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1、三角形全等的判定 复习课,八(1）是我家，我爱我家!,知识结构图,三角形全等判定方法1,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中,ABCDEF（SAS）,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”),F,E,D,C,B,A,在ABC和DEF中, ABCDEF（ASA）,有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。,用符号语言表达为：,F,E,D,C,B,A,三角形全等判定方法2,三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。,在ABC和 DEF中, ABC DEF（SSS）,用符号语言表达为：,三角形全等判定
2、方法3,思考:在ABC和DFE中,当A=D , B=E和AC=DF时,能否得到 ABCDFE?,三角形全等判定方法4,有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以 简写成“角角边”或“AAS”）。,A,B,D,A,B,C,SSA不能判定全等,A,B,C,直角三角形全等判定：HL,二、几种常见全等三角形基本图形,找找复杂图形中的基本图形,设计意图：知道了这几种基本图形，那么在解决全等 三角形问题时，就容易从复杂的图形中分解出基本图 形，解题就会变得简便。,典型题型,1、证明两个三角形全等2、证明两个角相等3、证明两条线段相等,一、全等三角形性质应用,1：如图，AOBCOD，AB=7,C
3、=60则 CD= ,A= .,一、全等三角形性质应用,2：已知ABCDEF， A=60,C=50则 E= .,一、全等三角形性质应用,3：如图，ABCDEF，DE=4，AE=1，则BE的长是（ ） A5 B4 C3 D2,1、证明两个三角形全等,例1 ：如图,点B在AE上,CAB=DAB,要使ABCABD,可补充的一个条件是 .,分析：现在我们已知 ACAB=DAB,用SAS,需要补充条件AD=AC,用ASA,需要补充条件CBA=DBA,用AAS,需要补充条件C=D,此外,补充条件CBE=DBE也可以(?),SAS,ASA,AAS,S AB=AB(公共边) .,AD=AC,CBA=DBA,C=
4、D,CBE=DBE,练习1:如图,AE=AD,要使ABDACE,请你增加一个条件是 .,练习2：如图,已知1=2,AC=AD,增加下列件:AB=AE,BC=ED,C=D, B=E,其中能使ABCAED的条件有( )个. A.4 B.3 C.2 D.1,2.已知：如图，AB=AC, 1=3, 请你再添一个条件，使得E=D？为什么？,1.已知：如图，AB=AC,AD=AE, 请你再添一个条件，使得E=D？为什么？,2、证明两个角相等,变式题：,BE=EB(公共边),又 AC DB(已知) DBE=CEB (两直线平行,内错角相等),例3 :如图, AC DB, AC=2DB,E是AC的中点,求证:
5、BC=DE,证明:AC=2DB,AE=EC (已知) DB=EC,DB=EC,BE=EB, DBECEB(SAS) BC=DE (全等三角形的对应边相等),3、证明两条线段相等,练习： 已知：ACB=ADB=900，AC=AD，P是AB上任意一点，求证：CP=DP,设计意图：让学生加深如何通过全等三角形 去求证相等线段。,例4 (2007金华):如图, A,E,B,D在同一直线上, AB=DE,AC=DF,AC DF,在ABC和DEF, (1)求证: ABCDEF; (2)你还可以得到的结论是 . (写出一个,不再添加其他线段,不 再表注或使用其他字母),(1)证明:ACDF(已知) A=D
6、(两直线平行,内错角相等),ABCDEF(SAS),在ABC和DEF中,综合题：,（2）解:根据”全等三角形的对应边(角)相等”可知:,C=F,ABC= DEF, EFBC,AE=DB等,BC=EF,综合题: 如图,A是CD上的一点,ABC ,ADE 都是正三角形,求证CE=BD,B,分析:证ABDACE,变式1:在原题条件不变的前提下,可以探求以下结论:(1)求证:AG=AF; (2)求证:ABFACG; (3)连结GF,求证AGF是正三角形; (4)求证GF/CD 变式2:在原题条件下,再增加一个条件,在CE,BD上分别取中点M,N,求证:AMN是正三角形,如图,A是CD上的一点,ABC
7、,ADE 都是正三角形, 求证CE=BD,B,变式3:如图,点C为线段AB延长线上一点,AMC,BNC为正三角形,且在线段AB同侧,求证AN=MB,A,B,C,N,M,分析:此中考题与原题相比较,只是两个三角形的位置不同,此图的两个三角形重叠在一起,增加了难度,其证明方法与前题基本相同,只须证明ABNBCM,变式4:如图,ABD,ACE都是正三角形,求证CD=BE,A,B,C,D,E,分析:此题实质上是把题目中的条件B,A,C三点改为不共线,证明方法与前题基本相同.,变式6:如图,分别以ABC的边AB,AC为一边画正方形AEDB和正方形ACFG,连结CE,BG.求证BG=CE,A,B,C,F,
8、G,E,D,分析:此题是把两个三角形改成两个正方形而以,证法类同,1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法 2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时,要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。 分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。 有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角,小结:,3.注意正确地书写证明格式(顺序和对应关系).,例题一:,已知:如图B=DEF,BC=EF,补充条件求证:ABC DEF,(1)若要以“SAS”为依据，还缺条件 ；,AB=DE,(2) 若要以
9、“ASA”为依据，还缺条件；,ACB= DFE,(3) 若要以“AAS”为依据，还缺条件,A= D,(4)若要以“SSS” 为依据，还缺条件,AB=DE AC=DF,(5)若B=DEF=90要以“HL” 为依据，还缺条件,AC=DF,例2、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是拿( )去配.,证明题的分析思路： 要证什么已有什么还缺什么创造条件,注意1、证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法2、全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。有公共
10、边的，公共边一定是对应边， 有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角 总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。,例3已知：如图,P是BD上的任意一点AB=CB,AD=CD. 求证: PA=PC,要证明PA=PC可将其放在APB和CPB 或APD和CPD考虑,已有两条边对应相等 （其中一条是公共边）,还缺一组夹角对应相等,若能使ABP=CBP或ADP=CDP 即可。,创造条件,分析：,例3已知：P是BD上的任意一点AB=CB,AD=CD. 求证PA=PC,证明：在ABD和CBD中AB=CBAD=CDBD=BD ABDCBD(SSS)ABD=CBD在ABP和CBP中AB=BC
11、ABP=CBPBP=BP ABP CBP(SAS)PA=PC,例4。已知:如图AB=AE,B=E，BC=ED AFCD 求证：点F是CD的中点,分析：要证CF=DF可以考虑CF 、DF所在的两个三角形全等，为此可添加辅助线构建三角形全等 ，如何添加辅助线呢?,已有AB=AE,B=E ， BC=ED 怎样构建三角形能得到两个三角形全等呢？,连结AC,AD,添加辅助线是几何证明中很重要的一种思路,证明：连结和 在和中，B=E， （） （全等三角形的对应边相等） AFC=AFD=90，在tAFC和tAFD中（已证）（公共边） tAFCtAFD（） （全等三角形的对应边相等） 点F是CD的中点,如果把例4来个变身，聪明的同学们来再试身手吧！,已知:如图AB=AE,B=E，BC=ED，点F是CD的中点(1)求证：AFCD(2)连接BE后，还能得出什么结论？（写出两个),小结： 1、全等三角形的定义，性质，判定方法。 2、证明题的方法 要证什么已有什么还缺什么创造条件 3、添加辅助线,小试牛刀,1,如图，已知ABC中，AE为角平分线，D 为AE上一点，且BDE=CDE,求证：AB=AC若把中的“AE为角平分线”改为“AE为高线”，其它条件不变，结论还成立吗？如果结论成立，请予以说明。,
