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1、项目三 基本体的投影,3-1 基本体的投影,要求掌握基本体的三面投影特性、作图方法及其表面取点方法；了 解基本体的尺寸标注，具有利用积聚性、作辅助线和辅助圆等方法求基 本体表面上点的能力，为后续学习打下基础。平面立体其表面为若干个平面的几何体，如棱柱、棱锥等。 曲面立体其表面为曲面或曲面与平面的几何体，最常见的是回 转体，如圆柱、圆锥、圆球、圆环等 。在投影图上表示一个立体，就是把这些平面和曲面表达出来，然后 根据可见性判别哪些线是可见的，哪些线是不可见的，把其投影分别画 成实线或虚线，即得立体的投影图。,3-1-1 基本体的投影及表面上取点任何物体都可以看成是由一些形状规则且简单的形体组成，
2、这样的 形体称为基本体，基本体分为平面立体和曲面立体两类。由于平面立体 的表面上有若干个多边形平面所围成，因此，绘制平面立体的投影可归 结为绘制各表面的投影。平面立体各表面的交线称为棱线，平面立体的 各表面是由棱线所围成，而每条棱线可由其两端点确定，因此，绘制平 面立体的投影可归结为绘制各棱线及各顶点的投影。因此作图时就是把 组成立体的平面和棱线表示出来，然后判断可见性，看得见的棱线画成 粗实线，看不见的棱线画成虚线。,1、棱柱（1）棱柱的投影图3-1所示为正六棱柱，其顶面、底面均为水平面，它们的H面投影 反映实形，V面及W面投影积聚为一直线。棱柱有六个侧棱面，前后棱面 为正平面，它们的V面投
3、影反映实形，H面投影及W面投影积聚为一直线。 棱柱的其他四个侧棱面均为铅垂面，H面投影积聚为直线，V面投影和W面 投影为类似形。,棱线AB为铅垂线，H面投影积聚为一点a(b)，V面投影和W面投影均反 映实长，即ab= a“b“= AB；顶面的边DE为侧垂线，W面投影积聚为一 点d“(e“)，H面投影和V面投影均反映实长，即de =de= DE；底面的 边BC为水平线，H面投影反映实长，即bc=BC,V面投影bc和W面投影 b“c“均小于实长。其余棱线，可进行类似分析。作图时可先画出正六棱 柱的H面投影正六边形，再根据投影规律作出其他两个投影。,作图过程：1)先画反映实形的上下底面的水平投影，再
4、根据投影联系画其正面投 影和侧面投影。2)画六条棱线的正面投影和侧面投影，并区分线面的可见性。 (2)棱柱表面上取点在平面立体表面上取点，其原理和方法与平面上取点相同。如图3-1 所示，正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在表面上取点可利用 积聚性原理作图。已知棱柱表面上点M的V面投影m，求H面、W面投影m、m。由于点 m是可见的,因此，点M必定在ABCD棱面上，而ABCD棱面为铅垂面，H面 投影abcd具有积聚性，因此,m必定在abcd上。根据m和m可以求出m。 又已知点N的H面投影n，求V面、W面投影n、n。由于n是可见的，因 此,点N在顶面上，而顶面的V面投影和W面投影都具有积聚性，因
5、此n、 n在顶面的各同面投影上，如图3-1(b)所示。,2、棱锥（1）棱锥的投影图3-2所示为一正放的正三棱锥直观图及投影图。正三棱锥有底面和 三个侧棱面围成。底面又由三条棱线围成（正三角形），三个侧棱面由 三条侧棱线和三条底棱线围成（三个真形大小相等的等腰三角形）。作图步骤：1)画反映实形的底面的水平投影；2)画底面的正面投影和侧面投影。3)画锥顶的三面投影。4)画棱线的三面投影。,（2）棱锥表面上取点已知点M的V面投影m（可见）， 点M在棱面SAB上，过点M在SAB上作 AB的平行线M，即1mab， 1mab，求出m，再根据m、m求出 m“。也可过锥顶S和点M作一辅助线 SII，然后求出点
6、M的H面投影m。又已 知点N的H面投影n(可见），点N在侧 垂面SCA上，因此，n“必定在 s“a“(c“)上，由n、n“可求出V面投影 n，由于在SCA面上的点在V面上 被SAB和SBC平面遮挡住看不见， 因此将n记为（n），如图4-2b所 示。,3、圆柱（1）圆柱的投影圆柱是由圆柱面和顶圆平面、底圆平面围成的。如图3-3所示，圆柱 面可以看作是一条直母线AE绕与它平行的的轴线oo1旋转而成。,在圆柱的V面投影中，前、后两半圆柱面的投影重合为一矩形，矩形 的两条竖线分别是圆柱的最左、最右素线的投影，也是前、后两半圆柱 面分界的转向线的投影。在圆柱的W面投影中，左、右两半圆柱面的投影 重合为一
7、矩形，矩形的两条竖线分别是圆柱的最前、最后素线的投影， 也是左、右两半圆柱面分界的转向线的投影。矩形的上 、下两条水平线 则分别是圆柱顶面和底面的积聚性投影，如图3-3(c)所示。在图3-3(d)中，圆柱面上有两点M和N，已知V投影n和m，且为可 见，求另外两投影。由于点N在圆柱的转向线上,其另外两投影可直接求 出；而点M可利用圆柱面有积聚性的投影，先求出点M的H面投影m，再由m 和m求出m“。点M在圆柱面的右半部分，故其W面投影m“为不可见。（2)圆柱表面上取线例3-1：已知圆柱表面的曲线AE的V面投影直线ae，求其另外两 投影（图3-4）。,分析:曲线可以看作由一系列点所组成。求作 曲线的
8、投影，可先在曲线上选择其中若干点， 求出其投影后，再顺序连接这些点的同面投 影，即得曲线的投影。因为转向线上点的投 影是曲线投影的可见性分界点。所以必须求 出转向线上点的投影。 作图： 1）在ae上选取若干点，如a、 b、c、d、e；2）利用积聚性，先求各个点的W面投影： a“、b“、c“、d“、e“；3）再由各点的V、W面投影，求各个点 的面投影：a 、b 、C 、d 、e ； 4）用曲线板依次圆滑连接各点的同面 投影；由于AC在圆柱表面的上半部，而CE在 圆柱表面的下半部，图3-4圆柱表面曲线的 投影 故其面投影abc为可见，画粗实线； cde为不可见，画虚线。,4、圆锥（1）圆锥的投影圆
9、锥面是由一条直母线SA，绕与它相交的轴线OO1旋转形成的，如 图3-5(a)所示。圆锥体表面是由圆锥面和底面组成。在圆锥面上任意位 置的素线，均交于锥顶点。画法：1) 画回转轴线的三面投影；2) 画底圆的水平投影、正面投影和侧面投影。3) 画正面投影中前后两半转向线的投影，侧面投影中左右两半转向 轮廓线的投影。,图3-5所示一直立圆锥，它的V和W投 影为同样大小的等腰三角形。等腰三角 形的两腰sasb是圆锥面的最左 和最右转向线的投影，其W面投影与轴 线重合不应画出，它们把圆锥面分为前、 后两半圆锥面，W面投影的两腰s“c“和 s“d“是圆锥面最前和最后转向线的投影， 其面投影与轴线重合，它们
10、把圆锥面 分为左、右两半圆锥面。圆锥面的面投影为圆，它与圆锥 底圆的投影重合。最左和最右转向轮廓 线、为正平线，其面投影与 圆的水平对称中心线重合；最前和最后 转向线SC、SD为侧平线，其H面投影与 圆的垂直对称中心线重合，如图3-5(c)。,（2）圆锥上的表面取点转向轮廓线上的点由于位置特殊，它的作图较为简单。如图3-5(d) 中，在最左转向线S上一点M，只要已知其一个投影（如已知m），其他两个 投影（m、m“）即可直接求出。但是在圆锥面上的点K，要用作辅助线的方法， 才能由一已知投影，求出另外两个投影。图3-5(d)中，已知点K的V面投影k，求作点K的其他两个投影有两种作图方 法。方法一：
11、是过点K与锥顶S作锥面上的素线SE，即先过k作se，由e求 出e、e“，连接se和s“e“，它们是辅助线SE的H、W面投影。而点K的H、W面投影必 在SE的同面投影上，从而求出k和k“。方法二：过点K在锥面上作一水平辅助圆，该圆与圆锥的轴线垂直，称此圆 为纬圆。点K的投影必在纬圆的同面投影上。作图步骤： 先过k作平行于x轴的直线，它是纬圆的V面投影；画出纬圆的H面投影；由k下作垂线与纬圆交于点k，再由k及k求出k“。 因点K在锥面的右半部， 所以k“为不可见 。,5、圆球（1）圆球的形成圆球面是由一圆母线，以它的直 径为回转轴旋转形成的，如图3-6(a)。如图3-6(b)所示，圆球的三个投 影
12、是圆球上平行相应投影面的三个不 同位置的最大轮廓圆。V面投影的轮 廓圆是前、后两半球面的可见与不可 见的分界线。H面投影的轮廓圆是上、 下两半球面的可见与不可见的分界线。 W面投影的轮廓圆是左、右两半球面 的可见与不可见的分界线。,（2）圆球的表面取点在图3-6中，已知圆球面上点A、B、C的V面投影a、b、c，试 求各点的其他投影。因为a为可见，且在平行于V面的正面最大圆上，故其H面投影a在 水平对称中心线上，W面投影a“在垂直对称中心线上；b为不可见，且 在垂直对称中心线上，故点B在平行于W面的最大圆的后半部，可由b先 求出b“，最后求出b；以上两点均为特殊位置点，可直接作图求出它们的 另外
13、两投影。由于点C在球面上不处于特殊位置，故需作纬圆求解。过c作平行 于x轴的直线，与球的V面投影交于点e、f，以ef为直径在H面上 作水平圆，则点C的H面投影c必在此纬线圆上，由c、c求出c“；因点C 在球的右、下方，故 其H、W面投影c与c“均为不可见。,6、圆环 圆环面是由一圆母线，绕与它共面，但不过圆心的轴线旋转形成的。图3-7为一个轴线垂直于面的圆环的三面投影。BAD半圆形成外环 面，BCD半圆形成内环面,左右对称。V面表示最左、最右两转向圆的投影， 其中外环面的转向线半圆为实线，内环面的转向线半圆为虚线，上、下 两条水平线是内、外环面分界圆的投影，也是圆母线上最高点 B和最低 点D的
14、纬线圆的投影；图中的细点画线表示轴线。W面的图形与V面投影完 全相同。H面投影中最大实线圆为过母线圆最外点A的纬圆的投影，最小 实线圆为过母线圆最内点的纬圆的投影，点画线圆表示母线圆心的轨 迹。,表面取点：在图中还表示了已知点E 的V面投影e，求e和e“的作 图方法。过E在圆环面上作一 纬圆，求出其面投影圆， 则点E的面投影e在此圆周 上；因e是可见的，故e在外 圆环面的纬圆 上，由e、e 求出e“。,3-2 基本体的截断,在零件上常有平面与立体相交形成的交线。平面与立体相交，可以 认为是平面截切立体，该平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称 为截交线。画图时，为了清楚地表达零件的形状，必须
15、正确地画出其交 线的投影。 3-2-1 平面立体的截交线平面立体被截平面切割后所得的截交线，是由直线段组成的平面多 边形。多边形的各边是立体表面与截平面的交线，而多边形的各顶点是 立体各棱线与截平面的交点。截交线既在立体表面上，又在截平面上， 所以它是立体表面和截平面的共有线，截交线上的每一点都是共有点。 因此，求截交线实际是求截平面与平面立体各棱线的交点，或求截平面 与平面立体各表面的交线。,下面举例说明求平面立体截交线的方法和步骤。 例3-2：试求正垂面P与四棱锥的截交线，并画出四棱锥切割后的三面投影图,如图3-8所示。 分析：由图3-8(a)可知，因截平面P与四棱锥的四个侧面都相交，所以
16、截 交线为四边形。四边形的四个顶点为四棱锥四条棱线与截平面P的交点。 由于截平面P是正垂面，截交线的V面投影积聚为一斜线（用Pv表示）， 由V面投影可求出其H面投影与W面投影。,作图： （1) 先画出四棱锥的第三面投影图（图3-8(b)； （2) 因P面为正垂面，四棱锥的四条棱线与P面交点的V面投影1、2、 3、4可直接求出； （3) 根据直线上点的投影性质，在四棱锥各棱线的H、W面投影上，求出 相应点的投影1、2、3、4和1 、2 、3 、4 ； （4）将各点的同面投影依次连接起来，即得到截交线的投影,它们是两 类似的四边形1234和1 2 3 4 。在图上去掉被截平面切去的部 分，即完成截头四棱锥的三面投影图。,例3-3：试画出图3-9所示四棱柱被P、Q两平面切去一角后的三面投影图。 作图: 1）画出四棱柱的三面投影图； 2）根据、两截平面的位置，画出它们的V面投影。标出截交线上各点的V投影 1、2、3、4、5、6、7； 3）由于四棱柱的各棱面均为侧垂面，可由截交线上各点的V面投影，直接求出它们的W投影1“、2“、3“、4“、5“、6“、7“； 4）由截交线上各点的V、W面投影，可求出H面投影1、2、3、4、5、6、7； 5）依次连接各点的同面投影，得到截交线的投影。截交线的H、W面投影均可见，画成粗实线。描粗加深全图。 注意：在H面投影上，棱线的一段虚线不要漏画。,
