《高数学习课件之函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数学习课件之函数（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,高等数学,数学是科学的大门和钥匙., 培根,主讲 罗宝华,(Advanced Mathematics),D,2,办公室地址： 基础楼（理学院）201 （数学系办公室） 电话：62338357 E-mail: ,3,给新同学的两点建议,一、大学平时考试少，尽快摸索适宜的学习方法,二、新的起跑线，新的奋斗目标,4,高等数学课堂教学的特点,（1）课堂大,（2）时间长,（3）进度快,5,高等数学课程考核办法,期评成绩=期末考试成绩（总分100分） 80%+平时成绩（总分20分）平时成绩评定包括：出勤、作业、上课表现、章节小测验等等；其中：迟到、旷课、缺交作业、抄袭作业都将影响平时成绩,6,作业要求
2、,用数学作业纸（不用作业本）书写 用黑蓝墨水笔或签字笔书写，疑难地方用红笔标出（如下划线、问号等） 不会做的要标明，或留出空白 诚实守信，独立完成（可讨论）,原则上每周作业上交一次,7,一元函数的定义,建立函数关系,函数的表示法,第一章 函 数,基本初等函数,分段函数与复合函数、初等函数,8,定义,设非空集合,的函数,简记为,自变量,因变量,定义域(domain),按对应法则f ,总有唯一,确定的值y与之对应,确立了一个函数关系,函数值,全体组成的集合称为,range,函数f 的值域.,1.1 函数的定义,9,对每一个时间,自变量为年度t,定义域,本息和,存款人会从银行得到,把本金10000元
3、存入银行,年利率为2.52%,存期为t年，,本金和利息.,例如,值域,是所有可能的年数，,是与所有年数相对应的本息和的金额.,10,函数的定义域一般有两种:,(1),自变量所能取的使算式有意义的一切实数组成,由问题的实际意义所确定.,(2),在这里，规定定义域和值域都属于实数集.,实际问题(几何或物理问题)中：,在纯数学的研究中：,的集合,这种定义域称为,自然定义域.,11,例1. 写出下列函数的定义域：,解：,或,（2）,或,(1),（1）,定义域是,12,定义1.2 邻域(neighbourhood),是指以,邻域,记作,几何表示,其中 称为邻域的半径.,13,去心(空心),即,14,1.
4、2 函数的表示方法,表示函数主要有三种方法：,解析式法，图像法，表格法.,解析式法,图像法,表格法,便于进行理论分析和计算;,形象直观,富有启发性,便于记忆;,便于查找函数值, 但它常常是不完全的.,15,数列是一种特别的函数，它的自变量一般是,称为整变量函数，,或,如,或,或,正整数1，2，3，,例2,记作,整变量函数,16,所确定的函数,称为,隐函数(implicit function).,所表示的函数称为,显函数.,隐函数的,显化.,由,隐函数和显函数,例3,如,等等,上两式分别显化为函数,和,17,但并非所有的,隐函数,但无法将,表达成,的显式,表达式.,都可显化.,如方程,确定一个定
5、义在,上的函数,18,反函数(inverse function),习惯上,若满足,反函数的本意是把自变量和因变量置换过来！,如,反函数,直接函数,通常将此反函数写作,一般地,亦是,的函数，,记为,本义反函数,19,直接函数与反函数的图形,直线,对称.,关于,20,(减),而且反函数也具有,在什么条件下,?,一个函数存在反函数,反函数存在定理,若直接函数,在D上单调递增,求反函数的步骤,(1),(2),即得所求函数的反函数,则它必存在反函数,同样的单调性.,21,如,其反函数为,指数函数,定义域为,值域为,写成,并称为对数函数.,的反函数.,解出,所求反函数是,解：由,求,例4,22,一个温度对
6、应，,有没有反函数,例5,考察一个小环境，,在一天里的每个时刻，都有,所以温度是时间的函数，,记作,?,问：,并不是所有函数都存在反函数.,23,横轴表示某种植物栽后的天数，,心电图,表现心率模式,图像法表示函数,植物生长的例子,纵轴表示植株高度（单位cm）.,例6,例7,24,生长增速阶段,生长减速阶段,拐点,25,某种植物每10天测量的植株的高度（单位cm）,下一栏是因变量取值.,表格法表示函数,在表格里，,通常上一栏是自变量取值，,变量取值是离散而不是连续的，,重要特点,信息,反映是局部的而不是整体的.,26,有时希望知道植株高度如何随时间连续变化,就需要利用离散数据建立一个公式,根据实
7、验数据，寻求经验公式，是进行科学研究的,一个重要方法，也是我们学习微积分的一个重要目的.,公式计算两次,然后利用,测量之间任意时间植株的高度.,这种利用离散数据建立的公式,称为经验,公式.,27,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,x为有理函数,x为无理函数,有理数点,无理数点,用图形表示的函数,表示的；,不是都可以用解析式,反之亦然.,28,1) 幂函数(power function),定义域与 的取值有关.,1.3 基本初等函数,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数,29,一次函数,(线性函数),多项式函数,30,之商,称为函数,设函数,两个增量,函数的增量、差商,自变量的
8、增量,相应的函数的增量,自变量从,变化到,增量可正可负，,差商刻画的是平均变化率,31,假设运动路程,则在时间,到,处时间的增量,相应路程的增量,差商,表示物体在,到,平均速度.,是时间的函数,平均速度是差商,例8,一个沿直线运动的物体，,这段时间运动的,32,例9. 线性函数的差商为常数,对线性函数,增量,则差商,一次函数的差商为常数,其它类型函数如,没有此性质!,33,2) 指数函数(exponential function),定义域为,值域为,常用形式为,34,例10.,第三年到期本利为,=10775.21（元）.,计算到期的本息是多少？,解：,复利模型,35,年利率2.52%不变,三年
9、的本利：,如果每月结算一次，,月利率 2.52%12，,一年里将有12期结算，,按复利模型计算，,（元）.,若每日（一年按360日）结算，,三年到期本利和：,（元）,一年的本利：,例11.,连续复利模型,36,若一年的结算期为n时，,当每年的结算期n越来越大时，,变化趋势如何？,三年的本利,的计算归结为计算,三年的本利和为,37,n=360,n=100,000,n=100,000,000,n=12,且极限值为,这是一个无理数，记为e ，,也越来越大，,38,10785.31.,这种连续结算的方式称为连续复利模型.,以 为底，指数是年利率2.52%和年数3的乘积.,连续复利模型的一般形式是,的极
10、限值为,每年的结算期n无限增大时，三年的本利趋于,39,相当于时间，,当 的值小于0时（相当于单位时间的负利率，使得,总值减少），称为指数衰减模型.,指数增长模型、指数衰减模型统称为指数模型.,40,在植物生长旺盛期间，遵循指数增长规律，新生的 组织会对产生更新的组织发生作用，起到类似“立即 结算”的效果；,放射性物质的衰变遵循指数衰减规律，物质的减少 会对继续衰减立即产生作用，,这些情况在自然界是真实普遍的，因此连续复利 模型有实际意义和广泛的应用.,连续复利模型的应用：,41,例12. 银行家常数 本金为1元，年利率为2%，按连续 复利模型，50年后本利是多少？,（元）,解：,42,例13
11、. 镭的衰减 已知镭的半衰期为1620年，并符 合指数衰减模型. 如果一个样品含1g镭，问1000年 后含镭有多少？,半衰期指经过1620年，1g镭将变为0.5g,两边取对数,于是在1000年后，样品含镭,0.5=,得到,解：已知镭的衰减符合指数衰减模型，,所以有,43,定义域是,值域是,函数单调上升趋于无穷大；,函数单调下降趋于零.有水平渐近线,当 时，,44,但是在实际问题中，,的形式也很常见.,在讨论一般的指数函数时，都采用,45,例14. 指数增长模型 英国人口学家马尔萨斯根据英 国一百多年的人口统计资料，得到人口随时间增长 的指数增长模型：,其中 为初始时间t=0时的人口数，,是人口
12、增长率，,按这个模型，人口将按指数规律随时间无限增长.,46,3) 对数函数(logarithm function),定义域为,值域为,47,对数函数的运算律：,例15.变函数 为自然对数函数运算形式.,解：,48,指数函数和对数函数经过复合成幂函数 ：,令,前一函数是指数函数，后一函数是对数函数，,，定义域是,.,复合函数为,复合函数：,49,1.写出函数 是如何复合而成的.,答案：,答案：,练习,50,4) 三角函数(trigonometric function),正弦函数,定义域为,值域为,51,余弦函数,定义域为,值域为,52,正切函数,余切函数,定义域,值域,定义域,值域,53,5)
13、 反三角函数(inverse trigonometric function),定义域,值域,主值,反正弦函数,54,定义域,值域,主值,反余弦函数,55,主值,定义域,值域,反正切函数,56,处的差商.,.所以在,处的差商为：,解：,57,例19.计算三角函数的值 早期人们在航海中需要知道 三角函数 的值，才能够测量方位，所以人们 编制了三角函数的数值表以供使用.,58,在不同区间用不同的函数形式表示对应关系， 称为分段函数.,1.4 分段函数,例20. 银行汇款 在银行汇款，规定每笔不超过 20000元，每笔汇费在1元至50元之间.汇100元至5000 元，汇费收取1%，不到100元按100
14、元计算，超过5000 元按5000元计算.写出汇费与汇款额的函数关系.,59,绝对值函数,例21,定义域,值域,60,练习,设,2,0,(1) 填空:,61,1.5 初等函数,基本初等函数和常数经过有限次四则运算与函数 复合并且能用一个式子表示的函数，称为初等函数.,例,以上函数均为初等函数！,注：,分段函数一般不是初等函数！,62,坐标的思想是笛卡尔（Descartes，15961650年， 法国哲学家、数学家、物理学家）创立的.,1.6 直角坐标系和参数方程表示的函数,在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,都是某个变数t的函数，,且对于每一个,所确定的点都在这条曲线上，,称为这条曲
15、线的参数方程，,称为参数.,那么方程,63,例如,当参数t从0到 时，,64,例23. 化学反应 在某些化学反应中，如果固定 反应物的用量，则反应速率V是温度T的函数. 已知对 于给定反应， 与 呈线性关系，试把V表示为T 的函数.,即可设,整理得到,解：因为 与 呈线性关系，,1.7 建立函数关系,在实际问题中，建立两个量之间的函数关系往往 是一个有意义而又困难的工作.,65,函数 只取两个值：0或1.,例24. 0-1函数 规定考试成绩在60分到100分时为 “及格”，0分到59分为不及格. 试建立函数，表示这个 规定.,则有,解：用数值1表示及格，0表示不及格，,这种函数的特点，是建立了数量与“是与不是”, “行与不行”这种反映问题“质”的方面的联系.,设 为整变量,函数，,66,例25. 人口增长的数学模型 假设人口增长率 是人口数N的减函数，即人口增加使得生存资源相对不 足，使人口增长率降低. 假设在环境允许下达到最大人 口数 时， 试建立人口增长率 与人口数 的函 数关系.,其中 是最初人口为0时的人口增长率，称为固有增长率.,令,，根据假设，有,，得到,
