微积分及其应用

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1、西北师范大学第九届“挑战杯” 大学生课外学术科技作品竞赛 题目(中文)： 微积分及其应用 (英文)：Calculus and the application of the Calculus,微积分及其应用 Calculus and the application of the Calculus,摘要 关键词 2.1.1 一阶微分 2.1.2多元微分 2.1.不定积分 2.2 微积分的发展 微积分在几何中的应用 4微积分在经济学中的应用 5微积分在物理学上的应用 6 结束语 参考文献,学生姓名： 骆盼 学 号： 2011710102 43 个人邮箱： 个人电话： 13893168159 系 别

2、： 数学系 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 颜荣芳 起止日期： 2012.9.202012.10.10,摘要,微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求解导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天

3、文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与其他各学科的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。,关键词,微积分；应用；经济学；物理学；几何,微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分

4、堪称是人类智慧最伟大的成就之一。 从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分在物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。 微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始，进而达到抽象思维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性，受到时代的局限。随着人类认识的深入，认识将一步一步地由低级到高级、不全面到比较全面地发展，人类对自然的探索永远不会有终点。,

5、2.1.1 一阶微分,几何意义 :,2.1.2多元微分,2.1.不定积分,2.2 微积分的发展,微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少的工具。微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。,积分概念是由求某一些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在抛物线求积法中求出抛物线弓形的面积，人没有用极限，是“有限”开工的穷竭法，但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。 微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。微分方法的第一个真正

6、值得注意的先驱工作起源于 1629 年费尔玛陈述的概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。,前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在 17 世纪下半叶各自独立创立了微积分。 1605年 5月20日，在牛顿手写的一面文件中开始有“流数术”的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。 牛顿关于微积分的著作很多写于1665 - 1676年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱而尼茨公式。,微积分的产生一般分为三个阶段：,微积分的产生的三个阶段： 极限概念； 求积的

7、无限小方法； 积分与微分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。,微积分在几何中的应用,3.1求平面图形的面积 3.1.1 直角坐标情形,3.1.2极坐标情形,3.2 求平面曲线的弧长,定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线,当折线段的最大边长时，线的长度趋向于一个确定的极限,则称此极限为曲线弧 AB 的弧长，即 ，称此曲线弧为可求长的。 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的。,3.3 求立体的体积,3.3.1 平行截面面积为已知函数的立体体积,3.4 求旋转体的体积,3.5 求旋转体的侧面积,4微积分在经济学中的应用,微积分在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因

8、此必须了解一些经济分析中常见的函数。 导数在经济学中的应用是十分广泛的，因为在经济学中很多函数里面都有导数的存在才能去进行一些定量分析进而得出最优化的结果。根据导数的一些性质可以为大家解释一些经济学函数图像的走向问题，为何会出现此种走向等等。 同样的在极限的概念基础上面，很多微积分的概念理论得到发展，很多经济学的知识也得到有效的解决。,4.1导数在经济学中的应用,41.1.1 边际成本函数,4.1.1.2边际收益函数,5微积分在物理学上的应用,5微积分在物理学上的应用,物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的，例如质点运动学是从匀速、匀变速直线运动开始，带电体产生的电场是以点电荷

9、为基础。实际中的复杂问题，则可以化整为零，把它分割成在小时间、小空间范围内的局部问题，只要局部范围被分割到无限小，小到这些局部问题可近似处理为简单的可研究的问题，把局部范围内的结果累加起来，就是问题的结果。 在应用微积分方法解物理问题时，微元的选取非常关键，选的恰当有利于问题的分析和计算，其一要保证在所选取的微元内能近似处理成简单基本的物理模型，以便于分析物理问题；其二要尽量把微分选取的大，这样可使积分运算更加简单，因为微分和积分互为逆运算，微分微的越细，越精确，但积分越繁琐，计算工作量较大，所以还要在微分和积分这对矛盾之间协调处理。,5.1.1求变力沿直线所作的功,6 结束语,如果说我大学四

10、年在自己的专业领域，也就是数学这个专业领域内有什么重要收获的话，那“培养出了对数学的兴趣”绝对是最值得一提的。之所以这么说是因为在与以前初中、高中同学的交流中，我发现很多同学都不太喜欢自己的专业，甚至是讨厌自己的专业，究其原因，有的是因为在填报志愿时未经深思熟虑就随便选了个专业，或者根据父母朋友的意愿选了个“好找工作的”专业，后来却发现并不符合自己的兴趣，还有的则是根据自己的兴趣选择了喜欢的专业，但他们最初的兴趣不但没有在大学四年的学习过程中得到升华，反而被消磨殆尽，这是很可悲的。没有学习兴趣，在别人看来再好的学校再好的专业，对自己来说学习起来只能是索然无味，或者说至少会丧失很多学习过程中应有

11、的乐趣。,我相信“兴趣是最好的老师”，所以我很庆幸自己经过大学的学习后，开始喜欢上自己的专业，这种兴趣不再是自己初中、高中时单纯喜欢计算数学题目，为自己可以解答难度极大的数学题目而开心，这种低层次、低境界的兴趣在经过大学四年专业知识的打磨之后已经逐渐升级。,现在我的确还会钟情于一些数学题目的解答，但我会更关心题目背后的一些东西，比如它的历史、来源、影响、应用等等。同时我也深知，大学本科阶段的这些专业知识也不过是些非常基础的知识，即使是在我拿到理学的学士学位之后，若论专业水平，也只能说是比普通的数学爱好者多知道一些，并没有什么值得特别炫耀的，若论实践能力和动手操作能力，则远不如该专业的专科学生以

12、及教师。说这么多只是想提醒自己，要学的东西还太多！我会继续加紧学习的步伐，探索数学的奥妙！,参考文献,1 同济大学数学教研室高等数学（第四版）【M】.北京：高等教育出版社.1993 2 数学分析.上册.华东师范大学数学系编（第三版）【M】. .北京：高等教育出版社.2001 3 李文林，数学史概论（第二版）【M】，北京：高等教育出版社，2002，（8）：144-196。 4 邓东皋，孙小礼，张祖贵，数学与文化【M】，北京：北京大学出版社，1990，（5）：369-378。 5 高鸿业.西方经济学（第五版）【M】.北京:中国人民大学出版社,2007,8. 6 张丽玲.导数在微观经济学中的应用【J】.河池学院学报,2007,(27). 7 周波.经济效益最优化数学模型的建立与应用【J】.内江科技，2009（11）：126. 8 林承初.定积分概念的推广及其几何物理意义【J】.河南教育学报.2006.(2) 9 孙丰良.微积分初步【M】.延边大学出版社.2000 10 罗圆圆.大学物理上册【M】.修订版.南昌：江西高级出版社.2005:345.,骆盼谢 谢 各位观 赏！,WPS Office,Make Presentation much more fun,WPS官方微博kingsoftwps,