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1、作者姓名作者姓名学科学科/ /学段学段数学数学入职学大时间入职学大时间20122012、7 7、4 4分公司分公司东莞分公司东莞分公司学习中心学习中心东城校区东城校区论文题目论文题目向量在中学数学解题中的应用向量在中学数学解题中的应用向量在中学数学解题中的应用向量在中学数学解题中的应用The Application of Vector on Solving Mathematical Problem in Middle School向量在中学数学解题中的应用向量在中学数学解题中的应用【摘要摘要】向量具有几何形式与代数形式的“双重身份” ，它是中学数学知识的一个交汇点，是数学问题解决的重要工具.本
2、文在阐述向量定义的基础上，归纳了向量在平面几何、解析几何、立体几何、代数等方面的应用，突出了向量作为数学工具解决高中数学问题的便利性【关键词关键词】向量 几何 代数The Application of Vector on Solving Mathematical Problem in Middle SchoolFeng Qian【Abstract】Vector has dual identities of Geometrical form and Algebra form.，which also serves as an intersection of mathematics knowledg
3、e in the high school. It is an important tool of solving mathematical problems.On the basis of expounding the definition of vector ,this paper sums up the applicatios of vector in many aspects such as plane geometry, analytic geometry, solid geometry, algebra,etcIt also highlights its convenience as
4、 a tool to solve mathematical problems in high school. 【Key words】vector geometry algebra目录目录1 向量在高中数学中的问题内容12 平面向量在高中数学问题解题中的应用3 2.1 平面向量在平面几何问题解题中的应用32.1.1 线段相等和垂直的向量法证明42.1.2 三点共线向量法证明42.1.3 点分线段比值的向量法解答52.1.4 三线共点向量法证明6 2.2 平面向量在函数.等式与不等式问题解决的应用62.2.1 向量在函数问题解决中的应用62.2.2 向量在等式问题解决中的应用72.2.3 向量在不
5、等式问题解决中的应用82.3 平面向量在数列问题解决中的应用82.4 平面向量在三角函数问题解决中的应用92.5 平面向量在平面解析几何问题解决中的应用103 空间向量在立体几何问题解决中的应用103.1 用空间向量运算可以解决的立体几何问题113.1.1 可以解决的立体几何问题113.1.2 常用公式113.1.2.1 直线与直线的平行、垂直123.1.2.2 距离公式14参考文献16向量是高中数学中有着代数和几何双重性质的重要内容.向量是“数、量和运算”形式不断发展的表现，也是高考必考的知识点.高中数学新增加的向量知识，有助于沟通几何与代数之间的联系，为解决中学数学中常见的问题，提供了新的
6、思想和方法.运用向量工具可将几何问题中的逻辑推理转化为向量的代数运算，使数学问题的解决更加简洁、清晰.现行高中数学教科书中向量的教学内容重在基础知识，对于向量的应用题的却相对较少.一方面，高中新教科书没有摆脱旧教科书的束缚，有很多数学问题用向量的方法解决更简单，但却没有利用向量工具来研究;另一方面，很多中学生，头脑里传统的解题方法已成为思维定势，不习惯或避免用向量来解决问题.尤其在解决一些立体几何问题时，需要较强的逻辑思维能力和较高的技巧性，把向量应用于立体几何问题解决会简便而顺畅.鉴于这两点，本文将重点探讨平面向量和空间向量在数学问题解决中的应用.1 高中数学中的向量内容1.1 向量的相关概
7、念在高中阶段，我们暂且把具有大小和方向的量称为向量.向量是区别于数量的一种量，它是既有大小，又有方向的量，向量是用有向线段来表示，有向线段是向量“形”的表示形式.向量的模，向量的大小，即是表示向量的有向线段的长度.向量的模记为.a a向量的模是数量，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.模为 O 的向量是零向量，记为，它的方向是任意的.单位向量是模为 1 的向量.方向相同或相反0的非零向量是平行向量，也叫共线向量.零向量与任何向量共线.模相等且方向相同的向量是相等的向量.任何两个单位向量不一定是相等的向量.(1)向量的加法和减法向量求和的三角形法则:已知向量，(如图 1)，在平面上任取一点
8、 A，作a b=，=，再作向量，则向量叫做和的和(或和向量)，记作AB aBC b AC AC ab+，即+=+=.ab ab AB BC AC图 1 图 2BACBACDabbcaddb aca+b+c+d图 3向量求和的平行四边形法则:已知两个不共线向量，(如图 2)，作=，a b AB a=.则 A，B，D 二点不共线，以、为邻边作平行四边形 ABCD，则对角线BC b AB AD上的向量=+.这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.AC a b向量求和的多边形法则:已知 n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第 n个向量的终点为终点的向量叫做这 n 个向量的和向量.这个法则叫
9、做向量求和的多边形法则(如图 3).向量减法:如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量.(2)实数与向量的积实数与向量的积，其结果仍是一个向量;实数与零向量的积是零向量;零与任何一个向量的积仍是零向量.(3)向量的坐标运算一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标，向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的坐标.(4)向量的数量积及运算律向量的数量积是非常重要的，而且要求学生必须掌握的.(5)向量数量积的坐标表示将向量在平面直角坐标系或空间直角坐标系中用坐标表示
10、出来，比较难得是表示空间坐标.2 2 平面向量在高中数学问题解决中的应用平面向量在高中数学问题解决中的应用人民教育出版社出版的高中数学教科书，将“平面向量”编写在试验修订本第一册(下)中，并把其作为必修数学内容.平面向量的引入为高中数学问题解决提供了一种有效的工具.在高中数学中有许多问题可以应用平面向量得以解答，并且有些问题采用向量方法解答要比其他方法更便捷.下面结合高中数学问题，从五个方面来论述平面向量在高中数学问题解决的应用.2.1 平面向量在平面几何问题解决中的应用在平面几何中，图形是点的集合，平面上的点可以用向量来表示.如果把几何图形看作是向量的集合，便可以用向量的代数运算来度量平面几
11、何中的位置关系，以向量为工具可以解决平面几何问题，可以省去复杂的逻辑证明，使问题变得清晰易解.在用向量解决平面几何问题时，应该注意以下过程:(1)建立向量与平面几何之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量的运算，研究几何元素之间的关系;(3)把运算结果翻译成几何元素.运用向量运算可解决平面几何中的有关平行和垂直的证明，以及角和距离的运算等，其优点是可回避平面几何中作辅助线的难点. 2.1.1 线段相等和垂直的向量法证明例例 1 1 如图 4，平行四边形 ABCD 是正方形，P 是对角线 BD 上的一个动点，PECF 是矩形，用向量证明:(1)PA
12、=EF;(2)PAEF DCBAFPEACBDEFPxy图 4 图 5分析: 适当建立直角坐标系设动点坐标，并求出定点坐标用点的坐标表示向量坐标通过计算给予证明.证明: (l)如图 5，建立直角坐标系:设 P(t，t)，0t1，则 A，E，F 点的坐标分别为(0,1),(t,0),(1,t),则=(t,t-1).=(1-t,t)=;即AP EFAP 221ttEF PAEF(2) 又=t(1-t)+(t-1)t=0,.AP EF AP EF 2.1.2 三点共线的向量法证明例例 2 2 如图 6，在矩形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为对角线 BD 上，且2ABAD，试证：(1);
13、(2)A、F、E 三点共线 AFBDDABCFE图 6分析：设=，=,AB a AD b(1)用向量知识得出=0；AF BD (2)=k,kR.AE AF 证明：设=，=，则=0，且=，AB a AD b a b a 2b（1）=+=+(-)=+(-)=+,AF AD DF AD1 3AB AD b1 3a b1 3a2 3b又=-BD b a=-=0， AFBDAF BD 2 32b1 32a AF BD （2）=+=(+)=,又，则 A、F、E 三点共线AE 1 2a b3 21 3a2 3b3 2AF AE AF 2.1.3 点分线段比值的向量法解答例例 3 3 如图 7，在ABC 中，M 是 BC 的中点，N 在边 AC 上，且 AN=2NC.AM 与 BN 相交于P 点，求 AP:PM 的值.BCAMN P图 7分析:利用向量的加，减法运算以及 A，P，M 与 B，P，N 三点共线的知识的结合.解：设=,=,CA a CB b=+=+=+(+)=-+(-+)=(-1)+(1-)AP AB BP AB BN AB BC CN b a b1 3a1 3a b=+=+=+(-+)=+（-）MP MB BP MB BN1 2b b1 3a1 3a1 2b由得=AP MP 3 5=-+=4,即 AP:PM=4:1
