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1、第三章 傅立叶变换 频域分析,1822年，法国数学家傅立叶提出了 ：“一个周期函数可以展开成无穷多个不同频率的正弦函数的叠加” 。,3. 2 周期信号的傅立叶级数分析,一. 三角函数形式的傅立叶级数:,若 f(t)是以 T1 为周期的信号, 则其傅立叶级数展开式为:,1. 一般形式:,其中系数a0、an及bn的确定如下：,其中，n = 1, 2, ,此外，a0、an及bn又分别称为“ 直流分量、余弦分量的幅度、正弦分量的幅度”。,2. Dirichlet 条件：,当周期信号 f(t) 满足以下条件时，才能进行傅立叶级数展开,(1) 在一个周期内, f(t) 的间断点数目有限；,(2) 在一个周
2、期内, f(t) 的极值数目有限；,(3) 在一个周期内, f(t) 绝对可积， 即,3. 简化形式:,(1) 余弦形式,关系:,(2) 正弦形式,关系:,另外,4. 建立 “频谱” 的概念：, 基 频 频率 f1=1/T1 ,基 波 频率为基频的分量，称为 “基波” 。, 谐 波 频率 2f1 , 3f1 ， ， nf1 , , 的分量 ，分别称为“二次谐波、三次谐波”。, 幅度谱是指将幅度值(如cn)作为函数、频率作为自变量，绘制的关系曲线。, 相位谱是指将相位值(如 )作为函数、频率作为自变量，绘制的关系曲线。,5. 周期信号频谱的特点：,“谱线” 的概念在幅度谱中, 每条线的高度代表该
3、频率分量的幅度大小, 称为谱线.,特点 周期信号的频谱是离散谱 ! 其频谱只会出现在 =0、1、21等离散的频率位置上。,例：某周期信号如图所示，试求其傅立叶级数，及幅度谱和相位谱。,解：,或者是： ；,最后，求其幅度谱和相位谱：,=,0,二、指数形式的傅里叶级数,周期信号的傅里叶级数展开也可表示为指数形式 已知,1、根据欧拉公式得：,把上式代入已知中得：,令,为指数形式傅里叶级数的系数，简称为,为复数形式,2、重要关系(Fn与其他系数的关系) 见书92页,3、指数形式表示的信号频谱 见图93页,4、帕赛瓦尔定理能量守恒定理，平均功率利用傅里叶级数的有关结论研究周期信号的功率特性,周期信号的平
4、均功率是三角形式的傅里叶级数，或者是指数形式的傅里叶级数， 两边平方，并在一个周期内进行积分,上式表明：周期信号的平均功率傅里叶级数展开直流成分，基波及各谐波分量 有效值的平方和，也即时域和频域的能量守恒称帕赛瓦定理（或方程）,三、函数的对称性与傅里叶系数的关系f(t)是实函数而且它的波形满足某种对称性，使表达式变的简单地。,波形的对称性有两类：1、对整个周期对称有偶函数和奇函数2、对半周期对称有奇谐函数,对称条件： (1)、偶函数：若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足f(t)=f(-t),此时f(t)是偶函数,上式关系得，1、偶函数的Fn为实数。2、偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项为0，只
5、可能含有直流项和余弦项。,(2)、奇函数：若信号波形相对于原点是对称的，即满足f(t)=f(-t),此时f(t)是偶函数,上式关系得，1、只有正弦分量。2、奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项。,(3)、奇谐函数：若信号波形沿时间轴平移半个周期并相对于时间轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足f(t)=f(tT1/2),这样函数为奇谐函数或称为半波对称函数 如图P96 35奇谐函数,上式表明，当f（t）为实奇谐函数时，实奇谐函数的傅里叶级数中，没有直流分量，不含偶次谐波项，只含有基波和奇次谐波的正弦，余弦项，而不会包含偶次谐波项。,四. 傅立叶有限项级数与最小方均误差:,1. 方均误差
6、EN:,假设，用SN(t)表示 f(t) 的前2N+1项级数,即,若用SN(t) 近似表示 f(t)，则误差为：,方均误差为:,经过整理，可得：,例：,f(t) 既是偶函数、又是奇谐函数,只有直流项和余弦项,无直流项，只有基波和奇次谐波的正弦、余弦项,只有基波和奇次谐波的余弦项 ！,且,=,考察其有限项级数 SN:,S1=,S2=,S3=,分别用S1 、S2、 S3来近似表示原函数 f(t) , 波形示意图见教材 P99 。,相应的方均误差EN:,结论：, 有限项级数的项数N取得愈多、则波形愈逼近原信号f(t), 且EN愈小。当n时，SN(t)=f(t) 。, 当f(t)是脉冲信号时, 其傅立
7、叶级数中的高频分量主要影响的是它的跳变沿；低频分量主要影响脉冲顶部的形状。换言之，信号f(t)的波形变化越剧烈、它所包含的高频分量越丰富；变化越缓慢、则所含低频分量越丰富。, 当用有限项级数愈逼近原信号f(t)时, 如果其中任一频谱分量的幅度或相位发生变化时，则最后叠加形成的输出波形会失真。,2. 吉布斯现象:,二. 周期锯齿脉冲信号:,奇函数 f(t) 的傅立叶系数 a0、an都为0,利用积分结果：,则,结论 周期锯齿脉冲信号的频谱中，不包含直流分量和余弦分量，只有正弦分量；而且，各次谐波的幅度以 的规律收敛。,三. 周期三角脉冲信号:,f(t)是偶函数, 故其的正弦分量的系数 bn=0。,
8、 ,利用积分结果：,则 =,且 =0，,从而,结论：周期三角脉冲的频谱只含有直流、基波和奇次谐波的余弦项。且谐波的幅度以 的规律收敛。,3.4 傅立叶变换, 非周期信号的频谱分析方法,一. 定义的引出:,0 1 ,-T1 0 T1 2T1,0 T1,0 1 ,0 t,可以发现:,当T1时，谱线的间隔1, 离散谱谱线变密；当T1无穷大时, 谱线的间隔1 无限小, 离散谱就变成了连续谱。,的值0， 因此，不能再用 作为非周期信号频谱的度量指标。,但同时应注意到：,当T1无穷大时:,d,离散频率变量 n1,连续频率变量 ,有限的数值,又,=,原周期信号的傅立叶级数,当 T1时:,T1,即,二. 傅立
9、叶变换的含义:, F() 一般是复函数,从而,又, F() 称为f(t) 的 “ 频谱密度函数 ”。,注 意：, 表示的是非周期信号的各频率分量的相对大小，而不是其幅度值；, 表示的是非周期信号的各频率分量之间的相位关系。,但是：也将 曲线称为非周期信号的 “幅度频谱” ；,将 曲线称为非周期信号的 “相位频谱”。,当 f(t) 是实函数时, 是 的偶函数； 是 的奇函数。,三. 傅立叶变换存在的条件:,充分条件:,3.5 3.6 几种典型非周期信号的傅立叶变换,一. 矩形脉冲信号:, 幅度为 E、脉宽为的对称脉冲,1. 函数F()的表达式：,即,是 的实函数！,2. 频谱分析:,(1) 幅度
10、谱, F() 是 的偶函数！,(2) 相位谱,a. 当 时, F() 是个正数, 则其相位为 0:,即,b. 当 时, F() 是个负数, 则其相位 :,即, 相位谱为,是 的奇函数！,(2)单边指数信号,单边指数信号的表示式为：,其中a为正实数,图P114 319,双边指数、钟形脉冲信号自已看,（3）符号函数 sgn(t),这种信号不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换,令,容易看出，,先求得f1(t)的频谱，然后取极限。从而得出符号函数f(t)的频谱,（4）升余弦函数,表达式为,频谱是由三项构成的，它们都是矩形脉冲的频谱，只是有两项沿频率轴左， 右平移了,所以升余弦的频谱比矩形频谱更加集
11、中,得到，见图P119,326,（5）冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换,一、冲激函数的傅里叶变换：正变换,即,特点：1）由矩形脉冲取极限得到，当脉冲宽缩减时，频谱必然展宽。,2）单位冲激函数的频谱等于常数，在整个频率范围内频谱是均匀分布,3）时域变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。 这种频谱称“均匀谱”或“白色谱”,逆变换：,直流信号：,频谱或傅里叶变换,频谱或傅里叶变换,直流信号的傅里叶变换是位于w=0的冲激函数,冲激偶函数的傅里叶变换,另一种方法：,阶跃函数的傅里叶变换,（1）单们阶跃函数u(t)的频谱在w0点存在一个冲激函数，因含直流分量 （2）u(t)不是纯直流分量，它在t
12、=0点处有跳变，因此在频谱中还出现其他频率分量。,3.7 傅立叶变换的基本性质,一. 对称性:,证明：,根据傅立叶逆变换的定义,将 t 、 t，得到,即,这是标准的傅立叶正变换表达式。,例 1.,相关图示 见教材 P124 的 图3-30。,二. 线形特性:,结论可推广至 n 个信号的叠加:,三. 奇、偶、虚、实 特性：,1. f(t) 为实函数:,是 的偶函数；,是 的奇函数；,是 的偶函数；,是 的奇函数。,(1) 当 f(t)是 t 的实偶函数时, F() 是的实偶函数。,证明：, 是t的奇函数，,则,(2) 当 f(t)是 t 的实奇函数时, F() 是的虚奇函数。,证明：, 是t的奇
13、函数，,2. f(t) 为虚函数:,不妨设 f(t) = jg(t), 其中 g(t) 是实函数,此时,是 的奇函数；,是 的偶函数；,仍然是 的偶函数；,仍然是 的奇函数。,作业： 证明教材 P126 的式 (3 55) 的三条结论。,四. 尺度变换特性:, 时频展缩特性,1. 性质描述:,证明：,F f(at),当 a0 时,2. 实际意义:,g(t) 1,g(t/2) 1,结论: 若在时域中扩展信号的持续时间, 则对应于压缩信号的频宽；反之：若要压缩信号的持续时间，则不得不展宽其频带。,时长与带宽是一对矛盾,通信速度与信道容量是一对矛盾！,五、时移特性,表达式的意义：信号f(t)在时域中
14、沿时间轴右移（延时）t0等效于在频域中频谱乘以因子 ，也就是说信号右移后，其幅度谱不变，而相位谱产生附加变化,解：令上图中间表示矩形单脉冲信号，用 表示,的频谱函数,频谱如图336所示，见P130页,六、频移特性,同理可得：,实际意义：调制、解调、变频， 调制是从低频端搬迁到高频端。 在实际中，是使用 实现频谱的搬迁。,七. 微分特性:,1. 时域微分:,证明:,利用傅立叶逆变换的定义,将其两边同时对 t 求导:,*,若对*式继续进行 的过程，则可得：,2. 频域微分:,证明:,当然是对傅立叶正变换的定义式,两边同时进行 得到 :,同理, 可推广至:,例:,八. 积分特性:, 时域积分:,证明:,按照傅立叶正变换的定义,F,*,从而*式,例: 求如图所示三角形脉冲的频谱 F ()。,解：,将信号连续求两次导数，分别得到 f (t) 及f (t),易见:,若用 、 分别表示f (t) 及f (t)的傅立叶变换,
