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1、项目二 点、直线、平面的投影,2-1 投影的形成及其特性,点、直线和平面是构成物体的基本几何元素，掌握这些几何元素的正投影规律是学好本课程的基础。本章介绍点、直线和平面的投影、作图原理和方法。 2-1-1 投影法在日常生活中，人们可以看到，当太阳或灯光照射物体时，墙壁上或地面上会出现物体的影子。投影法与这种自然现象类似。如图2-1所示，平面P是得到投影的面，称为投影面，点S称为投影中心。如在点S、平面P之间有一空间点A，则该点在平面P上的投影为点S、A连线的延长线与投影面投影面P的交点a处，Sa称为投射线。由上述可知：投影法就是投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。投射中心
2、就是所有投射线的起源点。投影（投影图）就是根据投影法所得到的图形。射线就是发自投射中心且通过被表示物体上各点的直线。投影面就是投影法中，得到投影的面。,图2-1 投影法,2-1-2 投影法的分类投影示一般分为中心投影法和平行投影法两类。1、中心投影法投射线汇交一点投影法（投射中心位于有限远处）。如图2-2所示，通过投射中心S作出了ABC在投影面P上的投影；投影线SA、SB、SC分别与投影面P交出点A、B、C的投影a、b、c，而abc的投影ABC在投影面P上的投影。在中心投影法中，ABC的投影abc的大小随投射中心S距离ABC的远近或者ABC距离投影面P的远近而变化，所以它不适用于绘制机械图样。
3、但是，根据中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制建筑物的透视图。,图2-2 中心投影法,2、平行投影法投射线相互平行的投影法（投射中心位于无限远处）。平行投影法又分为斜投影法和正投影法。（1）斜投影法投射线与投影面相倾斜的平行投影法。根据斜投影法所得到的图形，称为斜投影（斜投影图），如图2-3（a）所示。（2）正投影法投射线与投影面相垂直的平行投影法。根据正投影法所得到的图形称为正投影（正投影图），如图2-3（b）所示。,2-1-3 投影法的基本性质物体上的面和棱线相对投影面有三种情况：平行、垂直或倾斜。采用正投影方法投影时，针对这三种位置的线段和平面具有以下三种性质。 1、真实性 当直
4、线或平面平行于投影面时，直线的正投影反映真实长度，平面的正投影反映真实形状，这种性质称为真实性。如图2-4所示。,图2-4 投影的真实性,2、积聚性当空间直线和平面垂直于投影面时，则直线的投影积聚为点；平面的投影积聚为直线段，点的不可见投影加括号，这种性质称为积聚性。如图2-5所示。,图2-5 投影的积聚性,3、类似性当空间直线和平面倾斜于投影面时，直线的投影为缩小的线段；平面的投影为缩小的类似形，这种性质称为类似性。如图2-6所示。,图2-6 投影的类似性,2-2 三面投影体系的形成,2-2-1 三面投影面体系的建立物体是有长、宽、高三个尺度的立体，只通过物体在一个投影面上的投影，我们并不能
5、确定物体在空间的位置和形状。因此，我们要认识它，就应该从上、下、左、右、前、后各个方面去观察它，才能对其有一个完整的了解。,图2-7 单面正投影图,为了准确地表达物体的形状和大小，常把物体放到三个互相垂直 的平面所构成的投影面体系中，如图2-8所示。三个投影面的名称和代号 是：正对观察者的投影面称为正立投影面（简称正面），代号用字母“V” 表示；右边侧立的投影面称为侧立投影面（简称侧面），代号用字线“W” 表示；水平位置的投影面称为水平投影面（简称水平面），代号用字母 “H”表示。这三个互相垂直的投影面就好像室内 一角，即像相互垂直的两堵墙和地板那样， 构成一个三投影面体系。由于三投影面彼 此
6、垂直相交，故形成三根投影轴，它们的 名称分别是：V 面和 H 面相交的交线，称 OX 轴，简称X 轴；H 面和 W 面相交的交 线，称OY 轴，简称Y 轴；V 面和 W 面相 交的交线，称OZ 轴，倚称Z 轴；X、Y、Z 三轴的交点称为原点，用字母O表示。,图2-8 三面投影体系,2-2-2 三面投影的形成将物体置于三面投影体系中，按正投影法分别向三个投影面投射，由前向后投射在V面上得到的投影叫正面投影，反映形体的X坐标和Z坐标；由上向下投射在H面上得到的投影叫水平投影，反映形体的X坐标和Y坐标；由左向右投射在W面上得到的投影叫侧面投影，反映形体的Z坐标和Y坐标在三投影面体系中，按正投影原则画
7、出物体的图形，称之为视图。把正面投影称为主视图，水平投影称为俯视图，侧面投影称为左视图。这三个视图我们称为物体的三面视图，简称为三视图。为了把空间的三个视图画在一个平面上，就必须把三个投影面展开摊平。展开的方法是：正面（V）保持不动，水平面（H）绕OX轴向下旋转90，侧平面（W）绕OZ轴向右旋转90，使它们和正面（V）摊成一个平面。由于投影面的边框是设想的，所以不必画出。,2-2-3 三视图的关系及投影规律 1、位置关系由图可知，物体的三个视图按规定展开、摊平在同一平面上以后， 具有明确的位置关系，即：主视图在上方，俯视图在主视图的正下方， 左视图在主视图的正右方。 2、投影关系任何一个物体都
8、有长、宽、高三个方向的尺寸。在物体的三视图 中，我们可以看出：主视图反映物体的长度和高度；俯视图反映物体的 长度和宽度；左视图反映物体的高度和宽度。由于三个视图反映的是同一物体，其长、宽、高是一致的，所以 每两个视图之间必有一个相同的度量。因此，三视图之间的投影对应关 系可以归纳为：主、俯视图长对正（等长）。主、左视图高平齐（等 高）。俯、左视图宽相等（等宽）。上面所归纳的“三等”关系，简单地说就是“长对正、高平齐、 宽相等”。对于任何一个物体，不论是整体，还是局部，这个投影对应 关系都保持不变。“三等”关系反映了三个视图之间的投影规律，是我 们看图、画图和检查图样的依据。,3、方位关系三面视
9、图中不仅反映了物体的长、宽、高，同时也反映了物体的上、下、左、右、前、后六个方位的位置关系。主视图反映了物体的上、下、左、右方位。俯视图反映了物体的前、后、左、右方位。左视图反映了物体的上、下、前、后方位。应该注意，对于俯视图和左视图来说，凡是靠近主视图的一边（里面）是表示物体的后面；凡是远离主视图的一边（外面），是物体的前面。,2-3 点和直线的投影,2-3-1 点的投影 1、点在三投影面体系中的投影将点A分别向H、V、W面进行投影，得到水平投影a、正面投影和侧 面投影。三投影面展开在同一平面上的方法是V面固定不动，湍OY轴将H 面、W面分开，H面向下旋转，W面向左右旋转使三个投影面展成一个
10、面。 点A的三个投影随投影面展开后，如图210所示。这时，OY轴分别成H面 上的OY和W面上的OY。同样，也可以将投影面的框线和名称省略，形成如 图2-10所示的点的三面投影图。,2、点的三面投影规律如把三投影面体系看作直角坐标体系，则H、V、W面为坐标面，OX、 OY、OZ轴为坐标轴，点O为坐标原点。点A的直角坐标、即为点A到三个 坐标面的距离，且与点A的投影a、a、a的关系如下 a=aya=aZa=oax=xA 由此可知：a 由oax和oay，即点A的xA 、yA 两坐标决定；a由oax和oaz，即点A的xA 、zA两坐标决定；a由oaz和oay，即点A的yA 、zA两坐标决定。所以空间点
11、A（xA 、yA 、zA）在三投影面体系中有唯一确定的一组 投影a、a、a。反之，如已知点A 的一组投影a、a、a即可确定 该点的坐标值，即确定其空间位置。,根据以上分析，可以得出点在三投影面体系中的投影规律： (1)点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴；这两个投影到OZ轴和OY轴 的距离相等，都反映空间点的X坐标，即aaOX轴，aza=aya=xA (2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴；这两个投影各到OX轴和OY 轴的距离相等，都反映空间点的Z坐标，即aaOZ轴，axa= aya=zA。 (3)点的水平投影到OX轴的距离和点的侧面投影到OZ轴的距离相等，都反 映空间点的y坐标，即a
12、aOY轴，axa= aza=yA。由于在H面投影中的oay=在W面投影中的oay，作图时可过点O作直角 YOY的角平分线，它与两条轴线OY都成45，从a引H面投影中的OY轴的 垂线与角平分线相交与一点，再从该点作W面投影中的OY轴的垂线，并延 长，使与从a引出的OZ轴的垂线相交，其交点即为a。由于点的两个投影就能确定点的三个坐标值，也就能确定点的空间位 置，所以只要已知点的两个投影就能作出它的第三个投影。,3、特殊位置点的投影有时，空间点在投影面上或投影轴上，称之为特殊位置的点。如图2-11所示。点B位于V面上，其三面投影为:b与B重合（yb=0），b在OX轴上，b在OZ 轴上。点C位于H面上
13、，其三面投影为：c与C重合（zc=0），c在OX轴上，c在OY轴上。点D在OX轴上，其三面投影为：d和d都与D重合（yd=0，zd=0），d与原点O重合。综上所述可得出特殊位置点的投影特性为：（1）投影面上的点必有一个坐标为零，在该投影面上的投影与该点自身重合；在另外两个投影面上的投影分别在相应的投影轴上。（2）投影轴上点必有两个坐标为零，在包含这条轴的两个投影面上的投影都与该点自身重合；在另一投影面上的投影则与原点O重合。,图2-11 投影面及投影轴上的点,例2-1：如图2-12(a)所示，已知点A（20、15、24），求点A的三面投影。 作图： 1）画坐标轴（X、YH、YW、Z、O）；在X
14、轴上量取Oax=20；OayH =15； Oaz =24。如图2-12(a)所示； 2) 根据点的投影规律：点的投影连线垂直于投影轴。分别过ax作OX轴的 垂直线、过az作Z轴的垂直线，两垂直线的交点得点A的V面投影a，过 ayH作OY轴的垂直线与aax的延长线相交得点A的H面投影a。如图2- 12(b)； 3)过原点O作YHOYW的平分线。如图2-12(b)； 4)延长ayH与平分线相交，再过交点作垂直于Yw轴的直线； 5）过a作Z轴的垂线与垂直w轴的直线相交于a“，即为A的W面投影， 如图2-12(c)。,图2-12 求点A的三面投影,4、两点的相对位置空间两点上下、左右、前后的相对位置可
15、根据它们在投影图中的各 组同面投影来判断。也可以通过比较两点的坐标来判断它们的相对位置， 即x坐标大的点在左方；y坐标大的点在前方；z坐标大的点在上方。如图2-13所示的空间点A、B，由V面投影可判断出A在B的左方、上方， 由H面投影可判断出A在B的左方、前方，由W面投影可判断出A在B的前方、 上方，因此,由三面投影或两投影就可以判断点A在点B的左、前、上方。,图2-13 两点的相对位置,例2-2：如图2-14所示，已知点B（10，8，15），点C在点B左方7mm， 前方5mm，下方7mm的位置，作点B、C的三面投影图。分析：根据已知条件可知点B的三个坐标为：xB=10，yB=8，zB=15，
16、 根据点C相对于点B的位置，可知点C的三个坐标为：xC=10+5=15， yC=8+7=15，zC=15-7=8。由B（10，8，15）作出点B的投影。用同样方法 可作出点C的投影。,图2-14 已知点的坐标作投影,1)作出投影轴，在OX轴上从O点向左截取Obx=10，过bx作OX轴的垂线，如图2-14(a)所示。 2)在OZ轴上从o点向上量取Obz=15, 过bz作OZ轴的垂线,两直线相交于b，如图2-14(b)所示。 3)在bbx的延长线上向下量取8得b, 在bbz的延长线上向右量取8得b“，或由b、 b求b“，如图2-14(c)所示。 4)用同样方法作出点C的三面各投影c、c、c“，如图2-14(d)所示。 5、重影点及其可见性如果空间两点有两个坐标相等，一个坐标不相等，则两点在一个投 影面上的投影就重合为一点，此两点称为对该投影面的重影点。如图2- 15所示，点B在点A的正前方，则两点A、B是对V面的重影点。 重影点要判别可见性，其方法是：比较两点不相同的那个坐标，其 中坐标大的可见。例如两点A、B的x和z坐标相同，y坐标不等，因yByA， 因此，b可见，a不可见（加括号即表示不可见）。,
