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1、解,解,解,二阶线性微分方程,得,解,解,解,第12章 常微分方程81 微分方程的基本概念一上几丰例子代数方程FCxe) = 0的解: 使式子成立的的值1. J(x) = cl cos jc +c) sin 满足方程)(x) +庆(xz) =0反过来，由方程y “+大 = 0，如何解出?(x)?2.曲线y = Y(x)开各点(xD)的斜率上= 2 旦过(2)点.求曲线方程3.受阻落体运动 ms(1D) = mg -Cs CD),求sCD)4.7R电路的电流 工上人 人 + RiCD =五,求iD)S.求满足us + = 0的函数wx,J7) 二 微分方程的基本概念定义未知函数及其导数与久量之间
2、的方程式(未知函数的导数必须邮则常微分方程:一元+导数 偏 微分方程:多元+偏导数阶方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数xxay十 xz一 4xJ 一 3x: 一三阶了9) 本 4J十 10J7” _12 功十 sy = sin 2x 一 阶二阶及二阶岂上的微分方程称为高 咏微分方程素阶常微分方程的形式一般形式 F(x,力yo)=0显式形式 7 一 JW Ge一阶方程的微分形式Mr(x,y)dce+ NGxcy)dp =0只讨论显式形式的常微分方程,且太连续的情况 微分方程的解 代入方程使成为恒等式的函数设 = (xz)有7z阶连续导数，若在区间并FE下xx),9Cx)，9 ”2(x)=0则称
3、g(x)为微分方程在区间Z上的解通解含有任意常数的解,且常数的个数=阶数特解 通解中满足问题所给的特定条件的解小= clcos ix +ci sin 人是微分方程+大= 0的通解小=clcos 二2sia 丰是不微分方得)上+大= 0的通解?=如是方程+ 7 = 0的满足| 0) 二4的特角注 D 除了极个别情况, 通解包含所有的解2) 几何上, 通解表示平面曲线族，特解为曲线族中的一条曲线 初始条件 特解中的特定条件初始条件要适当给定: 称为适定人 阶数4给法.一阶 J(xo) 三Jx初始条件的给法: 一阶 J(xo)=Jn JJ(xo) =入初值问题 求微分方程特解的问题四 J= Cr D
4、J7) 一 J=CxcD)阶P7 三天|芭-Yeosy通解+初始条件序瑟寺确定常数也 斌这 特解注T只介绍某些类型的常微分方程的求解方法不讨论相关的理论问题(存在性唯一性稳定性)2) 解法具有针对性,不同类型方程用不同的解法. 8$82 可分离变量的微分方程例1 求微分方程六= 2的通解若两端积分 = | 229?(x) ac,含有未知函数无法求积分解 方程写成必/72 = 2xdx两端积分-工=- x+C -yy=-由 xz二C一可分离变量的方程 = /Ce人下MD18(O解法方程写成 ga =有)两边积分 | sg) = | woow +Cc (9(4)式确定的(隐)函数y(x)即是方程的
5、隐式通解证 (D设(x)是由(9式确定的隐甬数 。 防 外增根(世式两边求微分,g(J)dy = PCx)d 失根即” = Ap(x)18()，故7(x)满足方程工 (2)设= J(x) 是方程的解，g8(CxzDJ(Cx) = PCx)对 积分,左端换元有| gd = | rooOae +C二 例题 故方程的解必汶羽式确定的函数例2 求 一2的通解解 0当时,全 2xd ml)| = x+lnc，cl 0却滑 刀串= Cie” = 二cle” cei c可正可负2)7 = 0 显然是解， = ce “为任意常数 注若可正可负严 Re， 可正可负即可例3 解方程(x+ We J)d =解 二人
6、= cr,ln(+7) = ee -了T+mec于 并 作业exl2-21+) =cx-D (rz0) 1(47),2(2) 例4 放射铀衰变速度与未用杰的铀含量M成正比已知 M(0) = Mu,求铀含量M = MX(D，解 由题意 -2 (衰变常数太 0)分离变量 =一Adi 积分nM =ci 一应M=ce初始条件 M(0) = M,代入得c= 11,故ML = Me例5 设降落伞下泣折受空气阻力与速度成E 比,离塔时速度为址; 求降落人务FF落速度v(作解 由牛二定律 my(D = mg -(ak)y，且(0)=0分离变量(8g- 让) =帮 积人康ng-卫=Inkce一计g&-心=Kce
7、”通解= 十ce0=-0e=-汪 一特解D=汪Ge ) 例6 高1w半球形容器盛满洒水从底部8 = lcmz 小孔流出求液面高麻(D和流太所需时间 5根据水力学定律 ,流量O = 0.62S /2g7解 (微元分析法建立微分户有设在时间段 4 x+ Ad内，水面由天降至1+Aj则AP = -rr2Ap 二当At 一 0,dF = -mr2d1 = -T(2R7 一2)d7一F(2R1 -Nd1p = 0.62S /2g1 df |本分离普量_FCN -200v人天 -_ _CF_400记ic 帮 二=0.62V28 062pgSs 31 xl0s-10Vi+3V15)僵1属x04.6SVJ28
8、流尽时1=0x= 一.7xl0s(9)4.6SJ2g 83 齐次方程 1 = 0次齐次函数一齐次方程 了= Ge,力= 革FC 站) PFCcD)= ee全解法令x(x) = 了 及 -No =下(四0总dz分离变量 空,积分| -|衬并 去人 在 碟(四一 齐次呈基可分离一解出xD)=DCDJ 一xu例| 解方程几- 二 二人 YY 一于 ) J/x=-1人 区 二EL解 令x =一 人入民方程科ie 加1 人re az-1 al分高变量 四 * ,积分得z 一 nxz=lnx一necMK 一Ce” 二 = er 例2 求方穆= 二+tan二满足MD = 5的特解解 令x=工 了 于wx代入原方程得si = tanz说Cd dr分离 =一,积分msinz=lnx+nc.sinz= xctana X 通解sn卫= Ce CD =工一 C =了 1. 工解法 进行变换,化为齐次或可分离变量方程 和人JJx=X+ADjan+pF+tc=0GD当ob 一 0， 4 ,二了+大 人帮。d7 dXK TD了 AI册 三 本则冯 = 二 到TOF )(齐次) 可分离
