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1、,数字信号处理 Digital Signal Processing,主讲：张弘西安电子科技大学微电子学院,数字信号处理离散傅立叶变换,2,第三章 离散傅立叶变换,由于数字信号处理器只能处理离散信号，所以还需要将离散时间序列进行频域离散化即：要找到依赖于离散时间变量到依赖于离散频率变量之间的一种映射关系。这就是DFT的作用,数字信号处理离散傅立叶变换,3,连续非周期非周期连续,连续周期非周期离散,离散非周期周期连续,离散周期周期离散,适合数字 信号处理器,时 域频 域,数字信号处理离散傅立叶变换,4,3.1 离散傅里叶变换的定义,1、DFT的定义,设x（n）是一个长度为M的有限长序列，则定义x（
2、n）的N点傅立叶变换和傅立叶逆变换分别为,式中， ，N称为DFT变换区间长度，,说明： （1）x(n)是有限长序列，且长度为M。与傅立叶变换和z变换不同，n仅定义在0,M-1的整数区间上； （2）x(n)的离散傅立叶变换的结果与变换区间长度有关。,数字信号处理离散傅立叶变换,5,DFT的矩阵方程表示,3.1 离散傅里叶变换的定义,数字信号处理离散傅立叶变换,6,2、 DFT和Z变换的关系,3.1 离散傅里叶变换的定义,结论：序列x（n）的N点DFT是 x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样； 或者说，X(k)为x(n)的傅立叶变换 在区间0，2 上的N点等 间隔采样。这就是DFT的物理意义
3、。,数字信号处理离散傅立叶变换,7,3.1 离散傅里叶变换的定义,由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表示对 在0，2 区间上的 采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不同。,数字信号处理离散傅立叶变换,8,3.1 离散傅里叶变换的定义,3、DFT的隐含周期性,数字信号处理离散傅立叶变换,9,3.1 离散傅里叶变换的定义,例： 是周期为 N=8 的序列，求 n=11 和 n=-2 对 N的余数。,数字信号处理离散傅立叶变换,10,4、DFT与ZT、FT、DFS的关系,DFT与ZT和FT之间的关系:,DFT与DFS之间的关系:,3.1 离散傅里叶变换的定义,数字信号处理离散傅立叶变换,1
4、1,结论,采样定律告诉我们，一个频带有限的信号，可以对它进行时域采样而不丢失任何信息；DFT变换进一步告诉我们，对于时间有限的信号（有限长序列），也可以对其进行频域采样，而不丢失任何信息。由于时域上的采样，使我们能够采用数字技术来处理这些时域上的信号（序列），而DFT的理论不仅在时域，而且在频域也离散化，因此使得在频域采用数字技术处理成为可能。DFT就是频域数字处理中最有成效的一例。,3.1 离散傅里叶变换的定义,数字信号处理离散傅立叶变换,12,性质1,线性DFTax(n)+by(n)=aX(k)+bY(k) 其中，a,b为任意常数,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,数字信号处理离散傅立叶变
5、换,13,性质2,循环（圆周）移位有限长序列x(n)的循环移位定义为：f(n)=x(n+m)NRN(n) 其中 x(n+m)NRN(n)表示对移位的周期序列 x(n+m)N 取主值序列所以f(n)仍然是一个长度为N的有限长序列。 f(n) 实际上可看作序列 x(n) 排列在一个N等分圆周上，并向左旋转 m 位。,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,注：引用的3个java图例为东南大学DSP网站共享程序,数字信号处理离散傅立叶变换,14,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,序列循环移位后的DFT为F(k) = DFT f(n) = x(k),频域有限长序列X(k)的循环移位，有如下反变换特性IDFT
6、 X(k+l)NRN(k) = x(n),数字信号处理离散傅立叶变换,15,性质3,循环（圆周）卷积若 F(k) = X(k)Y(k) 则：记做频域循环卷积 F(K),3.2 离散傅里叶变换的基本性质,数字信号处理离散傅立叶变换,16,注意,循环卷积与线性卷积关系 （1）离散频域的有限长序列卷积（循环卷积）与连续频域的卷积（线性卷积）有很大的区别，这是由于FT在-到讨论问题，而DFT仅能在0,N-1区间上讨论问题，更重要的是有限长序列的卷积本质上是周期序列的线性卷积； （2）手工计算圆周卷积的法则依然是”翻、移、乘、加”，只是序列的翻转是在圆周上进行的； （3）有限长序列的圆周卷积与线性卷积相
7、等的条件是LL1+L2-1,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,数字信号处理离散傅立叶变换,17,复共轭序列的DFT设 x*（n）为 x（n）的复共轭序列，则DFTx*（n）=X*(N-k)证： DFTx*(n) 0kN-1由于因此， DFTx*(n),性质4,数字信号处理离散傅立叶变换,18,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,性质5,DFT的共轭对称性,数字信号处理离散傅立叶变换,19,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,有限长共轭对称序列 和共轭反对称序列,数字信号处理离散傅立叶变换,20,对于任何有限长序列x(n)，均可表示为,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,数字信号处理离散傅立叶变换,2
8、1,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,数字信号处理离散傅立叶变换,22,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,数字信号处理离散傅立叶变换,23,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,设x(n)为长度为N的实序列，且X(k)=DFTx(n)，则（1）X(k)共轭对称，即,（2）,（3）,数字信号处理离散傅立叶变换,24,根据DFT的共轭对称性，通过计算一个N点DFT，可以得到两个不同实序列的N点DFT。,例：设x1(n)和x2(n)均为实序列，求其N点DFT X1(k)和X2(k),要求只用一次N点DFT。,注意,3.2 离散傅里叶变换的基本性质,数字信号处理离散傅立叶变换,25,3.3 频率域采样,时
9、域,频域,时域 采样定理,频域 采样定理,？,数字信号处理离散傅立叶变换,26,3.3 频率域采样,x(n),?,数字信号处理离散傅立叶变换,27,3.3 频率域采样,数字信号处理离散傅立叶变换,28,3.3 频率域采样,X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的IDFT，为原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列的主值序列。,频率采样,时域周期延拓,结论,数字信号处理离散傅立叶变换,29,3.3 频率域采样,频域采样定理,若序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数 时，才有,即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则会产生时域混叠现象。,数字信号处理离散傅立叶变换,30,例：,解：,
10、3.3 频率域采样,数字信号处理离散傅立叶变换,31,例、序列x(n)长度M=1500，,解 ：,3.3 频率域采样,数字信号处理离散傅立叶变换,32,例：,解：,是x(n)以6为周期的周期延拓序列后的主值序列,3.3 频率域采样,数字信号处理离散傅立叶变换,33,3.3 频率域采样,频域内插公式,数字信号处理离散傅立叶变换,34,3.3 频率域采样,数字信号处理离散傅立叶变换,35,3.4.1 用DFT计算线性卷积1、用DFT计算循环卷积,3.4 DFT的应用,数字信号处理离散傅立叶变换,36,由此可见，循环卷积既可以直接在时域计算，也可按照下图在 频域计算。鉴于DFT具有快速算法FFT，当
11、N很大时，在频域的 计算速度要快得多，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积 。,3.4 DFT的应用,数字信号处理离散傅立叶变换,37,2、有限长序列的线性卷积与循环卷积实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号 x（n）通过系统 h（n），其输出就是线性卷积y（n）=x（n）*h（n）。而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性。有限长序列x（n）与h（n）的线性卷积，在什么条件下能用循环卷积代替而不产生失真？,3.4 DFT的应用,数字信号处理离散傅立叶变换,38,有限长序列的线性卷积：,假定 x（n） y（n）为有限长序列，长度为N， M， 它们的线性卷积f（n）=x（n）*y（n）
12、也应是有限长序列因x（m）的非零区间： 0mN-1，y(n-m)的非零区间： 0n-mM-1，这两个不等式相加，得： 0nN+M-2， f（n）是一个长度为N+M-1的有限长序列,3.4 DFT的应用,数字信号处理离散傅立叶变换,39,循环卷积：,重新构造两个有限长序列 x（n）、y（n），长度均为L maxN,M ，序列 x（n）只有前N个是非零值，后L-N个为补充的零值；序列 y（n）只有前M个是非零值，后L-M个为补充的零值。,线性卷积记为：,循环卷积为：,3.4 DFT的应用,数字信号处理离散傅立叶变换,40,又有,所以可得：,3.4 DFT的应用,数字信号处理离散傅立叶变换,41,其
13、中 就是线性卷积，也就是说，x（n）、y（n）的循环卷积，是x（n）、y（n）线性卷积的周期延拓的主值序列，周期为L。 根据前面的分析， 具有 N+M-1 个非零序列值，因此，如果循环卷积的长度 LN,若选取L=N+M-1，以L为运算区间， 并用上述循环卷积计算线性卷积，则必须对短序列补充很多零点， 长序列必须全部输入后才能进行快速计算。因此要求存储容量大， 运算时间长，并使处理延时很大，很难实时处理。况且在某些应用场合， 序列长度不定或者认为是无限长，比如语音信号和地震信号等。在要求实时处理时，直接套用上述方法是不行的。,3.4 DFT的应用,数字信号处理离散傅立叶变换,44,重叠相加法的步
14、骤：（设x(n)为无限长序列，h(n)长为N）1）将无限长序列进行分段，每一段长为M。2）对每一段进行长为L=N+M-1的卷积。3）将相邻两段卷积结果相重叠的部分相加，既可得到完整的卷积结果序列。,3.4 DFT的应用,数字信号处理离散傅立叶变换,45,3.4.2 利用DFT做连续信号的频谱分析,利用DFT计算连续信号的频谱,3.4 DFT的应用,数字信号处理离散傅立叶变换,46,（1）混迭对连续信号x(t)进行数字处理前，要进行采样采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为fs，如采样率过低，不满足采样定理，fs2fh，则导致频谱混迭，使一个周期内的谱对原信号谱产生失真，无法恢复原信号，进一步的数字处理失去依据。,3.4 DFT的应用,数字信号处理离散傅立叶变换,47,（2） 泄漏处理实际信号序列 x（n）时，一般总要将它截断为一有限长序列，长为N点，相当于乘以一个矩形窗 w(n)=RN(n)。 矩形窗函数，其频谱有主瓣，也有许多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大时，就是一个冲击函数。我们知道，时域的乘积对应频域的卷积，所以，加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直延伸到无穷。当窗口无穷大时，与冲击函数的卷积才是其本身，这时无畸变，否则就有畸变。,
