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1、第三章 量子力学中的力学量,1 算符的运算规则 2 动量算符和角动量算符 3 电子在库仑场中的运动 4 氢原子 5 厄密算符的本征值与本征函数 6 算符与力学量的关系 7 共同本征函数 8 测不准关系,（一）算符定义 （二）算符的一般特性,1 算符的运算规则,（7）逆算符 （8）算符函数 （9）复共轭算符 （10）转置算符 （11）厄密共轭算符 （12）厄密算符,（1）线型算符 （2）算符相等 （3）算符之和 （4）算符之积 （5）对易关系 （6）对易括号,（二）算符的一般特性,（1）线性算符,(c11+c22)= c11+c22 其中c1, c2是任意复常数， 1, 1是任意两个波函数。,满
2、足如下运算规律的 算符 称为线性算符,（2）算符相等,若两个算符 、对体系的任何波函数 的运算结果都相 同，即= ，则算符 和算符 相等记为 = 。,例如：,开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。,（3）算符之和,若两个算符 、对体系的 任何波函数 有： ( + ) = + = 则 + = 称为算符之和。,显然，算符求和满足交换率和结合率。,例如：体系Hamilton 算符,注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 - = + （-）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。,（4）算符之积,若 () = () = 则 = 其中是
3、任意波函数。,一般来说算符之积不满足 交换律，即 这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。,（5）对易关系,若 ，则称 与 不对易。,显然二者结果不相等，所以:,对易关系,量子力学中最基本的 对易关系。,若算符满足 = - ， 则称 和 反对易。,写成通式:,但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。,注意： 当 与 对易， 与 对易，不能推知 与 对易与否。例如：,（6）对易括号,为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： , - ,这样一来，坐标和动量的 对易关系可改写成如下形式：,不难证明对易括号满足如下对易关系：1) , = - , 2
4、) ,+ = , + , 3) , = ,+ , 4) , + , + , , = 0 上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。,（7）逆算符,1. 定义: 设= , 能够唯一的解出 , 则可定义 算符 之逆 -1 为: -1 = ,并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.,2.性质 I: 若算符 之逆 -1 存在,则 -1 = -1 = I , , -1 = 0 证: = -1 = -1 ( ) = -1 因为是任意函数,所以-1 = I成立. 同理, -1 = I 亦成立.,3.性质 II: 若 , 均存在逆算符, 则 ( )-1 = -1 -1,例如:,设给定一函数 F(
5、x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛,则可定义算符 的函数 F()为:,（9）复共轭算符,算符的复共轭算符 *就是把表达式中 的所有量换成复共轭.,例如: 坐标表象中,（8）算符函数,利用波函数标准条件: 当|x| 时, 0。,由于、是 任意波函数, 所以,同理可证:,（10）转置算符,(11)厄密共轭算符,由此可得：,转置算符 的定义,厄密共轭 算符亦可 写成：,算符 之厄密共轭算符 + 定义:,可以证明: ( )+ = + + ( .)+ = . + + +,(12) 厄密算符,1. 定义: 满足下列关系 的算符称为 厄密算符.,2. 性质,性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符
6、。 若 + = , + = 则 (+)+ = + + + = (+),性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易。 因为 ( )+ = + + = 仅当 , = 0 成立时, ( )+ = 才成立。,性质 III: 厄密算符的本征值是实数。,（一）动量算符 （1）动量算符的厄密性 （2）动量本征方程 （3）箱归一化 （二）角动量算符 （1）角动量算符的形式 （2）角动量本征方程 （3）角动量算符的对易关系 （4）角动量升降阶算符,2 动量算符和角动量算符,（一）动量算符,（1）动量算符的厄密性,使用波函数在无穷远 处趋于零的边界条件。,（2）动量本征方程,其分量形式：,证
7、：,由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。,I. 求解,采用分离变 量法，令：,这正是自由粒子的 de Broglie 波的空 间部分波函数。,如果取 |c|2 (2)3=1 则 p(r) 就可归一化为 -函数。,II. 归一化系数的确定,（3）箱归一化,在箱子边界的对应点A, A上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。,据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为-函数。,但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。,周期性边界条件,这表明，px 只能取分立值。 换言之， 加上
8、周期性边界条件后， 连续谱变成了分立谱。,这时归一化系数 c 可由归一化条件来确定：,讨论：,（1） 由 px = 2nx / L, py = 2ny / L, pz = 2nz / L, 可以看出，相邻两本征值的间隔 p = 2 / L 与 L 成反比。当 L 选的足够大时，本征值间隔可任意小， 当 L 时，本征值变成为连续谱。,（2）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱 归一化为 函数,（3）p(r) expiEt/ 就是自由粒子波函数，在它所描 写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算 符在这个态中的本征值。,（4）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。,（二）角动量
9、算符,（1）角动量算符的形式,根据量子力学基本假定III， 量子力学角动量算符为:,(I) 直角坐标系,角动量平方算符,经典力学中，角动量的定义为,由于角动量平方算符中含有关于 x，y，z 偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解,为此我们采用球坐标较为方便.,直角坐标与球坐标之间的变换关系,这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, , ),(II) 球坐标,将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,将（2）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,对于任意函数f (r, , ) （其中，r, , 都是 x, y, z 的函数）则有：
10、,将（3）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,将上面结果 代回原式得：,则角动量算符 在球坐标中的 表达式为：,这就是我们要 找的表达式,（2）本征方程,(I) Lz的本征方程,I 波函数有限条件，要求 z 为实数； II 波函数单值条件，要求当 转过 2角 回到原位时波函数值相等，即：,求 归 一 化 系 数,正交性：,合记之得 正交归一化 条件：,最后得 Lz 的本征函数 和本征值：,讨论：,厄密性要求第一项为零,所 以,则,这正是周期性边界条件,(II) L2的本征值问题,L2 的本征值方程可写为：,为使 Y(,) 在 变化的整个 区域(0, )内都是有限的， 则必须满足： = （
11、+ 1), 其中 = 0, 1, 2, .,其中 Y(,) 是 L2 属于本征值 2 的本征函数。此方程就是大 家熟悉的球谐函数方程，其求解 方法在数学物理方法中已有详细 的讲述，得到的结论是：,该方程的解就是球函数 Yl m(,)， 其表达式为：,由归一化条件确定归一化系数,其正交归一 条件为：,具体计算请参考有关数学物理方法的书籍，在这里就不作详细介绍了。,(III) 本征值的简并度,由于量子数 表征了角动量的大小， 所以称为角量子数；m 称为磁量子数。,由此可知，对应一个 值，m 取值为 0, 1, 2, 3, ., ； 共有(2 +1)个可能取值。换言之，对应一个 值，有(2 +1)个
12、量子状态，这种现象称为简并， 的简并度是 (2 +1) 度。,根据球函数定义式,（3）角动量算符的对易关系,证：,（4）角动量升降阶算符,(I) 定义,显 然 有 如 下 性 质,所以，这两个算符 不是厄密算符。,(II) 对易关系,不 难 证 明,可见，(L+ Yl m) 也是 Lz 与 L2 的共同本征函 数，对应本征 值分别为 (m+1) 和 l (l+1) 2。,(III) 证明：,证：,将 Eq. (1) 作用于 Yl m 得：,将 Eq. (2) 作用于 Yl m 得：,由于相应于这些本征值的本征函数是 Yl, m+1 所以，L+ Yl m 与 Yl, m+1 二者仅差一个常数，即
13、,求: 常系数 al m, bl m,首先对 式左边 积分 并注意 L- = L+,再计算 式右积分,比较二式,由（4）式,例：证明在 LZ 本征态 Ylm 下， = = 0,证：,方法 I,代入平均值公式：,同理：,由角动量对易关系：,代入平均值公式：,同理：,方法 II,作 业,曾谨言 量子力学导论 4.1、4.3、 4.5、4.7、 4.9、题,3.3 电子在库仑场中的运动,（一）有心力场下的 Schrdinger 方程 （二）求解 Schrodinger 方程 （三）使用标准条件定解 （四）归一化系数 （五）总结,体系 Hamilton 量,H的本征值方程,对于势能只与 r 有关而与,
14、 无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是方程可改写为：,V=-Ze2/r,考虑一电子在一带正电的核 所产生的电场中运动，电子 质量为，电荷为 -e，核电 荷为 +Ze。取核在坐标原点， 电子受核电的吸引势能为：,（一）有心力场下的 SE,（二）求解 Schrodinger 方程,（1）分离变量 化简方程,注意到 L2 Ylm =(+1) 2 Ylm 则方程化为：,令 R(r) = u(r) / r 代入上式得：,若令,讨论 E 0 情况，方程可改写如下：,于是化成了一维问题，势V(r)称为等效势，它由离心势和库仑势两部分组成。,令,（2）求解,(I) 解的渐近行为, 时，方 程变为,所以可 取 解 为,有限性条件要求 A= 0, ,2,(II) 求级数解,令,为了保证有限性条件要求：,当 r 0 时 R = u / r 有限成立,即,代入方程,令 =-1 第一个求和改为:,把第一个求和号中= 0 项单独写出，则上式改为：,再将标号改用 后与第二项合并， 代回上式得：,
