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1、,2.1 解析函数的概念,1 复变函数的导数,定义：,存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的 导数，记作,应该注意：上述定义中 的方式是任意的。,例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?,解 这里,所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.,（即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.）,例3 讨论,的可导性。,解：,所以,在复平面上除原点外处处不可导。,可导和可微，连续的关系我们知道：若复变函数在某点连续，则该函数在该点极限一定存在，反之不一定成立.那么可导与连续有何关系？若函数在某点可导，必在该点连续但反之不一定成
2、立. 如上例f (z) = x +2yi ，显然在复平面上处处连续但在复平面处处不可导.,定义2.1.2 复变函数的微分 复变函数的微分概念在形式上与一元实变函数的微分 概念类似。 设函数 在 可导，则由导数的定义可得其中 。因此， 是 的高阶无穷小量，而 是函数 的改变量 的线性部分.我们称 为函数 在点 的微分， 记作如果函数在点 的微分存在，则称函数在点 可微。,容易证明：,可导 可微 ；,可导 连续。,如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在内可导.,2. 解析函数的概念,函数在一点解析,在该点可导。,反之不一定成立。,在区域内：,例如 f (z) = z2,在整个
3、复平面上解析；,仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；,f (z) = x +2yi,在整个复平面上不解析。,定义,否则称为奇点 。,例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.,解：,故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析；,z = 0 是它的一个奇点。,解析函数的性质：,(1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数； (2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数； (3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所 有解析点的集合必为开集。,问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，,如何判别其解析（可导）性？,换句话说：,设函数,于是,u(x,y
4、) 与 v(x,y) 在该点可微, 并且满足 柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。,设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y) 可微,于是,（x,y0时,ek0, (k=1,2,3,4)）,并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。,即函数 f (z)在点 z = x + iy 处可导.,由 z 的任意性可知：,定理1 函数f (z) = u(x,y) + iv(x,y) 在其定义域D内解析的充要条件是 u(x,y) 与 v(x,y) 在D内可微, 并满足Cauchy-Riemann方程.,定理2 函数f (z) = u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D
5、内一点z =x+iy 可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微, 在该点满足Cauchy-Riemann方程 。,推论 ：,例题1,解：,例题2,判断下列函数在何处可导, 在何处解析:,解：,得 u=x, v=-y, 所以,在复平面内处处不可导, 处处不解析；,2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以,当且仅当 x = y = 0时,因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不解析.,是区域内的正交 曲线族。,(正交：两曲线在交点处的切线垂直 ),例题3,证：,得证。,例如,两族分别以直线y=x和坐标轴
6、 为渐近线的等轴双曲线 x2-y2 = c1, 2xy = c2 互相正交。,函数解析与可导、连续、极限的关系由解析函数定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和在一点处可导是不等价的两个概念. 就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析. 但函数在一点解析，则一定在该点可导（而且在该点及其邻域均可导）. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要严格得多.区域解析区域可导在某点解析该点可导该点连续该点极限存在，反之均不一定成立。,复变函数在某点解析 某点可导 某点极限存在 某点连续,关于上节课的几个概念,考虑只有一个点的集合E:A A不是聚点，是孤立点, 是边界点所以E是闭集。闭集包含它的全部聚点，但可能有些集合没有聚点。（任意有限个点的集合）,作业,P26: 1, 2（1）（2），4。P30： 1（1）（2），4，6，7，8。,
