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1、1,第九章 直线、平面、简单几何体,平面及其基本性质,第 讲,1,（第一课时）,2,3,1. 通常画平行四边形表示平面，当平面水平放置时，一般把平行四边形的锐角画成_；当平面竖直放置时，一般把平行四边形的一组对边画成_;画两相交平面时，一定要画出它们的交线. 2. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么_都在这个平面内.该公理用符号语言表述为_ _.,45,铅垂线,这条直线上所有的点,若A、Bl,则=l，且 Pl,4,公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是_.该公理用符号语言可表述为_. 公理3：经过_的三点，有且只有一个平面. 3. 推论1：经过
2、一条直线和_有且只有一个平面. 推论2：经过两条_直线有且只有一个平面.,一条直线,若点P,则=l,且 Pl,不在同一条直线上,直线外一点,相交,5,推论3：经过两条_ 直线有且只有一个平面. 4. 如果构成图形的所有点都在同一平面内，这个图形叫做 _；如果构成图形的点不都在同一平面内，这种图形叫做 _ 5. 表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.画空间图形的直观图，有如下画法规则：,平行,平面图形,立体图形,6,(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox、Oy，再取Oz,xOz= _,且yOz= _. (2)画直观图时，把它们画成对应的轴Ox、Oy、Oz,使xOy= _ ，xO
3、z= _，xOy所确定的平面表示 _. (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成 _ _的线段.,90,90,45 或135,90,水平面,平行于x轴、,y轴或z轴,7,(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持不变 _；平行于y轴的线段，长度为 _ .,长度,原来的一半,8,1.、是两个不同的平面，在平面内 取4个点，在平面内取3个点，则由这7个点最多可以确定 个平面. 解：在内取1个点，内取2个点可以确定 =12个平面; 在内取2个点，内取1个点可以确定 =18个平面. 再加、 2个平面，故最多可确定32个平面.,32,9,2.正方体ABCD-A1B1C
4、1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，则正方体的过点P、Q、R的截面图形是( ) A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形,D,10,解：如图，分别取C1D1、BB1、DD1的中 点E、M、N. 易证PQMNRE， 从而P、Q、N、E、R、 M共面， 所以截面图形是六边形， 故选D.,11,1. 对空间三条直线，如果其中一条直线 和另两条直线都相交，讨论由这三条直 线可以确定几个平面. 解:设a,b,c为三条直线,ab=A, ac=B. (1)若bc，则b、c确定一个平面， 且a在这个平面内，故共确定一个平面.,题型1 确定平面的个数,12,(2)若b与c异面，则
5、由a、b确定一个平面， 由a、c确定一个平面，故共确定两个平面. (3)若b与c相交，设bc=C. 当a不经过C点时，A、B、C三点不共线， 由这三点确定一个平面，直线a、b、c都在这 个平面内，故共确定一个平面. 当a经过C点时，a、b、c三线共点.若a、b、 c共面，则确定一个平面；若a、b、c不共面， 则确定三个平面.,13,综上分析，这三条直线可以确定1个或2个或3个平面. 点评：解决空间直线或点确定平面的个数问题，一是先按已知元素之间的位置关系(如直线分异面与共面，点分共线与不共线)进行分类讨论；二是利用公理进行计数.,14,讨论一条直线和这条直线外 不共线的三点可以确定几个平面?
6、解：设点A、B、C为直线l外不共线的三点. (1)若点A、B、C中任意两点与直线l都不共 面，则直线l与点A、B、C分别确定一个平 面.又A、B、C三点确定一个平面，故共确 定四个平面.,15,(2)若点A、B、C中有且只有两个点与直线l共面，不妨设A、B两点与l共面，则直线l与A、B两点确定一个平面，l与C点确定一个平面，又A、B、C三点确定一个平面，故共确定三个平面. (3)若A、B、C三点与l共面，则可以确定一个平面. 所以一条直线和这条直线外不共线的三点，可以确定4个、3个或者1个平面.,16,2. 若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( ) A. 5部分 B
7、. 6部分 C. 7部分 D. 8部分 解：三条两两相交(不过同一点)的直线将平面分成7个部分.拓展到空间，三个两两相交的平面，当三条交线互相平行时，这三个平面将空间分成7部分，故选C.,题型2 空间的分割问题,C,17,讨论三个平面将空间分成几个部分，并画出示意图. 解：设三个平面分别为、. (1)若，则空间被分成四部分. (2)若，与、都相交，则空间被分成六部分. (3)若、都相交，且三条交线互相平行，则空间被分成七部分.,18,(4)若、两两相交，且三条交线共点，则空间被分成八部分. 故三个平面可将空间分成4或6或7或8部分.图略. 点评：平面分割空间问题，注意先按平面之间的位置关系进行
8、分类计数，再按交线之间的关系进行分类计数.,19,3. 画水平放置的正三角形的直观图，并求这个正三角形与其直观图的面积之比. 解： (1)在正ABC中，取BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系xOy，画对应的坐标系xOy， 使x O y =45.,题型3 斜二测画法作图问题,20,(2)以O为中点，在x轴上取B C=BC，在y轴上取点A，使OA = OA.(3)连结AB，AC，则 AB C为正ABC水平放置的直观图. 设正ABC的边长为a，过A作x轴 的垂线，垂足为D， 则AD=OAsin45 = OAsin45=,21,所以SABC= BCAD = a a = a2. 因为S
9、ABC= BCOA= a= a2， 所以 点评：斜二测画法作图的规则是“水平不变，纵直减半”.求直观图的面积与原图形的面积之比时，应注意高的变化.,22,已知一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45，两腰和上底边长均为1，求这个水平放置的平面图形的面积.解：设直观图ABCD对应的平面图形为ABCD.,23,因为直观图ABCD是底角为45的等腰梯形，据斜二测画法规则，对应的平面图形ABCD是一个直角梯形，如上图所示，且AB=AB，CD=CD，AD=2AD.,24,在等腰梯形 中，分别过 作 的垂线，垂足分别为 . 由已知 所以 所以,又 所以,25,1. 空间一些点和直
10、线不一定共面，由它们可以确定若干个平面.依据公理3及三个推论，分析各种可能位置关系，通过分类讨论才能确定平面的个数. 2. 一个平面将空间分割成两部分，分析两个或两个以上的平面将空间分割成几部分时，要分类讨论这些平面的相对位置关系，必要时可将问题转化为直线将平面分割成几部分来处理.,26,3. 多面体的截面图是一个平面多边形.画截面图的实质是画出截平面与多面体各面相交时的交线，其关键是找到两相交平面的某两个公共点，若这些公共点在多面体内部找不到，可作延长线，到多面体外部去找. 4. 用斜二测画法作空间图形的直观图，其基本思想是通过选取直角坐标系，依据斜二测画法规则，确定空间图形的各顶点在直观图
11、中的位置.,27,第九章 直线、平面、简单几何体,平面及其基本性质,第 讲,1,（第二课时）,28,1. 四面体ABCD中，E、G分别为BC、 AB的中点，F在CD上，H在AD上， 且有DFFC= 23，DHHA= 23. 求证：EF、GH、BD交于一点.,题型4 共点问题,29,分析：只要证明点E、F、G、H分别所在的直线EG和HF平行，由公理的推论3就可知它们共面.在ABD和CBD中，由E、G分别是BC和AB的中点及 可得， 所以EGHF,直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P.因此，要证三条直线EF、GH、BD交于一点，只要证点P在直线BD上即可.事实上，由于BD是E
12、F和GH分别所在平面BCD和平面ABD的交线，而点P是上述两平面的公共点，由公理2知PBD.,30,证法1：(几何法) 连结GE、HF. 因为E、G分别为BC、 AB的中点， 所以GEAC. 又因为DFFC=23，DHHA=23， 所以HFAC,所以GEHF. 故G、E、F、H四点共面. 又因为EF与GH不能平行，,31,所以EF与GH相交，设交点为P. 则P平面ABD，P平面BCD， 而平面ABD平面BCD=BD， 所以EF、GH、BD交于一点. 证法2：(向量法) 由所以 ，从而 .,32,故G、E、F、H四点共面.又因为EF与 GH不能平行，所以EF与GH相交， 设交点为P. 则P平面A
13、BD，P平面BCD， 而平面ABD平面BCD=BD， 所以EF、GH、BD交于一点. 点评：证明线共点，常采用证两直线的 交点在第三条直线上的方法，而第三条 直线又往往是两平面的交线.,33,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：CE，D1F，DA三线共点. 证明：因为E是AB的 中点，F是A1A的中点，连 结A1B.则EFA1B，所以 EFD1C且EF= D1C， 故四边形ECD1F是梯形， 两腰CE，D1F相交，设其交点为P.,34,则PCE，又CE平面ABCD， 所以P平面ABCD.同理， P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1 A1=A
14、D， 根据公理3知，PAD，所以CE， D1F，DA三线共点.,35,2. 在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、AD、CD边上的点，且EF和GH相交于P点，求证：A、C、P三点共线.,题型5 共线问题,36,证明：依据题意，A、B、C 为不共线三点，由这三点确定一个平面. 因为E、F分别是AB、BC上的点， 所以E、F在平面ABC内， 从而直线EF在平面ABC内. 因为点P在直线EF上， 所以点P在平面ABC内. 同理，点P在平面ACD内.,37,所以点P是平面ABC和 平面ACD的一个公共点. 因为平面ABC平面ACD=AC， 所以点P在直线AC上， 即A、C、P三点共线. 点评：证多点共线问题，一般先取过 两点的直线，然后证其他点在这条直 线上；也可证明这些点均在两个平面 的交线上.,
