例四补全主视图。,投影分析 这是一个内外形都有圆柱面相交的问题。相交的圆柱面都是垂直相交，即柱面正交。这与例题三相似。,作图方法 采用表面取点法，利用积聚性。,圆柱面正交，不管是内形还是外形，其作图方法是表面取点，利用投影的积聚性。作图步骤是先求特殊位置点，再求一般位置点，最后连线，同时判别可见性。,小 结,擦除多余作图线后的结果,作图方法辅助平
7、面法。取一正平面 为辅助平面，此辅助平面切此 模型的交线都是圆柱的素线。 这些素线的交点即为相贯线上 的点。,例五求两偏交圆柱的交线。,投影分析两圆柱面分别垂直于水平 面和侧面，所以交线水平投影 积聚在小圆柱的水平投影上， 交线的侧面积聚在大圆柱的侧 面投影圆弧上（即在小圆柱轮 廓线之间的一段圆弧）。,例五求两偏交圆柱的交线。,作图步骤,1. 求特殊位置点,RH,RW,TH,TW,QH,QW,SH,SW,2. 求一般位置点,PH,PW,3. 连线。注意判别可见性。,擦除多余作图线后的结果,I,I,6:1,投影分析,相贯线为一光滑的封闭的空间曲线。其中圆柱面的侧面投影有积聚性，因此，相贯线的侧面
8、投影在柱面的侧面投影上。相贯线的正面投影、水平投影应分别求出。,作图方法 辅助平面法,例六求圆柱与圆锥的交线。,（二） 辅助平面法,辅助平面法,根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。,作图方法,假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。,辅助平面的选择原则,使辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例如直线或圆。,一般选择投影面平行面作为辅助平面,例六求圆柱与圆锥的交线。,解题步骤：, 求特殊点, 用辅助平面法求中间点, 光滑连接各点,擦除多余的作图线后
9、的结果,例七求两斜交圆柱的交线。,投影分析 大圆柱是直立的，小圆柱是倾斜的，直立圆柱的水平投影具有积聚性，则交线的水平投影为两圆柱投影的公共部分。小圆柱的轴线是正平线，则小圆柱的端面圆的正面投影积聚为直线。,作图方法 辅助平面法。用正平面切此模型，其交线分别为四条直线，它们的交点是相贯线上的点。,作图步骤,1. 求特殊位置点。,2. 用辅助平面法求一般位置点。,PH,PW,QH,QW,3. 用光滑曲线连线，并判别可见性。,擦除多余作图线后的结果,例八求作两曲面体的交线。,投影分析 轴线为铅垂线的直立回转体的水平投影有积聚性。倾斜圆柱的轴线为正平线，其正面投影有积聚性。,例八求作两曲面体的交线。
10、,作图步骤,1. 求特殊位置点。 ,2. 求一般位置点。以两回转体轴线的交点为球心作一个辅助球面。 ,3. 连线，并判别可见性。,擦除多余的作图线后的结果,（三）相贯线的特殊情况,1. 相贯线为直线：,（1）两圆柱轴线平行相交，相贯线为平行两直线。,（2）两圆锥共锥顶相交，相贯线为相交两直线。,2. 相贯线为圆：,回转体共轴线相交，相贯线为圆。,3. 相贯线为椭圆,（1）两等直径圆柱正交或斜交，相贯线为两个椭圆。,（2）圆柱与圆锥、圆锥与圆锥相交，若它们能公切一个球面，则相贯线为两个椭圆。,（四）组合相贯线,例九 补画主视图,形体分析分析组成模型的基本几何形体及其相互位置关系，判断哪些表面之间
11、有交线，并分析交线趋势。,1 小圆柱,2 大圆柱,3 圆柱和与之相切的平面立体,作图步骤,1. 画出基本体的投影,2. 求大圆柱与形体3的交线,3. 求形体3与小圆柱的交线,4. 求大小两圆柱的交线,擦除多余的作图线后的结果,例十 补全图中所缺的交线,形体分析,该模型由两个圆柱和一个圆台组成。其中大圆柱与圆台同轴，小圆柱与圆台的轴线垂直。,圆台,圆柱,圆柱,作图步骤,1. 求小圆柱与圆台的交线；,PV,PW,2.求两圆柱的交线。,擦除多余的作图线后的结果,（五） 二次曲面的交线性质,定理1 在一般情况下，两个二次曲面的交线是四次空间曲线。但在特殊情况下可分解成两条二次曲线（4=2+2），一条直
12、线和一条三次曲线（4=1+3），或四条(4=1+1+1+1)。,直径相等的两圆柱,圆柱与椭圆柱,定理2 若两个二次曲面具有公共的对称平面，则它们的交线在该平面上的正投影是二次曲线。,（1）当两轴线相交的二次曲面中有一个是球面时，则它们的交线在公共对称平面上的投影是抛物线。,抛物线,（2）当两轴线相交的二次曲面中有一个是扁椭球面时，则它们的交线在公共对称平面上的投影是椭圆。,椭圆,（3）当两轴线相交的二次曲面中不含球面或扁椭球面时，则它们的交线在公共对称平面上的投影是双曲线。,双曲线,定理3 若两个二次曲面有两个切点，则它们的交线分解为通过切点的两条二次曲线。,二次曲线,定理4 若两个二次曲面切于第三个二次曲面，则它们的交线两条平面曲线。,在求两曲面体的交线时，若遇到这种情况，可以将交线的投影直接画出，不必找点连线。,
