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1、毕业论文 题题 目目 数学分析中各种收敛间的关系 学学 院院 数学与统计学院 姓姓 名名 李彦君 专业班级专业班级 10 数应三班 学学 号号 20101010316 指导教师指导教师 代丽芳 讲师 提交日期提交日期 2014 年 5 月 20 日 原原创创性性声声明明 本本人人郑郑重重声声明明：本本人人所所呈呈交交的的论论文文是是在在指指导导教教师师的的指指 导导下下独独立立进进行行研研究究所所取取得得的的成成果果。学学位位论论文文中中凡凡是是引引用用他他 人人已已经经发发表表或或未未经经发发表表的的成成果果、数数据据、观观点点等等均均已已明明确确注注 明明出出处处。除除文文中中已已经经注注
2、明明引引用用的的内内容容外外,不不包包含含任任 何何其其他他个个人人或或集集体体已已经经发发表表或或撰撰写写过过的的科科研研成成果果。 本本声声明明的的法法律律责责任任由由本本人人承承担担。 论论文文作作者者签签名名： 年年 月月 日日 论论文文指指导导教教师师签签名名： 目目 录录 引言1 1 数列收敛与级数收敛间的关系1 2 反常积分的收敛、条件收敛和绝对收敛之间的关系2 3 正向级数的敛散性与反常积分敛散性之间的关系2 4 级数的条件收敛和绝对收3 5 函数列的收敛、一致收敛与内闭一致收敛间的关系 4 5.1 n f收敛于 xf的定义.4 5.2 函数列 n f一致收敛与收敛间的关系.4
3、 5.3 收敛与内闭一致收敛间的关系 5 5.4 一致收敛与内闭一致收敛间的关系 6 6 函数项级数间的收敛、一致收敛及内闭一致收敛间的关系 7 6.1 函数项级数与函数列之间的关系 7 7 函数项级数的绝对收敛与一致收敛 8 7.1 函数项级数中绝对收敛和一致收敛的相互独立性 8 7.2 函数项级数的绝对收敛和一致收敛的相互关联性 9 8 含参量反常积分的一致收敛与函数项级数一致收敛间的关系.10 参考文献.11 致 谢12 数学分析中各种收敛间的关系数学分析中各种收敛间的关系 李彦君 (天水师范学院 数学与统计学院,甘肃 天水,741000) 摘要摘要 对数学分析中的各种收敛关系进行了汇总
4、,对各种收敛之间的内容进行了 分析、比较.列出了它们之间的它们之间的异同,为的是读者在遇到有关收敛问 题的难题时,可以方便查找、翻阅. 关键词关键词 数列;级数;反常积分;收敛;一致收敛;内闭一致收敛 Relationships of the convergence between numbers a series of numbers and series Yanjun Li (School of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu, 741000) Abstract the converg
5、ence of mathematical analysis summarizes the relationship of various analyses and comparisons of the convergence between content. Between the similarities and differences between them are listed in order when readers are experiencing issues related to convergence problems, you can easily find it, re
6、ad it. KeyWords Series, series,improper integral,convergence,uniformly convergent,closed in uniform convergence. 数学分析中各种收敛间的关系数学分析中各种收敛间的关系 数学与统计学院 2014 届毕业论文 1 引言 文章通过对数学分析中的各种收敛关系的汇总,对各种收敛之间的内容进行了分析、 比较.列出了它们之间的它们之间的异同,为的是读者在遇到有关收敛问题的难题时,可 以方便查找、翻阅.同时,也对数学分析中的各种收敛的理解更为方便. 1 数列收敛与级数收敛间的关系 定义 1 如果是数
7、列,且,当时,有 1 n a为定数a00N，总对Nn ,我们就说数列常数.常数就是数列的极限,记a-an 收敛于 n aaa n a 或者. n limaannaan 若,则称不收敛或称发散.没有极限 n a n a n a 定义 2 级数的收敛,给定一个数列,把它的各项用“+”号连接起来,就得 2 n a 到表达式称为或者级数,记为.的前 n 项和LL n21 aaa常数项级数 n a 该级数 记为. n s n 1k n a n21 aaaL称之为数项级数的部分和 如果级数的部分和数列收敛于 s,就称级数收敛,记作 s=. n a n s n a n a 1.1 数列的收敛与级数的收敛间的
8、关系 级数是由数列的每一项加起来的,故 n a n a 3 1若级数收敛,则必有收敛,且必有=0,否则如果不收敛于 0,则 n a n a n lim n a n a 必,使得,由 Cauchy 收敛准则,发散,这与收敛矛盾.0 n a n a n a 2发散,不一定发散。如=1,知=1,但=,收敛,但发 n a n a n a n lim n a n a n a n a 散. 3 发散,则必发散,否则就有=0,与发散相矛盾. n a n a n lim n a n a 2 反常积分的收敛、条件收敛和绝对收敛之间的关系 2.1 反常积分的收敛、条件收敛和绝对收敛的定义 定义 1 设函数定义在无
9、穷区间,且在任何有限区间上可积,如 4 f上， aua， 数学与统计学院 2014 届毕业论文 2 果存在极限,记作,并称收敛;如果 n lim Jdxxf u a dxxf a J dxxf a 不存在,则称级数发散. n lim dxxf u a dxxf a 定义 2 当收敛时称绝对收敛,收敛但不绝对收敛时 dxxf a dxxf a dxxf a 称条件收敛. dxxf a 2.2 条件收敛与绝对收敛间的关系 1条件收敛不一定绝对收敛.例 因为对任意的时, 0,pdx x sinx p 1 1u 都有;而当 p0 时,单调趋于 0,由 Dirichlet 判2cosu-1cossinx
10、dx u 1 p x 1 x 别法知总是收敛的. 0,pdx x sinx p 1 ,因为其中另一方面，1 x x2 cosx - x2 1 x xsin x sinx 2 p 满足 Dirichlet 判别法的条件,是的,但是是dt t cost 2 1 dx x2 x2cos 21 收敛dx x2 1 1 的,所以当发散时，10 p 0 收敛,则必有=0,即收敛于 0,否则如果则 7 x n u n lim xun xun n lim 0xun 会由 Cauchy 准则,发散; 00 , 0,xuNnN n 时有当对 x n u 2 发散,不一定发散. x n u xun 例 ,上不收敛,
11、即在上发散;,=0, x n x在 ba,0axba, n x xun n lim xun 即收敛于 0. xun 3 若发散,则必发散,否则必有=0,就与发散矛盾, xun x n u n lim xun xun 数学与统计学院 2014 届毕业论文 8 函数项级数的收敛、一致收敛及内闭一致收敛收敛间的关系跟函数列的完全一样. 7 函数项级数的绝对收敛与一致收敛 为中所具有的概念,但是却是中所引出来绝对收敛数项级数一致收敛函数项级数 的,在函数级数中,如果把收敛域中某一特定点带入,就将函数项级数变为函数项级数 ,此时便出现了在收敛域中各点是否和它本身是否数项级数函数项级数绝对收敛 交织在一起
12、的问题.一致收敛 8 7.1 函数项级数中绝对收敛和一致收敛的相互独立性 里,与一致收敛是相互独立的两个概念,两者没什么必然的联系,函数项级数绝对收敛 可以举出一些绝对收敛但不是一致收敛,一致收敛但非绝对收敛的例子. 例 1 函数项级数. 9 上非一致收敛都绝对收敛，但在对RRx x x n , 1 2 2 证 ,0Rx对 xu xu n n n 1 lim 1 1 1 1 1 lim 21 2 2 2 2 x x x x x n n n 当,所以函数项级数在 R 上绝对收敛.时，0x 0 1 2 2 n x x n x x 2 2 1 但该级数的余项 nnn n xxx xxR 2 2 2
13、1 2 2 1 1 1 1 1 1 LL ,使得R m xNNmZN 1 ,1, 3 1 00 对 3 1 1 1 2 2 m m m m m R 所以在 R 上非一致收敛. n x x 2 2 1 例 2 在 R 上一致收敛,但,非绝对收敛. 2 1 1 xn n Rx 0 对 证 ,即级数的部分和在 R 上一致有界; 11, 1 1 n k k Zn对 1 1 n ,单调减小,并且,也就是,跟Rx对 2 1 xnnxn 11 2 0 1 2 上一致收敛于在R xn 数学与统计学院 2014 届毕业论文 9 据 Dirichlet 判别法知,在 R 上一致. 2 1 1 xn n 收敛 但,
14、有,而发散,所以非绝对Rx对 1 1 1 lim 2 n xn n n n 1 2 1 1 xn n Rx对 收敛. 7.2 函数项级数的绝对收敛和一致收敛的相互关联性 的绝对收敛与一致收敛虽然没有什么必然的联系,但是在一定条件下,却能 x n u 得到绝对收敛和一致收敛同时成立的结论,即的判别法.sWeierstras 定义在上,是收敛的正项级数,也就是绝对收敛,对于, x n u D数集 n M Dx 都有,我们就称在 D 上一致. L2 , 1,nMxu nn x n u 收敛 例 函数项级数上一致收敛,因为,有 ，在 2 n sinnx ，对 x ,而正项级数是收敛的. 22 1sinnx nn 2 1 n 7.3 对于各项单调的级数,还可以有： 10 如果各项单调的级数在的两个端点处,则此级数必在 x n u ba,绝对收敛 上绝对且一致收敛.ba, 证 因
