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1、1,2.3 极限运算的基本法则及其运用,问题: 根据极限的定义, 只能验证某个常数 A 是否为某个函数(x)的极限, 而不能求出函数(x)的 极限. 为了解决极限的计算问题, 下面介绍极限的运 算法则; 并利用这些法则和2.1及2.2中的某些结 论来求函数极限.,一.极限的四则运算法则,定理6. 若lim (x) = A, lim g(x) = B. 则 (1). lim (x) g(x) = lim (x) lim g(x) = A B; (2). lim(x) g(x) = lim(x) lim g(x) = A B;(3).当,2,其证明可用定义. 以极限过程为xx0的证明(1)为例.
2、由|(x)+g(x)(A+ B) |=|(x) A +g(x) B|(x) A |+|g(x) B |即可.,(1)、(2)的推广:,(2)中 g(x) = c 时, lim c(x) = c lim(x).,(2)中(x) = g(x) 时,3,有理分式函数,从而有多项式函数,例9. 求,4,5,6,对有理分式函数F(x), 在x 时极限有如下讨论:,例10. 设,求,7,解,例11. 求,8,例12.,二.复合函数的极限运算法则,定理7. 如果函数 y =(u) , u =(x)满足条件：,则复合函数(x) , 当xx0时的极限也存在, 且,9,其理论证明(略). 但须指出以下两点： (1
3、).也可将此定理中的极限过程改为x, 或者将(x)的极限 a 改为 (即只须外函数极限存在), 结论同样成立. (2).此定理表明了满足定理条件的复合函数的极限是存在的, 同时也说明用变量替换的方法去计算复合函数的极限是可行的, 即(u)与u = (x)满足定理条,件, 则通过变换 u = (x) , 即可把求,的,问题转换为求,10,例13.求,提示：,三.曲线的渐近线,定义 当曲线 y = (x)上动点M沿着曲线无限远离原点移动时,若该动点M到某直线L的距离无限趋近于零(如右图),则称此直线L是曲线y = (x) 的渐近线.,o,x,y,y=(x),M,Q,L:y=ax+b,故应当考虑左、
4、右极限.,11,曲线y = (x) 的渐近线按其与x轴的位置关系, 可分为以下三种:,则称直线 y = c为曲线 y = (x)的水 平渐近线.,因,o,x,y,y=arctgx,y=/2,y= /2,1.水平渐近线,如果曲线y = (x)的定义域是无限区间, 且有,所以曲线y = arctan x有水平渐近线 y= /2 与 y= -/2.,问题:曲线 是否有水平渐近线？分别是什么？,12,2.垂直(铅垂)渐近线,如果曲线 y = (x)在x0 处无定义(或不连续), 且,则称直线 x=x0 为曲线 y = (x) 的垂直渐近线.,因,o,x,y,问题:曲线, 所以曲线,有一条垂直渐近线 x
5、 = 0.,是否有垂直渐近线？,分别是什么？,13,3.斜渐近线,则称直线y = ax + b为曲线 y =(x) 的斜渐近线. (如图),o,x,y,y=(x),M,Q,L:y=ax+b,14,分析:如果曲线 y =(x)有斜渐近线 y = ax+b, 则由定义知必有,两边同除以x并取极限有,从而得到求曲线 y = (x) 的斜渐近线 y = ax+b 的公式为,15,例14.求下列函数的渐近线,故垂直渐近线: x = 0; 斜渐近线: y = x +2.,故斜渐近线: y = x + /2 及 y = x /2.,16,证明 设 A 0取正数 A, 由lim(x)= A的定义,A (x) 0 知 (x) 0.,同理可证 A 0(或A0 (或(x) 0).,必存在那么一个时刻, 在此时刻以后, 就,恒有| (x) A | A |/2.,
